Stereometrie - Vzdálenost bodu od roviny

Vzdálenost bodu od roviny je vždy ta nejkratší vzdálenost. Z toho plyne, že úhel mezi rovinou a úsečkou spojující rovinu a bod bude vždy 90°.

První příklad

Vypočtěte vzdálenost bodu A od roviny QPB v krychli ABCDEFGH. Bod Q leží ve středu hrany DC a bod P leží ve středu strany HG. Délka hrany |AB| = 6 cm.

Pokud si situaci překreslíme do jedné roviny, bude to vypadat nějak takto:

Nyní musíme nějaký pravoúhlý trojúhelník. Jak jsem na začátku říkal, nejkratší úsečka spojující bod a rovinu je kolmá k rovině a proto můžeme celý příklad spočítat díky trojúhelníku ASQ. V tomto trojúhelníku můžeme spočítat délku hrany AQ a pomocí trojúhelníku AQB spočítáme i úhel |∠AQB|. Tedy, když budeme znát dva údaje o pravoúhlém trojúhelníku AQS, lehce dopočítáme ostatní.

|AQ|=√(|AD|2+|DQ|2)
|AQ|=6.7
cos |∠AQB| = (|AB|2-|AQ|2-|BQ|2)/(-2*|AQ|*|BQ|)#Kosinova věta
|∠AQB| = 53°12'
|AS|=|AQ|*sin(|∠AQB|)
|AS|=6.7*sin(53°12')
|AS|=5.36

A máme výsledek!

Druhý příklad

Určete vzdálenost bodu S od roviny BDG v krychli ABCDEFGH. Bod S leží na průsečíku úhlopříček v horní stěně. Velikost hrany |AB| = 6 cm.

Po překreslení do jedné roviny (ACG) dostaneme tento obrázek.

Příklad vypočítáme pomocí trojúhelníku SPG. Jedná se o trojúhelník pravoúhlý a pravý úhel je u bodu P. My můžeme zjistit velikost strany SG a velikost úhlu SGP.

|EG|=√(|EH|2+|HG|2)
|GS|=|EH|/2
|GS|=4.2
|GQ|=√(|GS|2+|QS|2)
|GQ|=7.3
sin |∠SGQ|=|QS|/|GQ|=6/7.3
|∠SGQ|=55°16'
|PS|=|GS|*sin(|∠SGQ|) = 4.2*sin(55°16')
|PS|=3.45

Hotovo!

Třetí příklad

Určete vzdálenost bodu F od roviny BPH. Bod P je ve středu strany AE a bod Q je ve středu strany CG. Velikost hrany |AB| = 6 cm.

Překreslíme-li si rovinu DBF do obrázku, bude to vypadat nějak takto:

Jako obvykle můžeme v trojúhelníku BFS zjistit délku jedné strany (FB) a velikost jednoho úhlu SBF. Když tyto dva údaje získáme, není problém dopočítat délku úsečky FS.

|BF| = 6 cm
|HB| = √(|FH|2+|BF|2) = √(62+8.42)
|HB| = 10.3 cm
sin |∠FBH| = |FH|/|BH| = 8.4/10.3
|∠FBH| = 54°38'
|BS| = |BF| * sin(|∠FBS|) = 6 * sin(54°38')
|BS| = 4.89

Nyní jste již dle mého názoru připraveni spočítat nějaké příklady sami. Pokud některému příkladu nebudete rozumět, nebojte se zeptat v komentářích.

Procvičování

Určete vzdálenost bodu O od roviny PBD jehlanu ABCDV. Bod P leží ve středu strany VC a bod O leží v polovině výšky. Délka hrany |AB| = 6 cm a výška v je 7 cm.

Vzdálenost bodu a roviny je 1.81 cm

Určete vzdálenost bodu S od roviny PAC v krychli ABCDEFGH. Bod S leží na průsečíku úhlopříček v horní stěně a bod P leží ve středu hrany DH. Délka hrany |AB| = 6 cm.

Vzdálenost bodu a roviny je 4.9 cm

Určete vzdálenost bodu S od roviny BCE v krychli ABCDEFGH. Bod S leží na průsečíku úhlopříček ve stěně BCG. Délka hrany |AB| = 6 cm.

Vzdálenost bodu a roviny je 2.12 cm