Přejít na matematické fórum Připravili jsme pro Vás zbrusu nové fórum a jsme připravení odpovídat na Vaše otázky!


Články » SŠ Matematika » Rovnice

Lineární rovnice

Vydáno dne v kategorii Rovnice; Autor: ; Počet přečtení: 49 540

Lineární rovnice je rovnice, ve které je exponent neznámé roven jedné → algebraická rovnice prvního stupně.


Úvod dnešního článku nevypadá příliš jednoduše. Nicméně lineární rovnice je opravdu lehká látka.

Více o problematice rovnice naleznete v článku Rovnice.

Pokud jste četli článek, na který jsem odkazoval v předchozím odstavci, víte, že rovnice má většinou několik neznámých. V tomto článku budeme pracovat pouze s rovnicemi o jedné neznámé → x; a jak už jsem v úvodu naznačil, exponent bude vždy jedna (bude se tedy vždy jednat o x a nikdy ne o x2, xn.

Počítání rovnic

Nejlehčí rovnice, jakou v tomto článku mohu poskytnout je nepochybně x=1. Určete z této rovnice hodnotu proměnné x. Pochopitelně je to 1. Další rovnice ale už nemusí být tak jednoduché. Zkuste například vyřešit x-1=0. Nyní přicházejí na řadu ekvivalentní úpravy → k oběma stranám přičteme číslo 1. Získáme tedy x-1+1=0+1, což se rovná x=1. Toto je výsledek.

Další rovnice mohou být ještě těžší. Například 2x=2. V tomto příkladě známe hodnotu 2x, ale my chceme znát hodnotu x. Obě strany tedy vydělíme dvěma: .

Zatím jsme pracovali s rovnicemi, kdy na jedné straně byla jedna neznámá a na druhé straně byly pouze čísla. Toto je ten nejjednodušší scénář. Rovnice může vypadat i takto: 2+x+5 = 5x+1. V takovémto případě musíme na jednu stranu převést neznámé a na druhou stranu čísla:

2+x+5  = 5x + 1 /-5x, -2, -5
-4x = 8

Nyní sice máme na jedné straně neznámé a na druhé čísla, nicméně před naší neznámou je znaménko mínus a to není dobré. Abychom se ho zbavili, musíme celou rovnici vynásobit -1. Získáme tedy 4x = -8x = -2.

V rovnici se mohou objevit závorky, zlomky, prostě vše. Nesmí vás proto překvapit rovnice typu: :


V této rovnici jsme se museli zbavit zlomku. Vynásobili jsme proto celou rovnici třemi. V této rovnici byl pouze jeden zlomek, ale může jich tam být více. Za předpokladu, že tyto zlomky chceme sčítat, popř. odčítat, musíme ovládat Nejmenší společný násobek. Vyřešte rovnici :

Nejmenším společným násobkem 3, 5, 2 je 30 

Neznámá ve jmenovateli

Takovéto typy rovnic občas dělají některým žákům potíže, ale nejedná se o nic složitého. Budeme postupovat naprosto identickým způsobem, jakoby tam místo neznámé bylo normální číslo.


Nejmenším společným násobkem 3 a x je 3x.

Možné výsledky

Jsou celkem tři druhy výsledků, které můžeme získat, pracujeme-li s lineárními rovnicemi:

  • Jedno řešení → x = 2
  • Nekonečně mnoho řešení → 0x = 0
  • Žádné řešení → 0x = 4

Geometrický význam

Lineární rovnice se dají, pokud umíme dobře rýsovat, vyřešit i graficky → grafem lineární funkce je přímka. Například graf rovnice by vypadal takto:


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Určete definiční obor funkce


Hlavolam

Akce! Tma, bouřka, silný déšť. Podminovaná lávka přes širokou rozvodněnou řeku. Dvoučlené komadno prozatím uspělo. Oba politici držení v zajetí teroristy byli osvobozeni. Ještě je třeba se dostat na druhou stranu lávky, která exploduje za 17 minut. Víc času není. Lávka je ale moc úzká a bambus víc jak dva lidi najednou neunese. A pak, je hrozná tma a oni mají jenom jednu baterku (asi nízkorozpočtový film). Bez baterky se lávka prostě přejít nedá. To by byla sebevražda. Oba komandos jsou celkem ve formě: první přeběhne lávku za 1 minutu, druhý za 2 minuty. Politici jsou na tom, ale hůř: jeden přejde lávku za 5 a druhý za 10 minut. Přes lávku mohou jít jen dva najednou a ten rychlejší samozřejmě musí čekat na toho pomalejšího. Jak to stihnou? Nebo to nebude americkej happyend?