Funkce kosinus a sekans

Vydáno dne 19. 10. 2008 v kategorii Goniometrie; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 31 265

Seznámíme se s funkcemi kosinus a sekans a naučíme se rýsovat jejich grafy.

Pokud chcete tomuto článku lépe porozumět, doporučuji přečíst články Úvod do Goniometrie/Trigonometrie a Jednotková kružnice.

Kosinus

Funkce kosinus je definována jako poměr přilehlé strany a přepony v pravoúhlém trojúhelníku. Graf funkce kosinus je velmi podobný grafu funkce sinus - počátek standardní sinusoidy je v bodě [0; 0]; počátek kosinusoidy je v bodě [1; 0].

Vlastnosti

Definiční obor: $\mathbb{R}$
Obor hodnot: <-1, 1>
Rostoucí v intervalu: $\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi; \frac{\pi}{2}+2k\pi\right)$
Klesající v intervalu: $\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi; -\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)$
Sudá funkce
Omezená shora i zdola
Periodická funkce s periodou $2\pi$

Rýsování grafu

Funkce kosinusmůže mít následující podobu: a*sin(b*x+c)+d . Proměnná a určuje amplitudu funkce. Pokud amplituda není dána, je automaticky rovna 1. Proměnná b určuje periodu funkce a proměnná c je posun funkce na ose x (doleva, doprava). Poslední proměnná, tedy proměnná d určuje posun na ose y (dolů, nahoru).

1) Narýsujte graf funkce 2*cos(x).

Amplituda je 2, perioda je standardní - tedy 2π a není zadán ani vertikální ani horizontální posun. Začneme tedy rýsovat v bodě [0; 2], kosinusoida protne osu x v bodě $[\frac{\pi}{2}$ ; 0] a svého minima dosáhne v bodě $[\pi; -2]$ . Pak graf začíná zase stoupat...

2) Narýsujte graf funkce -3cos(x)+2.

Začneme tím, že si vytvoříme novou pomocnou osu x ve výšce +2. Amplituda je pouze 1, ale pozor, před zápisem funkce je znaménko minus → celý graf musíme obrátit kolem nové osy x. Začneme tedy v bodě [0; 1]. Perioda zůstává stále rovna 2π.

3) Narýsujte graf funkce $cos(2x+\frac{\pi}{2})$

Nyní to začíná být trochu těžší - změní se nám perioda a musíme se postarat o horizontální posun. Periodu vypočítáme pomocí vzorce $perioda=\frac{2\pi}{b}=\frac{2\pi}{2}=\pi$ . Perioda je tedy π. Začneme tím, že si vytvoříme novou osu y posunutou o $\frac{\pi}{2}$ doleva. Začneme tedy bodem $[-\frac{\pi}{2}; 1]$ .

4) Narýsujte graf funkce $-3cos(\frac{1}{2}(x-\pi))+2$

Toto je příklad kombinující všechny možné parametry funkce kosinus. Amplituda je 3, perioda je $\frac{2\pi}{\frac{1}{2}}=4\pi$ , vertikální posun je 2 nahoru a horizontální posun je π doprava. Aby toho nebylo dost, ještě je před celou funkcí znaménko minus, takže musíme funkci otočit.

Museli jsme si vytvořit novou osu x a novou osu y → to jsou ty zelené přerušované přímky.

Sekans

Funkce sekans je definována jako poměr přepony a přilehlé strany v pravoúhlém trojúhelníku. Platí tedy $sec x = \frac{1}{cos x}$ .

Vlastnosti funkce sekans:

Definiční obor: $\mathbb{R}$ - liché násobky $\frac{\pi}{2}$ .
Obor hodnot: (-∞ -1) ∪ (1, ∞)
Sudá funkce
Periodická funkce: perioda je $2\pi$

Rýsování grafu

Rýsování grafu této funkce je velice jednoduché, pokud umíte narýsovat graf funkce kosinus. Pokud tedy chceme narýsovat graf funkce sekans, musíme začít tím, že narýsujeme graf stejné funkce ale jako kosinus. Pak vztyčíme kolmice v těch bodech, kde kosinusoida protíná osu x (pokud je vertikální posun, musíme samozřejmě pracovat s novou osou x). Souřadný systém je nyní rozdělený na úseky. V každém úseku musíme narýsovat jednu parabolu. Počátek je v nejvyšším bodě kosinusoidy v daném úseku.

1) Narýsujte graf funkce 2sex(x)+2:

Začneme tím, že narýsujeme graf funkce 2cos(x)+2.

Nyní vztyčíme kolmice na místech, kde funkce kosinus protíná novou osu x:

A nakonec narýsujeme v každém vzniklém úseku parabolu s počátkem v nejvyšším bodě kosinusoidy:

Funkce kosinus a sekans

Kosinus

Vlastnosti

Rýsování grafu

Sekans

Vlastnosti funkce sekans:

Rýsování grafu

Test

Hlavolam