Články » SŠ Matematika » Geometrie » Analytická geometrie

Analytická geometrie - Vzájemná poloha rovin

Vydáno dne v kategorii Analytická geometrie; Autor: ; Počet přečtení: 55 530

Spočítáme několik příkladů v prostoru. Příklady se budou týkat například vzájemné polohy rovin.


Při práci se dvěma rovinami (Analytická geometrie - Parametrické vyjádření roviny, Analytická geometrie - Obecná rovnice roviny)mohou nastat tři situace:

  1. Totožné - Nekonečně mnoho společných bodů.
  2. Rovnoběžné - Žádný společný bod.
  3. Různoběžné - Nekonečně mnoho společných bodů. Tyto body tvoří průsečnici rovin.

1) Bodem Q[1;-2;3] veďte rovinu ρ rovnoběžnou s rovinou π: 3x-1y+2z-1=0.

Obě roviny jsou rovnoběžné, takže normálový vektor rovin π bude zároveň normálovým vektorem roviny ρ. Tudíž se rovnice budou lišit pouze v absolutním členu d. Ten dopočítáme tak, že do obecné rovnice roviny π dosadíme souřadnice bodu Q:

3x-1y+2z-1=0
3*1-1*(-2)+2*3+d = 0
3+2+6+d=0
d=-11
ρ: 3x-1y+2z-11 = 0

2) Jsou roviny ρ: 2x+y+4z-5=0 a π: -4x-2y-8z+4=0 rovnoběžné?

Roviny jsou rovnoběžné, pokud jsou jejich normálové vektory rovnoběžné. Normálový vektor roviny ρ je u=(2;1;4) a normálový vektor roviny π je v=(-4;-2;-8. Je očividné, že vektor u je násobkem vektoru v a proto jsou roviny rovnoběžné. Ještě by mohl nastat speciální případ a to, že by roviny byly totožné. Tento případ nastane v případě, že první rovnice je násobkem druhé rovnice. Ostatně, ukážeme si to na následujícím příkladu.

3) Určete vzájemnou polohu rovin ρ: 2x+3y-4z+2=0 a π: -x-3/2y+2z-1=0.

Nejprve otestujeme, zda je normálový vektor první roviny násobkem normálového vektoru druhé roviny:

u=(2;3;-4)
v=(-1;-3/2;2)
u=-2*v

Vektor u je násobkem (-2)vektoru v, z čehož plyne, že roviny jsou rovnoběžné. Ale pozor, před chvíli jsem naznačil, že roviny by mohli být i totožné. Proto musíme otestovat, zda absolutní člen d první roviny je násobkem (-2) absolutního členu druhé roviny:

d1=2
d2=-1
d1 = d2*(-2)

Koeficient vyšel v obou případech k=-2 a proto jsou roviny totožné.

Zatím jsme probrali dva případy vzájemné polohy dvou rovin. Nyní nám zbývá tedy poslední a nejtěžší. Roviny totiž mohou být i různoběžné. Poznat, že roviny jsou různoběžné je lehké, ale těžší je určit jejich průsečnici.

Průsečnice rovin

Pokud jsou dvě roviny různoběžné, tak mají společných nekonečně mnoho bodů. Tyto body tvoří přímku a ta se nazývá průsečnice.

Určete průsečnici rovin ρ: x+2y+z-1=0 a π: 2x+3y-2z+2=0. V předchozích článcích jsme počítali průsečík dvou přímek. Určení průsečíku se provádělo vypočítáním soustavy obecných rovnic přímek. U rovin budeme postupovat obdobně.

x+2y+z-1=0
2x+3y-2z+2=0

Jenomže nyní máme dvě rovnice o třech neznámých. My ale můžeme jednu souřadnici určit a dvě zbývající dopočítat. Budeme hledat například souřadnice bodu X[0;y;z]. Dosadíme tedy za x=0 do naší soustavy:

2y+z-1=0
3y-2z+2=0

Vypočtením této soustavy dostaneme výsledek [y, z] = [0;1]. Určili jsme souřadnice jednoho bodu průsečnice X[0;0;1]. Abychom ale mohli určit přímku, potřebujeme dva body a proto musíme spočítat ještě souřadnice jednoho bodu průsečnice Y[-7;y;z]:

-7+2y+z-1=0
-14+3y-2z+2=0
Y[-7;4;0]

Nyní už máme dva body a můžeme určit parametrickou rovnici přímky p:

u=X-Y
u=(7;-4;1)
x=7t
y=-4t
z=1+1t

3) Předchozí příklad byl celkem složitý a proto si ho spočítáme ještě jednou, ale s trochu jiným zadáním. Určete průsečnici rovin ρ: 2x-3y+z-4=0 a π: 4x+y-5z+3=0.

2x-3y+z-4=0
4x+y-5z+3=0

Zkusíme najít souřadnice bodu X[x;0;z]

2x+z-4=0
4x-5z+3=0
X[17/14;0;11/7]

Spočítáme další bod Y[x;y;0]:

2x-3y-4=0
4x+y+3=0
Y[-5/14;-11/7;0]

Napsat parametrickou rovnici průsečnice p by již neměl být problém, ale raději to pro jistotu uvedu:

u=X-Y
u=(22/14;11/7;11/7)
Vektor u můžeme vydělit 11/7:
u=(2;1;1)
x=-5/14+t
y=-11/7+t
z=t

Průsečík rovin

Už jsme se naučili počítat průsečnici rovin a nyní se naučíme spočítat i jejich průsečík. Zní to trochu divně že? Průsečnici určujeme, pokud pracujeme se dvěma rovinami. Pokud ale budeme pracovat se třemi rovinami, které budou vzájemně různoběžné, tak tyto roviny budou mít společný pouze jeden bod.

Určete průsečík rovin: ρ: 3x-y+z+1=0, π: -x+2y-z-5=0; φ: x=-8+r-3s,y=-1+r,z=2+3s. Musíme mít všechny tři rovnice ve stejném tvaru a proto převedeme třetí rovinu z parametrické rovnice do obecné:

u=(1;1;0)
v=(-3;0;3)
u × v = (3;-3;3)
3x-3y+3z+d=0
3*(-8)-3*(-1)+3*2+d=0
d=15
φ: 3x-3y+3z+15=0

Máme tedy soustavu tří rovnic o třech neznámých:

3x-y+z+1=0
-x+2y-z-5=0
3x-3y+3z+15=0

Vyřešením soustavy dostaneme výsledky [x;y;z] = [2;0;-7]. Tento bod je hledaným průsečíkem rovin. Ještě si příklad trochu rozšíříme. Veďte vzniknuvším průsečíkem rovinu rovnoběžnou s rovinou δ: x=6-5t+3u,y=2+4t-u,z=1-t.

Opět musíme převést rovinu δ z parametrického vyjádření do obecného:
u=(-5;4;-1)
v=(3;-1;0)
u × v = (-1;-3;-7)
-x-3y-7z+d=0
-x*2-3*0-7*(-7)+d=0
d=-47
δ: -x-3y-7z-47=0

A hotovo!


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Vypočtěte


Hlavolam

Máte 10 pytlů zlaťáků. Jeden z Vašich sluhů, kteří měli na starost přepravu peněz, Vás chtěl okrást, a v jednom z pytlů z každé mince, která normálně váží 10 gramů, 1g zlata upiloval. Máte digitální váhy (dáte na ně předmět a oni ukáží, jakou má hmotnost). Dokážete na jedno vážení určit, který pytel obsahuje lehčí mince a tedy, kterého sluhu máte vyhodit?