Přejít na matematické fórum Připravili jsme pro Vás zbrusu nové fórum a jsme připravení odpovídat na Vaše otázky!


Články » SŠ Matematika » Geometrie » Analytická geometrie

Analytická geometrie - Obecná rovnice roviny

Vydáno dne v kategorii Analytická geometrie; Autor: ; Počet přečtení: 56 171

Rovinu lze zadat mnoha způsoby. Dnes si ukážeme, jak lze vyjádřit obecná rovnice roviny.


Pokud již umíte obecnou rovnici přímky v rovině (Analytická geometrie - Obecná rovnice přímky), lze říci, že už umíte také obecnou rovnici roviny. Není v tom víceméně žádný rozdíl. Také ji vyjadřujeme pomocí jednoho bodu a normálového vektoru.

Normálový vektor je kolmý na každý vektor v rovině. To, že je kolmý, znamená, že skalární součin je roven 0. V rovině se kolmý vektor určuje lehce. Prostě se prohodí souřadnice a jedna z nich se vynásobí -1. V prostoru je to trochu složitější, protože budeme muset kolmý vektor určovat vektorovým součinem (přejít na článek Analytická geometrie - Vektorový součin).

Obecná rovnice roviny

Je načase přistoupit k definici obecné rovnice roviny:

ax+by+cz+d=0

Předchozí rovnice se nazývá obecná rovnice roviny. Tato rovnice platí, pokud alespoň jsou čísla a, b, c, d z množiny reálných čísel a alespoň jedno z čísel a, b, c je nenulové.

Napište obecnou rovnici roviny ABC, když je zadáno A[1;0;2], B[-1;1;-2], C[3;2;0].

Řešení lze rozdělit do několika kroků. V prvním kroku určíme směrové vektory roviny u, v. V druhém kroku určíme vektorovým součinem vektor w. Poté už můžeme napsat obecnou rovnici roviny.

u=B-A
u=(-2;1;-4)
v=C-A
v=(2;2;-2)
w=(6;-12;-6)
6x-12y-6z+d=0

Stačí dopočítat hodnotu proměnné d dosazením některého z bodů A, B, C do obecné rovnice roviny:

Dosadíme například bod A:
6x-12y-6z+d=0
6*1-12*0-6*2+d=0
6-12+d=0
d=6
Obecná rovnice roviny ABC: 6x-12y-6z+6=0

Procvičování

1) Napište obecnou rovnici roviny, která má parametrické vyjádření x=1-t, y=-3+s, z=t-s.

Z parametrické rovnice roviny můžeme lehce určit dva směrové vektory roviny a jeden bod roviny:

u=(-1;0;1)
v=(0;1;-1)
X=[1;-3;0]

Určit obecnou rovnici roviny ρ je nyní stejné jako v předchozím příkladě. Nejprve tedy určíme normálový vektor w a pak dosazením do vzniknuvší rovnice určíme hodnotu proměnné d:

w=u × v
w=(-1;-1;-1)
-x-y-z+d=0
-1*1-1*(-3)-1*0+d=0
-1+3+d=0
d=-2
Obecná rovnice roviny ρ: -x-y-z-2=0, popř. x+y+z+2=0

2) Zjistěte, zda bod M[1;1;-1] leží v rovině ρ: 3x-2y+z=0.

Aby v ní ležel, muselo by platit:

3*1-2*1+1*(-1)=0

Předchozí rovnice platí, protože 0=0. Proto bod M leží v rovině ρ.

3) Napište obecnou rovnici roviny ρ, která prochází body A[2;4;7], B[1;6;0] a je rovnoběžná s přímkou CD, kde C[3;1;5] a D[-1;0;4].

Abychom mohli určit obecnou rovnici roviny ρ, musíme znát jeden bod a dva vektory. My máme dokonce dva body, takže v tom problém není. Dokonce můžeme určit jeden vektor u=B-A, takže zbývá určit jeden vektor. Přímka CD je rovnoběžná s rovinou ρ a proto směrový vektor přímky bude zároveň vektorem roviny ρ:

u=B-A
u=(-1;2;-7)
v=C-D
v=(4;1;1)
w=(9;-27;-9)
9x-27y-9z+d=0
9*2-27*4-9*7+d=0
18-108-63+d=0
d=153
Obecná rovnice roviny ρ: 9x-27y-9z+153=0

Dosáhli jsme rovnice ρ: 9x-27y-9z+153=0. Tato rovnice ale není ideální, protože obsahuje celkem velká čísla a proto bychom se měli podívat, zda ji nemůžeme nějak zjednodušit. Celou rovnici můžeme vydělat 9 a dostaneme rovnici ρ: x-3y-z+17=0.


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Určete limitu :


Hlavolam

Cihla váží 1kg a půl cihly. Jak těžká je cihla?