Analytická geometrie - Obecná rovnice roviny

Vydáno dne v kategorii Analytická geometrie; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 95 013

Rovinu lze zadat mnoha způsoby. Dnes si ukážeme, jak lze vyjádřit obecná rovnice roviny.


Pokud již umíte obecnou rovnici přímky v rovině (Obecná rovnice přímky), lze říci, že už umíte také obecnou rovnici roviny. Není v tom víceméně žádný rozdíl. Také ji vyjadřujeme pomocí jednoho bodu a normálového vektoru.

Normálový vektor je kolmý na každý vektor v rovině. To, že je kolmý, znamená, že skalární součin je roven 0. V rovině se kolmý vektor určuje lehce. Prostě se prohodí souřadnice a jedna z nich se vynásobí -1. V prostoru je to trochu složitější, protože budeme muset kolmý vektor určovat vektorovým součinem (přejít na článek Vektorový součin).

Obecná rovnice roviny

Je načase přistoupit k definici obecné rovnice roviny:

ax+by+cz+d=0

Předchozí rovnice se nazývá obecná rovnice roviny. Tato rovnice platí, pokud alespoň jsou čísla a, b, c, d z množiny reálných čísel a alespoň jedno z čísel a, b, c je nenulové.

Napište obecnou rovnici roviny ABC, když je zadáno A[1;0;2], B[-1;1;-2], C[3;2;0].

Řešení lze rozdělit do několika kroků. V prvním kroku určíme směrové vektory roviny u, v. V druhém kroku určíme vektorovým součinem vektor w. Poté už můžeme napsat obecnou rovnici roviny.

u=B-A
u=(-2;1;-4)
v=C-A
v=(2;2;-2)
w=(6;-12;-6)
6x-12y-6z+d=0

Stačí dopočítat hodnotu proměnné d dosazením některého z bodů A, B, C do obecné rovnice roviny:

Dosadíme například bod A:
6x-12y-6z+d=0
6*1-12*0-6*2+d=0
6-12+d=0
d=6
Obecná rovnice roviny ABC: 6x-12y-6z+6=0

Procvičování

1) Napište obecnou rovnici roviny, která má parametrické vyjádření x=1-t, y=-3+s, z=t-s.

Z parametrické rovnice roviny můžeme lehce určit dva směrové vektory roviny a jeden bod roviny:

u=(-1;0;1)
v=(0;1;-1)
X=[1;-3;0]

Určit obecnou rovnici roviny ρ je nyní stejné jako v předchozím příkladě. Nejprve tedy určíme normálový vektor w a pak dosazením do vzniknuvší rovnice určíme hodnotu proměnné d:

w=u × v
w=(-1;-1;-1)
-x-y-z+d=0
-1*1-1*(-3)-1*0+d=0
-1+3+d=0
d=-2
Obecná rovnice roviny ρ: -x-y-z-2=0, popř. x+y+z+2=0

2) Zjistěte, zda bod M[1;1;-1] leží v rovině ρ: 3x-2y+z=0.

Aby v ní ležel, muselo by platit:

3*1-2*1+1*(-1)=0

Předchozí rovnice platí, protože 0=0. Proto bod M leží v rovině ρ.

3) Napište obecnou rovnici roviny ρ, která prochází body A[2;4;7], B[1;6;0] a je rovnoběžná s přímkou CD, kde C[3;1;5] a D[-1;0;4].

Abychom mohli určit obecnou rovnici roviny ρ, musíme znát jeden bod a dva vektory. My máme dokonce dva body, takže v tom problém není. Dokonce můžeme určit jeden vektor u=B-A, takže zbývá určit jeden vektor. Přímka CD je rovnoběžná s rovinou ρ a proto směrový vektor přímky bude zároveň vektorem roviny ρ:

u=B-A
u=(-1;2;-7)
v=C-D
v=(4;1;1)
w=(9;-27;-9)
9x-27y-9z+d=0
9*2-27*4-9*7+d=0
18-108-63+d=0
d=153
Obecná rovnice roviny ρ: 9x-27y-9z+153=0

Dosáhli jsme rovnice ρ: 9x-27y-9z+153=0. Tato rovnice ale není ideální, protože obsahuje celkem velká čísla a proto bychom se měli podívat, zda ji nemůžeme nějak zjednodušit. Celou rovnici můžeme vydělat 9 a dostaneme rovnici ρ: x-3y-z+17=0.

Test

Určete limitu \lim\limits_{x\to2}\frac{x^2+4}{x-2}:


Hlavolam

Dva závodní automobily se účastní závodu na okruhu. Jeden automobil je schopen projet celý okruh za 60 sekund, zatímco druhý za 80 sekund. Jak dlouho potrvá, než se opět setkají na startovní čáře?