Pokud již umíte obecnou rovnici přímky v rovině (Analytická geometrie - Obecná rovnice přímky), lze říci, že už umíte také obecnou rovnici roviny. Není v tom víceméně žádný rozdíl. Také ji vyjadřujeme pomocí jednoho bodu a normálového vektoru.
Normálový vektor je kolmý na každý vektor v rovině. To, že je kolmý, znamená, že skalární součin je roven 0. V rovině se kolmý vektor určuje lehce. Prostě se prohodí souřadnice a jedna z nich se vynásobí -1. V prostoru je to trochu složitější, protože budeme muset kolmý vektor určovat vektorovým součinem (přejít na článek Analytická geometrie - Vektorový součin).
Obecná rovnice roviny
Je načase přistoupit k definici obecné rovnice roviny:
ax+by+cz+d=0
Předchozí rovnice se nazývá obecná rovnice roviny. Tato rovnice platí, pokud alespoň jsou čísla a, b, c, d z množiny reálných čísel a alespoň jedno z čísel a, b, c je nenulové.
Napište obecnou rovnici roviny ABC, když je zadáno A[1;0;2], B[-1;1;-2], C[3;2;0].
Řešení lze rozdělit do několika kroků. V prvním kroku určíme směrové vektory roviny u, v. V druhém kroku určíme vektorovým součinem vektor w. Poté už můžeme napsat obecnou rovnici roviny.
u=B-A u=(-2;1;-4) v=C-A v=(2;2;-2) w=(6;-12;-6) 6x-12y-6z+d=0
Stačí dopočítat hodnotu proměnné d dosazením některého z bodů A, B, C do obecné rovnice roviny:
Dosadíme například bod A:
6x-12y-6z+d=0
6*1-12*0-6*2+d=0
6-12+d=0
d=6
Obecná rovnice roviny ABC: 6x-12y-6z+6=0
Procvičování
1) Napište obecnou rovnici roviny, která má parametrické vyjádření x=1-t, y=-3+s, z=t-s.
Z parametrické rovnice roviny můžeme lehce určit dva směrové vektory roviny a jeden bod roviny:
u=(-1;0;1) v=(0;1;-1) X=[1;-3;0]
Určit obecnou rovnici roviny ρ je nyní stejné jako v předchozím příkladě. Nejprve tedy určíme normálový vektor w a pak dosazením do vzniknuvší rovnice určíme hodnotu proměnné d:
w=u × v
w=(-1;-1;-1)
-x-y-z+d=0
-1*1-1*(-3)-1*0+d=0
-1+3+d=0
d=-2
Obecná rovnice roviny ρ: -x-y-z-2=0, popř. x+y+z+2=0
2) Zjistěte, zda bod M[1;1;-1] leží v rovině ρ: 3x-2y+z=0.
Aby v ní ležel, muselo by platit:
3*1-2*1+1*(-1)=0
Předchozí rovnice platí, protože 0=0. Proto bod M leží v rovině ρ.
3) Napište obecnou rovnici roviny ρ, která prochází body A[2;4;7], B[1;6;0] a je rovnoběžná s přímkou CD, kde C[3;1;5] a D[-1;0;4].
Abychom mohli určit obecnou rovnici roviny ρ, musíme znát jeden bod a dva vektory. My máme dokonce dva body, takže v tom problém není. Dokonce můžeme určit jeden vektor u=B-A, takže zbývá určit jeden vektor. Přímka CD je rovnoběžná s rovinou ρ a proto směrový vektor přímky bude zároveň vektorem roviny ρ:
u=B-A u=(-1;2;-7) v=C-D v=(4;1;1) w=(9;-27;-9) 9x-27y-9z+d=0 9*2-27*4-9*7+d=0 18-108-63+d=0 d=153 Obecná rovnice roviny ρ: 9x-27y-9z+153=0
Dosáhli jsme rovnice ρ: 9x-27y-9z+153=0. Tato rovnice ale není ideální, protože obsahuje celkem velká čísla a proto bychom se měli podívat, zda ji nemůžeme nějak zjednodušit. Celou rovnici můžeme vydělat 9 a dostaneme rovnici ρ: x-3y-z+17=0.
, když