Přejít na matematické fórum Připravili jsme pro Vás zbrusu nové fórum a jsme připravení odpovídat na Vaše otázky!


Články » SŠ Matematika » Geometrie » Analytická geometrie

Analytická geometrie - Obecná rovnice roviny

Vydáno dne v kategorii Analytická geometrie; Autor: ; Počet přečtení: 79 425

Rovinu lze zadat mnoha způsoby. Dnes si ukážeme, jak lze vyjádřit obecná rovnice roviny.


Pokud již umíte obecnou rovnici přímky v rovině (Analytická geometrie - Obecná rovnice přímky), lze říci, že už umíte také obecnou rovnici roviny. Není v tom víceméně žádný rozdíl. Také ji vyjadřujeme pomocí jednoho bodu a normálového vektoru.

Normálový vektor je kolmý na každý vektor v rovině. To, že je kolmý, znamená, že skalární součin je roven 0. V rovině se kolmý vektor určuje lehce. Prostě se prohodí souřadnice a jedna z nich se vynásobí -1. V prostoru je to trochu složitější, protože budeme muset kolmý vektor určovat vektorovým součinem (přejít na článek Analytická geometrie - Vektorový součin).

Obecná rovnice roviny

Je načase přistoupit k definici obecné rovnice roviny:

ax+by+cz+d=0

Předchozí rovnice se nazývá obecná rovnice roviny. Tato rovnice platí, pokud alespoň jsou čísla a, b, c, d z množiny reálných čísel a alespoň jedno z čísel a, b, c je nenulové.

Napište obecnou rovnici roviny ABC, když je zadáno A[1;0;2], B[-1;1;-2], C[3;2;0].

Řešení lze rozdělit do několika kroků. V prvním kroku určíme směrové vektory roviny u, v. V druhém kroku určíme vektorovým součinem vektor w. Poté už můžeme napsat obecnou rovnici roviny.

u=B-A
u=(-2;1;-4)
v=C-A
v=(2;2;-2)
w=(6;-12;-6)
6x-12y-6z+d=0

Stačí dopočítat hodnotu proměnné d dosazením některého z bodů A, B, C do obecné rovnice roviny:

Dosadíme například bod A:
6x-12y-6z+d=0
6*1-12*0-6*2+d=0
6-12+d=0
d=6
Obecná rovnice roviny ABC: 6x-12y-6z+6=0

Procvičování

1) Napište obecnou rovnici roviny, která má parametrické vyjádření x=1-t, y=-3+s, z=t-s.

Z parametrické rovnice roviny můžeme lehce určit dva směrové vektory roviny a jeden bod roviny:

u=(-1;0;1)
v=(0;1;-1)
X=[1;-3;0]

Určit obecnou rovnici roviny ρ je nyní stejné jako v předchozím příkladě. Nejprve tedy určíme normálový vektor w a pak dosazením do vzniknuvší rovnice určíme hodnotu proměnné d:

w=u × v
w=(-1;-1;-1)
-x-y-z+d=0
-1*1-1*(-3)-1*0+d=0
-1+3+d=0
d=-2
Obecná rovnice roviny ρ: -x-y-z-2=0, popř. x+y+z+2=0

2) Zjistěte, zda bod M[1;1;-1] leží v rovině ρ: 3x-2y+z=0.

Aby v ní ležel, muselo by platit:

3*1-2*1+1*(-1)=0

Předchozí rovnice platí, protože 0=0. Proto bod M leží v rovině ρ.

3) Napište obecnou rovnici roviny ρ, která prochází body A[2;4;7], B[1;6;0] a je rovnoběžná s přímkou CD, kde C[3;1;5] a D[-1;0;4].

Abychom mohli určit obecnou rovnici roviny ρ, musíme znát jeden bod a dva vektory. My máme dokonce dva body, takže v tom problém není. Dokonce můžeme určit jeden vektor u=B-A, takže zbývá určit jeden vektor. Přímka CD je rovnoběžná s rovinou ρ a proto směrový vektor přímky bude zároveň vektorem roviny ρ:

u=B-A
u=(-1;2;-7)
v=C-D
v=(4;1;1)
w=(9;-27;-9)
9x-27y-9z+d=0
9*2-27*4-9*7+d=0
18-108-63+d=0
d=153
Obecná rovnice roviny ρ: 9x-27y-9z+153=0

Dosáhli jsme rovnice ρ: 9x-27y-9z+153=0. Tato rovnice ale není ideální, protože obsahuje celkem velká čísla a proto bychom se měli podívat, zda ji nemůžeme nějak zjednodušit. Celou rovnici můžeme vydělat 9 a dostaneme rovnici ρ: x-3y-z+17=0.


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Najděte vektor opačný k vektoru


Hlavolam

Jak to tak bývá, zlý čaroděj uvěznil mudrce. A kdo by to čekal, dal mu šanci se zachránit, pokud splní úkol. Na stole je kulatý tác, kterým lze volně otáčet, a na něm čtyři mince do čtverce. Mudrc má zavázané oči, nic nevidí. Jeho úkolem je otočit mince tak, že bude na všech panna. Nemá to však jednoduché. Otočí jistý počet mincí, pak černokněžník tácem zatočí. Opět otočí nějaké mince a znovu se tácem náhodně otočí. Toto se opakuje, dokud nejsou všechny mince správně. V tu chvíli je hra zlotřilým čarodějem ukončena. Mudrc nepozná podle hmatu pannu od orla. Musí vždy mince nechat na svém místě, ve čtverci. A hlavně - kvůli zlé magii - má strašnou smůlu a pokud bude spoléhat jen na náhodu, tak úkol nikdy nesplní.