Obecná rovnice přímky

V předchozích článcích jsme se naučili jeden způsob, jakým lze vyjádřit přímka. Dnes se naučíme nový způsob.

Normálový vektor

Každá přímka má normálový vektor. Tento vektor je kolmý ke směrovému vektoru.

Pokud tedy máme vektory u, v jako na předchozím obrázku, platí:

u=(u1;u2)
v=(-u2;u1)

Přímku tedy můžeme zadat pomocí normálového vektoru a bodu.

Obecná rovnice přímky

Vše si nejprve vysvětlíme na příkladu. Najděte podmínku, kterou musí splňovat bod B, aby ležel na přímce p, která obsahuje bod A[3;-1] a má normálový vektor v=(1;2).

Aby bod B[b1, b2] mohl ležet na přímce p, musely by vektory v a u=A-B být kolmé. Dva vektory jsou kolmé, pokud se jejich skalární součin rovná nule a proto můžeme říci, že platí:

v*u=0
(1;2)*(b1-3;b2+1) = 0
b1-3+2b2+2=0
b1+2b2-1=0

Toto je obecná rovnice přímky p. Nyní zkusíme podobný příklad vyřešit obecně.

Najděte podmínku, kterou musí splňovat bod X[x;y], aby ležel na přímce p určenou normálovým vektorem n=(a;b) a bodem P[p1; p2].

Budeme postupovat naprosto stejně jako v předchozím případě. Aby bod X ležel na přímce p, musela by být splněna podmínka:

n*(X-P) = 0
(a;b)*(x-p1;y-p2) = 0
ax-ap1+by-bp2 = 0

Označíme li c=-ap1-bp2, tak platí:

ax+by+c=0

A to je obecná rovnice přímky.

Aby tato rovnice platila, musí být alespoň jedno z čísel a, b nenulové.

Vzájemná poloha přímek

Mohou nastat tři případy:

1. Rovnoběžné
2. Totožné
3. Různoběžné

Dvě přímky jsou totožné právě tehdy, když je obecná rovnice násobkem obecné rovnice druhé přímky.

Dvě přímky jsou rovnoběžné právě tehdy, když je normálový vektor první přímky násobkem normálového vektoru druhé přímky.

Určete vzájemnou polohu přímek p: 4x+2y+2 a q: 8x+4y+4.

Přímky jsou totožné, protože q = 2p.

Určete vzájemnou polohu přímek p: x-4y+1 a q: 3y-12y+1.

Přímky jsou rovnoběžné, protože normálový vektor přímky p je násobkem normálového vektoru přímky q.

Určete vzájemnou polohu přímek p: x+2y+3 a q: 4x-5y+1.

Přímky nejsou rovnoběžné ani totožné, tudíž musejí být různoběžné. My zvládneme určit jejich průsečík. Je to vlastně řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých:

x+2y+3=0
4x-5y+1=0

Vyřešením této soustavy dojdete k výsledku X[-11/13;-17/13].

Procvičování

1) Máme přímku p, která má obecnou rovnici:

2x+4y-5=0

Vypočítejte souřadnice alespoň jednoho bodu, který se na přímce p nachází.

Musíme najít souřadnice bodu X[x;y]. Nyní stačí abychom náhodně vybrali x-ovou souřadnici a dopočítali y-ovou souřadnici.

Jako x-ovou souřadnici vybereme například: x=0
Dosadíme do obecné rovnice:
2x+4y-5=0
2*0+4y-5=0
4y-5=0
4y=5
y=5/4

Samozřejmě můžete určit y-ovou souřadnici a x-ovou dopočítat. Další body, které by ležely na přímce by byly například: [1;3/4], [-1;7/4], [2;1/4]. Těchto bodů bychom našli nekonečně mnoho.

Nalezněte souřadnice průsečíků přímky p s osou x a y.

Je to obdoba předchozího výpočtu. Abychom nalezli průsečík přímky s osou x, musíme y v obecné rovnici přímky vyjádřit jako y=0 a spočítat rovnici:

2x+4y-5=0
2x+4*0-5=0
2x=5
x=5/2

Analogicky pro osu y:

2x+4y-5=0
2*1+4y-5=0
4y=5
y=5/4

2) Najděte obecnou rovnic přímky, která prochází bodem X[2;3] a je rovnoběžná s přímkou p: x-3y+2.

Přímky se budou lišit pouze v proměnné c. Abychom tuto hodnotu získali, dosadíme do obecné rovnice souřadnice bodu X:

x-3y+2
2-3*3+c = 0
c=7

Hledaná obecná rovnice je tedy x-3y+7.

3) Napište obecnou rovnici přímky procházející body A[1;2], B[-2,3].

Nejprve musíme určit směrový vektor u:

u=A-B
u=(3;-1)

Dále musíme určit normálový vektor v:

v=(1;3)

Můžeme určit první část obecné rovnice:

p: x+3y+c=0

Nyní stačí, abychom za proměnné x, y dosadili jeden z bodů A, B a dopočítali rovnici:

x+3y+c=0
Dosadíme bod A
1+3*2+c=0
c=-7

Hledaná obecná rovnice je tedy x+3y-7.

4) Napište obecnou rovnici přímky:

x=5+4t
y=1-2t

Hledaná přímka má směrový vektor v=(4;-2) a prochází bodem A[5;1]. Normálový vektor této přímky by byl například n=(2;4). Obecná rovnice by tedy zatím vypadala takto:

2x+4y+c=0

Do této rovnice můžeme dosadit souřadnice bodu A a získat tak hodnotu proměnné c.

2x+4y+c=0
2*5+4*1+c=0
c=-14

Hledaná rovnice je proto 2x+4y-14=0.

5) p: (3+m)x+(1-2m)y+3m=0 zvolte číslo m, tak aby obsahovala bod A[3;7]. /p>

Do obecné rovnice přímky p dosadíme za proměnné x,y souřadnice bodu A:

(3+m)x+(1-2m)y+3m=0
(3+m)*3+(1-2m)*7+3m=0

Nyní stačí spočítat jednu rovnici o jedné neznámé a máme výsledek:

9+3m+7-14m+3m=0
-8m=-16
m=2

6) Určete vzájemnou polohu přímek p: 3x-y+1=0; q: 6x-2y+1=0.

Přímky jsou rovnoběžné, protože 3x-y je násobkem 6x-2y.

7) Určete vzájemnou polohu přímek p: 2x-y+1=0; q: 3x+2=0.

Normálový vektor přímky p není násobkem normálového vektoru přímky q a proto jsou přímky různoběžné. Ještě určíme jejich průsečík X.

2x-y+1=0
3x+2=0

Vyřešením této soustavy dojdeme k výsledku x=-2/3,y=-1/3. Hledaný bod je tedy X[-2/3;-1/3].

Mohlo by Vás zajímat

• Parametrické vyjádření přímky
• Úseková rovnice přímky
• Směrnicová rovnice přímky