Odchylka přímky a roviny

Odchylka přímky a roviny je úhel, který přímka svírá se svým kolmým průmětem do roviny. Vychází vždy od 0° do 90°: přímka rovnoběžná s rovinou nebo v ní ležící má odchylku 0°, přímka kolmá k rovině 90°. Počítá se v pravoúhlém trojúhelníku, jehož přepona leží na přímce a jedna odvěsna v rovině:

`\displaystyle \operatorname{tg}\varphi = \frac{|AA'|}{|PA'|}`

kde P je průsečík přímky s rovinou, A libovolný další bod přímky a A′ jeho kolmý průmět do roviny. Když přímku a rovinu zadáte vektory, platí `\sin\varphi = \dfrac{|\vec u \cdot \vec n|}{|\vec u|\cdot|\vec n|}`.

Níže je postup krok za krokem, čtyři řešené příklady na krychli a jehlan, výpočet pomocí vektorů, tabulka odchylek v krychli a šest příkladů k procvičení s řešením. Rychlé otázky na odchylky v krychli najdete ve cvičení odchylka přímky a roviny.

Odchylku dvou přímek a dvou rovin najdete v samostatných článcích odchylka přímek a odchylka dvou rovin.

Co je odchylka přímky od roviny

Rovina je v geometrii dokonale rovná plocha bez okrajů a bez tloušťky. Je určená třemi body, které neleží na jedné přímce, nebo přímkou a bodem mimo ni, nebo dvěma různoběžkami. Na obrázcích ji kreslíme jako rovnoběžník a značíme řeckým písmenem, třeba `\rho`.

Přímka p, která rovinu protíná a není k ní kolmá, s ní svírá úhel. Nelze ho ale měřit s jakoukoli přímkou roviny, protože různé přímky roviny svírají s p různé úhly. Proto se měří s tou nejdůležitější z nich, s kolmým průmětem přímky p do roviny.

Kolmý průmět dostaneme tak, že z bodu A přímky spustíme kolmici k rovině. Její pata A′ spolu s průsečíkem P určuje průmět PA′. Úhel APA′ je odchylka `\varphi`. Trojúhelník PA′A má pravý úhel u vrcholu A′, takže odchylku spočítáme goniometrickými funkcemi, které znáte z článku úvod do goniometrie. Úsečka AA′ je přitom vzdálenost bodu A od roviny.

Průmět je ze všech přímek roviny ta, se kterou svírá přímka p nejmenší úhel. S ostatními přímkami roviny svírá úhel větší, až do 90°. Proto odchylka nemůže vyjít větší než 90° a proto nestačí vzít první přímku roviny, která se v obrázku nabízí.

• Přímka leží v rovině nebo je s ní rovnoběžná: odchylka je 0°.
• Přímka je k rovině kolmá, tedy kolmá ke dvěma různoběžkám roviny: odchylka je 90°.
• Ve všech ostatních případech je odchylka mezi 0° a 90°.

Jak poznat, jestli přímka rovinu vůbec protíná, vysvětluje článek vzájemná poloha přímky a roviny.

Jak spočítat odchylku přímky a roviny

Výpočet odchylky přímky a roviny je ještě jednodušší než výpočet odchylky dvou rovin. Přímkou proložíme rovinu kolmou na zadanou rovinu, v této kolmé rovině najdeme pravoúhlý trojúhelník a z něj úhel. Po krocích:

1. Najděte průsečík P přímky s rovinou. Často je to vrchol nebo střed hrany tělesa.
2. Proložte přímkou kolmou rovinu. V krychli to bývá stěna nebo úhlopříčný řez. Kolmá rovina protne zadanou rovinu v přímce a to je hledaný průmět.
3. Nakreslete si kolmou rovinu zvlášť, jako obyčejný obdélník nebo trojúhelník ve skutečné velikosti. V prostorovém obrázku se úhly zkreslují, ve zvláštním nákresu ne.
4. Dopočítejte strany pravoúhlého trojúhelníku Pythagorovou větou.
5. Spočítejte úhel přes `\operatorname{tg}`, `\sin` nebo `\cos`. Když spočítáte druhý ostrý úhel trojúhelníku, odchylka je jeho doplněk do 90°.

Kontrola: výsledek musí ležet mezi 0° a 90°. Pokud máte víc než 90°, spočítali jste úhel s opačně orientovanou přímkou a správně je `180^\circ` minus výsledek.

Řešené příklady

Ve všech obrázcích je zadaná rovina červeně, přímka modře a šedě čárkovaně kolmé průměty. Krychle ABCDEFGH má podstavu ABCD a vrchol E leží nad A, F nad B a tak dále.

Příklad 1 - přímka PS a úhlopříčný řez DBF

Vypočtěte velikost odchylky roviny DBF a přímky PS v krychli ABCDEFGH. Bod P leží uprostřed hrany CG a bod S leží v podstavě na průsečíku úhlopříček. Délka hrany `|AB| = 4\ \mathrm{cm}`.

Přímka PS protíná rovinu DBF v bodě S. Jediná kolmá rovina, která v tomto příkladu připadá v úvahu, je rovina ACG: obsahuje přímku PS a je kolmá na úhlopříčku BD, a tedy i na rovinu DBF. Obě roviny jsou svislé a protínají se ve svislé přímce bodem S. V nákresu roviny ACGE (druhý obrázek) je to červená přímka.

Začneme délkami stran trojúhelníku SCP, který má pravý úhel u vrcholu C:

`\begin{gathered}|AC| = \sqrt{|AB|^2 + |BC|^2} = \sqrt{32} \\[10pt] |AC| = 4\sqrt{2} \doteq 5{,}66\ \mathrm{cm} \\[10pt] |SC| = \frac{|AC|}{2} = 2\sqrt{2} \doteq 2{,}83\ \mathrm{cm} \\[10pt] |CP| = 2\ \mathrm{cm}\end{gathered}`

Úhel CSP je odchylka přímky PS od podstavy. Odchylka od svislé roviny DBF je jeho doplněk do 90°:

`\begin{gathered}\operatorname{tg}|\angle CSP| = \frac{|CP|}{|SC|} = \frac{2}{2\sqrt{2}} \doteq 0{,}707 \\[10pt] |\angle CSP| \doteq 35^\circ 16' \\[10pt] \varphi = 90^\circ - 35^\circ 16' = 54^\circ 44'\end{gathered}`

Kontrola: přímou cestou. Bod P se kolmo promítne do bodu přímo nad S ve výšce 2 cm, průmět přímky je tedy svislá přímka bodem S a `\operatorname{tg}\varphi = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}`, což dává opět `54^\circ 44'`. Pozor na zaokrouhlování: s chybným mezivýsledkem `|AC| = 5{,}56` místo 5,66 by vyšlo 54°16′, o půl stupně méně. Počítejte s odmocninami a zaokrouhlujte až na konci.

Příklad 2 - přímka v horní stěně

Vypočítejte odchylku přímky ER a roviny EAC v krychli ABCDEFGH. Bod R leží ve středu hrany HG. Délka hrany `|AB| = 4\ \mathrm{cm}`.

Najít kolmou rovinu je velmi lehké. Přímka ER leží v horní stěně EFGH, a ta je kolmá na svislou rovinu EAC. Obě roviny se protínají v úhlopříčce EG. Kolmice z bodu R na EG má patu R′. Protože je horní stěna kolmá na rovinu EAC, je úsečka RR′ kolmá na celou rovinu EAC. Průmětem přímky ER je proto přímka EG a odchylka je úhel REG. Ten spočítáme v nákresu horní stěny:

Délky stran trojúhelníku REG dostaneme z Pythagorovy věty, úhel pak z kosinové věty:

`\begin{gathered}|ER| = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5} \doteq 4{,}47\ \mathrm{cm} \\[10pt] |EG| = 4\sqrt{2} \doteq 5{,}66\ \mathrm{cm} \\[10pt] |GR| = 2\ \mathrm{cm} \\[10pt] \cos\varphi = \frac{|ER|^2 + |EG|^2 - |GR|^2}{2\cdot|ER|\cdot|EG|} \\[10pt] \cos\varphi = \frac{20 + 32 - 4}{2\cdot 2\sqrt{5}\cdot 4\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \\[10pt] \varphi \doteq 18^\circ 26'\end{gathered}`

Kontrola: bez kosinové věty. Přímka ER svírá s hranou EF úhel, pro který `\operatorname{tg} = \frac{4}{2} = 2`, tedy `63^\circ 26'`. Úhlopříčka EG svírá s EF úhel 45°. Rozdíl je `63^\circ 26' - 45^\circ = 18^\circ 26'`. Všimněte si, že úhel s hranou EF (63°26′) nebo EH (26°34′) odchylka není: EF ani EH neleží v rovině EAC.

Příklad 3 - tělesová úhlopříčka a rovina BDG

Určete odchylku přímky EC a roviny DBG v krychli ABCDEFGH s délkou hrany `|AB| = 4\ \mathrm{cm}`.

Kolmá rovina je pochopitelně rovina ACG: obsahuje úhlopříčku EC a je kolmá na BD, a tedy i na rovinu DBG. Rovinu DBG protíná v přímce GS, kde S je střed podstavy. V nákresu obdélníku ACGE (druhý obrázek) hledáme úhel, který svírá EC s GS v jejich průsečíku X.

Nejlehčí cesta je spočítat úhly GEC a EGS a využít, že součet úhlů v trojúhelníku EGX je 180°. Úhel GEC je v pravoúhlém trojúhelníku ECG s odvěsnami `|GC| = 4` a `|EG| = 4\sqrt{2}`. Úhel CGS je v pravoúhlém trojúhelníku SCG s odvěsnami `|SC| = 2\sqrt{2}` a `|GC| = 4`:

`\begin{gathered}\operatorname{tg}|\angle GEC| = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \\[10pt] \operatorname{tg}|\angle CGS| = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\end{gathered}`

Oba úhly jsou tedy stejné, asi 35°16′, a úhel EGS je `90^\circ - 35^\circ 16' = 54^\circ 44'`. Pro úhel u vrcholu X zbývá

`|\angle EXG| = 180^\circ - |\angle GEC| - |\angle EGS|`
`|\angle EXG| = 180^\circ - 35^\circ 16' - 54^\circ 44' = 90^\circ`

Odchylka je 90°, tělesová úhlopříčka EC je k rovině BDG kolmá. Vyšlo to přesně, ne jen po zaokrouhlení: úhly GEC a CGS mají stejný tangens. Kontrola: EC je kolmá na GS, jak jsme právě ukázali, a také na BD, protože BD je kolmá na celou rovinu ACGE. Přímka kolmá na dvě různoběžky roviny je kolmá k rovině.

Příklad 4 - boční hrana jehlanu a podstava

Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV s podstavnou hranou `a = 6\ \mathrm{cm}` a výškou `v = 7\ \mathrm{cm}`. Určete odchylku boční hrany od roviny podstavy.

Vrchol V se kolmo promítne do středu S podstavy, průmětem hrany CV je tedy úsečka SC, polovina úhlopříčky podstavy. Trojúhelník SCV má pravý úhel u vrcholu S:

`\begin{gathered}|SC| = \frac{a\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \doteq 4{,}24\ \mathrm{cm} \\[10pt] \operatorname{tg}\varphi = \frac{|SV|}{|SC|} = \frac{7}{3\sqrt{2}} \doteq 1{,}650 \\[10pt] \varphi \doteq 58^\circ 47'\end{gathered}`

Kontrola: boční hrana má délku `\sqrt{18 + 49} = \sqrt{67} \doteq 8{,}19\ \mathrm{cm}` a `\sin\varphi = \frac{7}{8{,}19} \doteq 0{,}855`, což dává stejný úhel. Délku boční hrany a další rozměry jehlanu spočítá kalkulačka pravidelného jehlanu. Odchylku boční stěny od podstavy počítáte jinak, přes výšku stěny, je to odchylka dvou rovin.

Odchylka přímky a roviny pomocí vektorů

V analytické geometrii je přímka zadaná směrovým vektorem `\vec u` a rovina normálovým vektorem `\vec n`, u roviny `ax + by + cz + d = 0` je to `\vec n = (a; b; c)`. Úhel `\psi` mezi přímkou a normálou dá skalární součin. Normála je ale k rovině kolmá, takže odchylka od roviny je doplněk: `\varphi = 90^\circ - \psi`. A protože `\cos\psi = \sin(90^\circ - \psi)`, píše se ve vzorci sinus:

`\displaystyle \sin\varphi = \frac{|\vec u \cdot \vec n|}{|\vec u|\cdot|\vec n|}`

Absolutní hodnota v čitateli zajistí, že vyjde úhel od 0° do 90°, ať mají vektory jakoukoli orientaci. Když je `\vec u \cdot \vec n = 0`, přímka je s rovinou rovnoběžná nebo v ní leží.

Příklad 1 znovu, vektorově. Umístíme krychli do soustavy souřadnic: A = [0; 0; 0], B = [4; 0; 0], D = [0; 4; 0], E = [0; 0; 4]. Pak S = [2; 2; 0] a P = [4; 4; 2].

`\vec u = P - S = (2; 2; 2),\ \text{stačí}\ (1; 1; 1)`
`\vec{DB} = (4; -4; 0),\quad \vec{BF} = (0; 0; 4)`
`\vec n = (1; 1; 0)`

Normála je kolmá na oba vektory roviny: `(1; 1; 0)\cdot(4; -4; 0) = 0` a `(1; 1; 0)\cdot(0; 0; 4) = 0`. Dosadíme:

`\begin{gathered}\sin\varphi = \frac{|1 + 1 + 0|}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{6}} \doteq 0{,}816 \\[10pt] \varphi \doteq 54^\circ 44'\end{gathered}`

Stejný výsledek jako v příkladu 1. Výpočet si můžete ověřit v kalkulačce odchylky přímky a roviny, kde jsou už tyto vektory vyplněné. Jak se skalární součin počítá, vysvětluje článek skalární součin, normálový vektor roviny článek obecná rovnice roviny.

Tabulka: odchylky v krychli

Tyto odchylky nezávisí na délce hrany, takže se vyplatí je znát. Vrcholy jsou označené jako v příkladech výše.

Tělesová úhlopříčka svírá stejný úhel 35°16′ s každou stěnou krychle, ne jen s podstavou. Úhly mezi hranami a úhlopříčkami pro zadanou hranu vypíše přehled odchylek v krychli, délky úhlopříček kalkulačka krychle.

Časté chyby

• Úhel s normálou místo s rovinou. Vektorový vzorec s kosinem dává úhel přímky s kolmicí k rovině. Pro přímku `(1; 1; 1)` a podstavu `z = 0` vyjde 54°44′, ale odchylka od podstavy je 35°16′. Ve vzorci pro přímku a rovinu je sinus.
• Úhel s jinou přímkou roviny než s průmětem. V příkladu 2 svírá ER s hranou EF úhel 63°26′, ale odchylka od roviny EAC je 18°26′. Úhel se měří jen s kolmým průmětem.
• Úhel změřený v prostorovém obrázku. Ve volném rovnoběžném promítání se pravé úhly nekreslí jako pravé. Kolmou rovinu si nakreslete zvlášť ve skutečné velikosti.
• Zaokrouhlené nebo opsané mezivýsledky. Jedna špatná číslice v `4\sqrt{2}` posune výsledek příkladu 1 o půl stupně a zaokrouhlování v každém kroku posouvá minuty. Počítejte s odmocninami a zaokrouhlujte až na konci.
• Výsledek přes 90°. Odchylka je vždy nejvýš 90°. Pokud vyšlo víc, odečtěte výsledek od 180°.
• Odchylka stěny místo hrany. Boční hrana jehlanu a boční stěna jehlanu mají od podstavy různé odchylky. Hrana se promítá do poloviny úhlopříčky podstavy, stěna se měří přes stěnovou výšku.

Procvičování

Jelikož je tato látka velmi podobná počítání odchylky dvou rovin, můžeme se rovnou vrhnout na cvičné příklady. Výsledky jsou zaokrouhlené na minuty.

`\begin{gathered}|AM'| = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5} \doteq 4{,}47\ \mathrm{cm} \\[10pt] \operatorname{tg}\varphi = \frac{|MM'|}{|AM'|} = \frac{4}{2\sqrt{5}} \doteq 0{,}894 \\[10pt] \varphi \doteq 41^\circ 49'\end{gathered}`

`\varphi = 45^\circ - 26^\circ 34' = 18^\circ 26'`

`\vec{EB} = (4; 0; -4),\quad \vec{EG} = (4; 4; 0)`
`\vec n = (1; -1; 1)`
`\vec u = P - B = (-4; 4; 2),\ \text{stačí}\ (-2; 2; 1)`

`\begin{gathered}\sin\varphi = \frac{|-2 - 2 + 1|}{3\cdot\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \doteq 0{,}577 \\[10pt] \varphi \doteq 35^\circ 16'\end{gathered}`

`\begin{gathered}\operatorname{tg}\varphi = \frac{|SC|}{|SV|} = \frac{3\sqrt{2}}{7} \doteq 0{,}606 \\[10pt] \varphi \doteq 31^\circ 13'\end{gathered}`

`\begin{gathered}\vec u \cdot \vec n = 2 - 2 + 4 = 4 \\[10pt] \sin\varphi = \frac{4}{3\cdot 3} = \frac{4}{9} \doteq 0{,}444 \\[10pt] \varphi \doteq 26^\circ 23'\end{gathered}`

`\begin{gathered}u = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{41} \doteq 6{,}40\ \mathrm{m} \\[10pt] \operatorname{tg}\varphi = \frac{3}{\sqrt{41}} \doteq 0{,}469 \\[10pt] \varphi \doteq 25^\circ 6'\end{gathered}`

Kam dál

Odchylku ze směrového a normálového vektoru spočítá kalkulačka odchylky přímky a roviny, další úlohy v prostoru jsou v přehledu stereometrie. Otázky na odchylky v krychli a na vektory si procvičte ve cvičení odchylka přímky a roviny. Protože každá odchylka končí v pravoúhlém trojúhelníku, vyplatí se mít v ruce goniometrii: procvičte si ji ve cvičení goniometrie v trojúhelníku.

• Odchylky: odchylka dvou přímek, odchylka dvou rovin, kalkulačky odchylka přímek a odchylka rovin.
• Vzdálenosti: vzdálenost bodu od roviny a její kalkulačka.
• Analyticky: metrické úlohy v prostoru, skalární součin.
• Základy: vzájemná poloha přímky a roviny, úvod do stereometrie a jehlan.