Odchylka přímky a roviny

Výpočet odchylky přímky a roviny je dle mého ještě jednodušší, než výpočet odchylky dvou rovin. Když počítáme odchylku přímky a roviny, musíme přímkou proložit rovinu kolmou na zadanou rovinu. V této nalezené rovině pak najdeme trojúhelník s jehož pomocí příklad vyřešíme.

První příklad

Vypočtěte velikost odchylky roviny DBF a přímky PS v krychli ABCDEFGH. Bod P leží uprostřed hrany CG a bod S leží v podstavě na průsečíku úhlopříček. Délka hrany |AB| = 4 cm.

Jediná kolmá rovina, která v tomto příkladě připadá v úvahu je rovina SCG. Stejně jako při počítání odchylek dvou rovin, doporučuji i teď udělat si obrázek kolmé roviny:

Měli bychom začít zjištěním délek stran trojúhelníku SCP.

|AC|=√(|AB|2+|BC|2)=5.56
|SC|=|AC|/2=2.78 cm

|CP|=2 cm

|SP|=√(|CP|2+|SC|2)
|SP|=3.42

Odchylka je rovna úhlu 90-CSP, který nyní bez problému zvládneme spočítat:

cos |∠CSP|=|CP|/|SP|=2/3.42
|∠CSP| = 35°47'
90-35°47'=[u]54°13'[/u]

Druhý příklad

Vypočítejte odchylku přímky ER a roviny EAC v krychli ABCDEFGH. Bod R leží ve středu strany HG. Délka hrany |AB| = 4 cm.

Najít kolmou rovinu je velmi lehké. Je to rovina EFG.

Tentokrát již nebudu do podrobna rozepisovat postup, jakým získat délku |ER| a |EG|. Je to jednoduché dosazení do Pythagorovi věty. Pokud budeme znát délky všech třech stran trojúhelníku REG, není problém získat pomocí kosinovy věty velikost úhlů REG.

|ER|=4.47 cm
|EG|=5.65 cm
|GR|=2 cm
cos |∠REG|=(|GR|2*|ER|2*|EG|2)/(-2*|ER|*|EG|)
|∠REG|=18°29'

Třetí příklad

Určete odchylku přímky EC a roviny DBG v krychli ABCDEFGH s delékou hrany |AB| = 4 cm.

Kolmá rovina je pochopitelně rovina ACG. Pokud bychom narýsovali detail právě roviny ACG, vypadalo by to nějak takto:

Nebudu již rozepisovat řešení krok po kroku, pouze navrhnu cestu a počítání bude na vás. Nejlehčí řešení dle mého je spočítat si úhel CEG a úhel EGS. Výsledek bude roven 180-|∠CEG|-|∠EGS|. Úhel CEG má velikost 35° a úhel EGS má velikost 55°. Výsledek je proto 90°.

Procvičování

Jelikož je tato látka velmi podobná počítání odchylky dvou rovin můžeme se již teď vrhnout na pár cvičných příkladů.

Určete odchylku vyznačené roviny a přímky v krychli ABCDEFGH a délce hrany a =4 cm:

Odchylka roviny a přímky je 18°26'

Určete odchylku vyznačené roviny a přímky v krychli ABCDEFGH a délce hrany a =4 cm:

Odchylka roviny a přímky je 35°16'

Určete odchylku vyznačené roviny a přímky v jehlanu ABCDV. Délka hrany |AB| = 6 cm a výška v = 7 cm:

Odchylka roviny a přímky je 31°13'