Odchylka dvou rovin

Odchylka dvou rovin je úhel, který svírají dvě přímky, v nichž obě roviny protne třetí rovina kolmá k jejich průsečnici. Vychází vždy od 0° do 90°: rovnoběžné roviny mají odchylku 0°, kolmé roviny 90°. Když jsou roviny zadané rovnicemi, spočítá se odchylka z jejich normálových vektorů:

`\displaystyle \cos\varphi = \frac{|\vec n_1 \cdot \vec n_2|}{|\vec n_1|\cdot|\vec n_2|}`

V tělese, třeba v krychli nebo v jehlanu, se postupuje jinak. Nejtěžší je najít onu kolmou rovinu, zbytek je počítání v trojúhelníku s pomocí goniometrických funkcí, případně sinové a kosinové věty.

Níže je postup krok za krokem, pět řešených příkladů na jehlan, krychli a střechu, výpočet pomocí normálových vektorů, tabulka odchylek rovin v krychli a šest příkladů k procvičení s řešením. Odchylku z normálových vektorů vám spočítá kalkulačka odchylky dvou rovin.

Odchylku dvou přímek a přímky od roviny vysvětlují samostatné články odchylka přímek a odchylka přímky a roviny.

Co je odchylka dvou rovin

Dvě různé roviny jsou buď rovnoběžné, nebo se protínají v přímce, které říkáme průsečnice. Jak vzájemnou polohu rovin poznat, ukazuje článek vzájemná poloha rovin.

Úhel dvou různoběžných rovin nejde měřit jakýmikoli dvěma přímkami, které v nich leží. Zvolíme proto na průsečnici p libovolný bod a v každé rovině jím vedeme přímku kolmou k průsečnici: přímku m v rovině α a přímku n v rovině β. Obě tyto přímky leží v jedné rovině γ, která je kolmá k průsečnici, a tedy i k oběma rovinám. Úhel přímek m a n je odchylka rovin α a β.

Na volbě bodu na průsečnici nezáleží. Když bod posuneme, přímky m a n se posunou rovnoběžně a úhel mezi nimi zůstane stejný.

Dvě různoběžky svírají dva úhly, `\varphi` a `180^\circ - \varphi`. Za odchylku bereme vždy ten menší z nich, proto vychází nejvýš 90°:

• Roviny rovnoběžné nebo totožné: odchylka je 0°.
• Roviny kolmé: odchylka je 90°. Rovina je kolmá k jiné rovině, když obsahuje přímku k ní kolmou.
• Ve všech ostatních případech je odchylka mezi 0° a 90°.

Úhel, který spolu svírají dvě stěny tělesa nebo dvě poloviny střechy, může být tupý. Odchylka jejich rovin ale nikdy tupá není. Příklad se střechou níže ukazuje rozdíl na číslech.

Jak vypočítat odchylku dvou rovin

1. Najděte průsečnici obou rovin. Často ji nemusíte kreslit celou, stačí znát její směr. Když obě roviny obsahují přímky rovnoběžné s hranou AD, je s AD rovnoběžná i průsečnice.
2. Najděte rovinu kolmou k průsečnici. Je-li průsečnicí hrana krychle, bývá kolmou rovinou stěna. U boční stěny a podstavy jehlanu je to rovina procházející vrcholem, středem podstavy a středem podstavné hrany.
3. Určete stopy, tedy přímky, v nichž kolmá rovina protne obě zadané roviny. Protínají se v bodě průsečnice.
4. Nakreslete kolmou rovinu zvlášť ve skutečné velikosti, jako obyčejný čtverec, obdélník nebo trojúhelník. V prostorovém obrázku se úhly zkreslují, v rovinném nákresu ne.
5. Spočítejte úhel stop. V pravoúhlém trojúhelníku stačí `\operatorname{tg}`, `\sin` nebo `\cos`, jinak sinová nebo kosinová věta. Vyjde-li úhel větší než 90°, odchylka je `180^\circ` minus výsledek.

Kontrola: výsledek musí ležet mezi 0° a 90°. Goniometrii v pravoúhlém trojúhelníku si můžete zopakovat v článku úvod do goniometrie.

Řešené příklady

V obrázcích je jedna rovina modře, druhá červeně a kolmá rovina zeleně. Krychle ABCDEFGH má podstavu ABCD a vrchol E leží nad A, F nad B a tak dále. Výsledky jsou zaokrouhlené na minuty.

Příklad 1 - boční stěna a podstava jehlanu

Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV s podstavnou hranou `a = 5\ \mathrm{cm}` a výškou `v = 7\ \mathrm{cm}`. Určete odchylku boční stěny od podstavy, tedy odchylku rovin ABC a BCV. Můžete si vybrat kteroukoli boční stěnu, všechny svírají s podstavou stejný úhel.

Průsečnicí obou rovin je hrana BC. Kolmá rovina k ní prochází vrcholem V, středem podstavy S a středem P hrany BC: úsečka SP je kolmá k BC, protože je rovnoběžná s AB, a úsečka PV je kolmá k BC, protože je výškou rovnoramenného trojúhelníku BCV. Stopami jsou tedy přímky PS a PV.

Trojúhelník SPV je pravoúhlý s pravým úhlem u vrcholu S, odvěsna SP měří polovinu hrany, SV je výška jehlanu:

`\begin{gathered} \displaystyle \operatorname{tg}\varphi = \frac{|SV|}{|SP|} = \frac{7}{2{,}5} = 2{,}8 \\[10pt] \varphi \doteq 70^\circ 21' \end{gathered}`

Odchylka boční stěny od podstavy je 70°21′. Kontrola přes přeponu: `|PV| = \sqrt{2{,}5^2 + 7^2} \doteq 7{,}43\ \mathrm{cm}` a `\cos\varphi = 2{,}5 : 7{,}43 \doteq 0{,}336`, což dává stejný úhel. Stěnová výška PV se hodí i pro povrch jehlanu.

Příklad 2 - šikmý řez a vodorovný řez krychlí

V krychli ABCDEFGH s hranou `|AB| = 4\ \mathrm{cm}` leží bod P ve středu hrany BF, bod O ve středu hrany AE a bod Q ve středu hrany CG. Určete odchylku rovin ADP a OPQ.

Rovina OPQ je vodorovný řez krychlí v poloviční výšce. Rovina ADP obsahuje hranu AD, a proto i přímku bodem P rovnoběžnou s AD, tedy PQ. Obě roviny tak obsahují přímku PQ a ta je jejich průsečnicí. Kolmou rovinu tentokrát hledat nemusíme: PQ je rovnoběžná s BC, a proto kolmá ke stěně ABFE. Stopami jsou úsečky PA a PO.

Trojúhelník AOP má pravý úhel u vrcholu O, `|AO| = 2\ \mathrm{cm}` a `|OP| = 4\ \mathrm{cm}`:

`\begin{gathered} \displaystyle \operatorname{tg}\varphi = \frac{|AO|}{|OP|} = \frac{2}{4} = 0{,}5 \\[10pt] \varphi \doteq 26^\circ 34' \end{gathered}`

Odchylka rovin je 26°34′. Stejně dobře jde počítat přes přeponu `|AP| = \sqrt{4^2 + 2^2} \doteq 4{,}47\ \mathrm{cm}` a `\sin\varphi = 2 : 4{,}47`.

Příklad 3 - úhlopříčný řez a řez středy hran

V krychli ABCDEFGH s hranou `|AB| = 4\ \mathrm{cm}` leží bod P ve středu hrany EF a bod O ve středu hrany HG. Určete odchylku rovin EBC a APO.

Rovina EBC je úhlopříčný řez EBCH, rovina APO protíná krychli ve čtyřúhelníku APOD. Obě roviny obsahují přímky rovnoběžné s hranou AD (první BC, druhá PO), takže průsečnice je s AD rovnoběžná a kolmou rovinou je opět stěna ABFE. Stopami jsou úhlopříčka EB a úsečka AP, které se protínají v bodě S.

Hledaný úhel je úhel přímek EB a AP v bodě S. Ten spočítáme v trojúhelníku ASE, ve kterém známe dva úhly:

• `|\angle AES| = 45^\circ`, protože EB je úhlopříčka čtverce ABFE,
• `|\angle EAS| = |\angle EAP|`, a z pravoúhlého trojúhelníku AEP je `\operatorname{tg}|\angle EAP| = \dfrac{|EP|}{|AE|} = \dfrac{2}{4}`, tedy `|\angle EAP| \doteq 26^\circ 34'`.

`\begin{aligned} |\angle ASE| &= 180^\circ - 45^\circ - 26^\circ 34' \\[6pt] &= 108^\circ 26' \end{aligned}`

To je ale tupý úhel, a odchylka je vždy ten menší z obou úhlů, které přímky svírají:

`\varphi = 180^\circ - 108^\circ 26' = 71^\circ 34'`

Odchylka rovin je 71°34′. Kontrola: úhel ASB je vnější úhel trojúhelníku ASE, takže se rovná součtu dvou zbývajících vnitřních úhlů, `45^\circ + 26^\circ 34' = 71^\circ 34'`. Stejný výsledek dají i normálové vektory v části výpočet pomocí vektorů. Pozor na zaokrouhlení: kdo si úhel EAP zaokrouhlí na 26,5°, dostane 71°30′, a to je o čtyři minuty vedle.

Příklad 4 - dvě roviny procházející úhlopříčkou podstavy

Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV s podstavnou hranou `|AB| = 6\ \mathrm{cm}` a výškou `v = 7\ \mathrm{cm}`. Bod P leží ve středu hrany AV, bod Q ve středu hrany CV a bod S je průsečík úhlopříček podstavy. Vypočítejte odchylku rovin PDB a DBQ.

Obě roviny obsahují úhlopříčku BD, ta je jejich průsečnicí. Kolmou rovinou je rovina ACV: úhlopříčky čtverce jsou na sebe kolmé, takže AC je kolmá k BD, a výška SV je kolmá k celé podstavě. Stopami jsou úsečky SP a SQ.

Nejprve délky v trojúhelníku ACV:

`\begin{aligned} |AC| &= 6\sqrt{2} \doteq 8{,}49\ \mathrm{cm} \\[6pt] |AS| &= 3\sqrt{2} \doteq 4{,}24\ \mathrm{cm} \\[6pt] |AV| &= \sqrt{|AS|^2 + |SV|^2} \\[6pt] &= \sqrt{18 + 49} = \sqrt{67} \doteq 8{,}19\ \mathrm{cm} \end{aligned}`

Trojúhelník ASV je pravoúhlý a P je střed jeho přepony, takže P je střed Thaletovy kružnice nad AV a `|SP| = |AP| = |PV| \doteq 4{,}09\ \mathrm{cm}`. Trojúhelník ASP je proto rovnoramenný a úhel ASP se rovná úhlu SAP:

`\begin{gathered} \displaystyle \cos|\angle SAP| = \frac{|AS|}{|AV|} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{67}} \doteq 0{,}518 \\[10pt] |\angle ASP| = |\angle SAP| \doteq 58^\circ 47' \end{gathered}`

Ze souměrnosti je stejně velký i úhel CSQ. Úhly ASP, PSQ a QSC dávají dohromady přímý úhel:

`\varphi = 180^\circ - 2 \cdot 58^\circ 47' = 62^\circ 26'`

Odchylka rovin je 62°26′. Kontrola jinou cestou: úhel PSV se rovná úhlu AVS, protože i trojúhelník SPV je rovnoramenný. Z `\operatorname{tg}|\angle AVS| = \dfrac{3\sqrt{2}}{7}` je `|\angle AVS| \doteq 31^\circ 13'` a dvojnásobek je opět 62°26′.

Příklad 5 - sklon střechy

Obě poloviny sedlové střechy mají sklon 35°. Jakou odchylku svírají jejich roviny?

Průsečnicí je hřeben střechy. Rovina kolmá k hřebeni je příčný řez domem, ve kterém obě poloviny střechy tvoří rovnoramenný trojúhelník s úhly 35° u okapů. Úhel u hřebene je tedy `180^\circ - 2 \cdot 35^\circ = 110^\circ`.

Úhel 110° je úhel, který spolu svírají obě poloviny střechy, ale odchylka rovin to není, protože je tupý. Odchylka je `180^\circ - 110^\circ = 70^\circ`, tedy dvojnásobek sklonu. To platí pro každou střechu se sklonem do 45°. Při sklonu 45° jsou roviny střechy na sebe kolmé a u strmější střechy je odchylka `180^\circ - 2\alpha`.

Odchylka dvou rovin pomocí normálových vektorů

V analytické geometrii je rovina zadaná obecnou rovnicí `ax + by + cz + d = 0` a trojice `\vec n = (a;\ b;\ c)` je její normálový vektor, kolmý k rovině. Normálové vektory dvou rovin svírají stejný úhel jako roviny samy: obě normály leží v rovině kolmé k průsečnici a každá je otočená o 90° proti stopě své roviny. Proto:

`\begin{aligned} \cos\varphi &= \frac{|\vec n_1 \cdot \vec n_2|}{|\vec n_1|\cdot|\vec n_2|} \\[10pt] &= \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}\cdot\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \end{aligned}`

Absolutní hodnota v čitateli zaručí úhel do 90°. Vektor `-\vec n` je normálou stejné roviny, a bez absolutní hodnoty by vám mohl vyjít doplněk do 180°. Skalární součin vysvětluje článek skalární součin.

Příklad 6 - roviny zadané rovnicemi

Určete odchylku rovin `\rho: x + 2y - 2z + 1 = 0` a `\sigma: 2x - y + 2z - 5 = 0`.

`\begin{gathered} \vec n_1 = (1;\ 2;\ {-2}),\quad \vec n_2 = (2;\ {-1};\ 2) \\[10pt] \vec n_1 \cdot \vec n_2 = 2 - 2 - 4 = -4 \\[10pt] |\vec n_1| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3,\quad |\vec n_2| = 3 \\[10pt] \displaystyle \cos\varphi = \frac{|-4|}{3 \cdot 3} = \frac{4}{9} \doteq 0{,}444 \\[10pt] \varphi \doteq 63^\circ 37' \end{gathered}`

Odchylka rovin je 63°37′. Výpočet si můžete ověřit v kalkulačce odchylky dvou rovin, která má tento příklad už vyplněný.

Příklad 3 znovu, tentokrát v souřadnicích

Krychli z příkladu 3 umístíme do soustavy souřadnic: `A = [0;\ 0;\ 0]`, `B = [4;\ 0;\ 0]`, `D = [0;\ 4;\ 0]` a `E = [0;\ 0;\ 4]`. Pak `P = [2;\ 0;\ 4]` a `O = [2;\ 4;\ 4]`.

• Rovina EBC má rovnici `x + z - 4 = 0` (dosaďte E, B i C), normála `\vec n_1 = (1;\ 0;\ 1)`.
• Rovina APO má rovnici `2x - z = 0` (A, P i O jí vyhovují), normála `\vec n_2 = (2;\ 0;\ {-1})`.

`\begin{gathered} \displaystyle \cos\varphi = \frac{|2 + 0 - 1|}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \doteq 0{,}316 \\[10pt] \varphi \doteq 71^\circ 34' \end{gathered}`

Vyšlo totéž co v příkladu 3, bez hledání kolmé roviny. Vektorová cesta je rychlejší, jakmile umíte napsat rovnice rovin. Syntetická cesta zase nepotřebuje souřadnice a ve škole se chce obojí. Víc o rovnicích rovin a metrických úlohách najdete v článcích vzájemná poloha rovin analyticky a metrické úlohy v prostoru.

Ze stejného vzorce plynou dva rychlé testy: roviny jsou rovnoběžné, když je jedna normála násobkem druhé, a kolmé, když `\vec n_1 \cdot \vec n_2 = 0`. Obojí rozliší kalkulačka vzájemné polohy dvou rovin.

Tabulka: odchylky rovin v krychli

V krychli se opakuje pár typických rovin: stěny, úhlopříčné řezy (obdélníky jako ABGH nebo BDHF) a trojúhelníky typu BDG. Jejich odchylky nezávisí na délce hrany, protože se hrana ve výpočtu vždy zkrátí.

Odchylku libovolného řezu krychle od podstavy vypíše kalkulačka řezu krychle: zadáte tři body a kromě nákresu dostanete i rovnici roviny řezu. Odchylky přímek v krychli shrnuje přehled odchylek v krychli.

Časté chyby

• Stopy nejsou kolmé k průsečnici. V příkladu 1 je lákavé vzít boční hranu VB a její úhel s podstavou. Vyjde ale 63°12′, což je odchylka hrany, ne stěny. Správně je stěnová výška VP, která je k hraně BC kolmá, a 70°21′.
• Rovina kolmá jen k jedné z rovin. Pomocná rovina musí být kolmá k průsečnici, tedy k oběma rovinám zároveň. Rovina kolmá jen k podstavě protne boční stěnu obecně v šikmé přímce a úhel vyjde jiný.
• Tupý úhel jako výsledek. Odchylka je nejvýš 90°. Když vyjde víc, jako 108°26′ v příkladu 3 nebo 110° u střechy, odečtěte ho od 180°.
• Úhel změřený v prostorovém obrázku. Ve volném rovnoběžném promítání má pravý úhel často 45° nebo 135°. Úhly se čtou jen z rovinného nákresu ve skutečné velikosti.
• Zaokrouhlené mezivýsledky. Úhly počítejte na kalkulačce z přesných hodnot, ne z čísel zaokrouhlených o krok dříve. Jinak se chyba nasčítá, jako v příkladu 3.
• Záměna vektorů a vzorců. Pro odchylku rovin se berou normálové vektory a kosinus. Pro odchylku přímky od roviny směrový a normálový vektor a sinus, protože normála je k rovině kolmá.

Procvičování

Výsledky jsou zaokrouhlené na minuty. Nejdřív si zkuste najít průsečnici a kolmou rovinu sami, teprve pak se podívejte do řešení.

Kam dál

Odchylku z normálových vektorů spočítá kalkulačka odchylky dvou rovin, průsečnici dvou rovin v parametrickém tvaru kalkulačka průsečnice a další úlohy v prostoru najdete v přehledu stereometrie. Protože každá odchylka končí v trojúhelníku, vyplatí se mít v ruce goniometrii: procvičte si ji ve cvičení goniometrie v trojúhelníku. Odchylky přímek od rovin v krychli procvičuje cvičení odchylka přímky a roviny.

• Odchylky: odchylka dvou přímek, odchylka přímky a roviny.
• Řezy: procvičování řezů krychle a kalkulačka řezu krychle.
• Analyticky: metrické úlohy v prostoru, skalární součin.
• Základy: vzájemná poloha rovin, úvod do stereometrie a jehlan.