Odchylka dvou rovin je odchylka jejich průsečnic s rovinou, která je k oběma rovinám kolmá. Většinou je právě nejtěžší najít právě onu kolmou rovinu. Zbytek je již počítání se sinovou a kosinovou větou.
Jak jinak si to pořádně vysvětlit než příkladem.
První příklad
Je-li dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV se stranou a=5 cm a v=7 cm určete odchylku boční stěny a podstavy. Jedná se tedy o odchylku roviny ABC a BCS (můžete si vybrat jinou boční stěnu).
Jak jsem říkal, najít kolmou stěnu je vždy nejtěžší část úkolu a v tomto případě je tomu také tak.
Jedná se o rovinu SPV. Při počítání doporučuji nakreslit si tu jednu rovinu (v našem případ SPV). Je to přehlednější než to kreslit do samotného jehlanu.
|PV|=√(|PS|2+|SV|2) |PV|=7.43 cos |∠SPV|=|SP|/|PV|=2.5/7.43 |∠SPV|=70.3°
Výsledná odchylka boční stěny a roviny podstavy je 70.3°.
Druhý příklad
Předchozí příklad byl celkem jednoduchý a tento bude ještě jednodušší
Určete odchylku roviny rovin ADP a OPQ v krychli ABCDEFGH. Bod P leží ve středu strany BF, bod O leží ve středu strany AE a bod Q leží ve středu strany CG. Délka strany |AB| je 4 cm.
V minulém příkladě jsme museli hledat kolmou rovinu. V tomto příkladě ji nemusíme hledat. Jedná se totiž o rovinu ABF. Do ní se nám krásně promítli dvě průsečnice AP a OP. Určením jejich odchylky určíme odchylku rovin.
My musíme spočítat úhel APO.
|AP|=√(|AB|2+|BP|2) |AP|=4.47 sin |∠APO|=|AO|/|AP|=2/4.47 |∠APO|=26°34'
Výsledná odchylka je 26°34'.
Třetí příklad
Určete odchylku rovin EBC a APO v krychli ABCDEFGH. Bod P leží ve středu strany EF a bod O leží ve středu strany HG. Délka strany |AB| = 4 cm.
Najít kolmou rovinu opět není problém. V tomto případě je to rovina ABF. Těžší bude tentokrát výpočet.
Musíme spočítat velikost úhlu ASE (bod S leží na průsečíku AP a BE). My v tomto trojúhelníku známe pouze délku strany AE. Abychom získali výslednou odchylku, musíme spočítat velikosti úhlů AEB a EAP.
|EB|=√(|AE|2+|AB|2) |EB|=5.65 cos |∠AEB|=4/5.65 [u]|∠AEB|=45°[/u] |AP|=√(|AE|2+|AP|2) |AP|=4.47 cos |∠EAP|=4/4.47 [u]|∠EAP|=26.5[/u]
Nyní, když známe dva úhly v trojúhelníku ESA, můžeme lehce dopočítat zbývající úhel.
|∠ESA|=180-∠EAP|-|∠AEB| |∠ESA|=108°30'
Vyšlo nám 108°30', ale to ještě není výsledek, protože víme, že jako odchylku vždy bereme ten menší ze dvou úhlů, které průsečnice svírají. Správný výsledek tedy bude roven 180-108°30' a to je: 71°30'.
Čtvrtý příklad
Je dán jehlan ABCDV. Bod P leží ve středu strany AV a bod Q leží ve středu strany CV. Bod S leží na průsečíku úhlopříček. Vypočítejte odchylku rovin PDB a DBQ. Délka strany |AB|=6 cm a v=7 cm.
Kolmá rovina je v tomto případě AVC.
Nám stačí spočítat velikost úhlu ASP abychom se dopracovali k výsledku. Abychom tento úhel mohli spočítat, musíme nejprve určit délky úseček AP a AS.
|AC|=√(|AB|2+|BC|2) |AC|=8.48 |AS|=|AC|/2=4.24 |AV|=√(|SV|2+|AS|2) |AV|=8.2 |AP|=|AV|/2=4.1
A protože trojúhelník APS je rovnoramenný, můžeme spočítat úhel ASP.
a=4.1 p=4.24 s=4.1 cos |∠ASP|=(s2-p2-a2)/(-2*a*p) |∠ASP|=58°51'
Výsledný úhel je tedy 180-2*58°51', což je 62°15'.
Procvičování
Na závěr jsem si pro vás připravil dva příklady k procvičení.
Určete odchylku vyznačených rovin:
Odchylka rovin je 28°56'
Určete odchylku vyznačených rovin:
Odchylka rovin je 35°16'
