Stereometrie - Pokročilejší techniky řezů

Kolmý průmět bodu A do roviny ρ je bod A′, ve kterém rovinu protne kolmice vedená bodem A k rovině ρ. Říká se mu také pata kolmice. Průmět přímky, úsečky nebo celého tělesa dostaneme tak, že kolmo promítneme každý jeho bod.

`\begin{gathered}A' \in \rho, \quad AA' \perp \rho\\[4pt]|A'B'| = |AB| \cdot \cos\varphi\end{gathered}`

Představit si ho můžete jako stín, který by předmět vrhal na rovinu, kdyby světlo dopadalo přesně kolmo na ni. Svislá tyč zapíchnutá do země má v takovém světle místo stínu jen bod, tyč položená na zemi má stín stejně dlouhý jako ona sama a šikmá tyč něco mezi tím.

Proto platí druhý vzorec nahoře: úsečka, která svírá s rovinou úhel φ, má průmět dlouhý |AB| · cos φ. Průmět tedy nikdy není delší než úsečka sama a stejně dlouhý je jen u úsečky rovnoběžné s rovinou.

Ve stereometrii se kolmý průmět používá ke třem věcem. Vzdálenost bodu od roviny je délka |AA′|, odchylka přímky od roviny je úhel mezi přímkou a jejím průmětem a při řezech těles pomáhá tam, kde nestačí tři základní pravidla. Všechny tři najdete níže i s řešenými příklady.

Kolmý průmět bodu, přímky a úsečky

Bod A leží mimo rovinu ρ. Kolmice k rovině vedená bodem A ji protne v jediném bodě A′ a to je jeho kolmý průmět. Leží-li bod přímo v rovině, jako bod B na obrázku, je průmětem on sám.

• Průmět přímky je přímka. Jen přímka kolmá k rovině se promítne do jediného bodu.
• Průmět úsečky je úsečka, případně bod, je-li úsečka k rovině kolmá. Střed úsečky se promítne do středu jejího průmětu.
• Úsečka rovnoběžná s rovinou má průmět stejně dlouhý a rovnoběžný s ní.

Délku průmětu dá pravoúhlý trojúhelník BCC′ z obrázku. Úsečka BC je v něm přepona, průmět BC′ odvěsna přilehlá k úhlu φ a CC′ odvěsna protilehlá:

`\begin{gathered}|BC'| = |BC| \cdot \cos\varphi\\[4pt]|CC'| = |BC| \cdot \sin\varphi\end{gathered}`

Úhel φ mezi přímkou a jejím kolmým průmětem se nazývá odchylka přímky od roviny. Když úsečka AB rovinu neprotíná, výsledek je stejný, jen je výhodnější počítat přes rozdíl vzdáleností obou konců od roviny. Označíme-li ho h, je

`|A'B'| = \sqrt{|AB|^2 - h^2}`

Stejně se promítá bod na přímku: kolmým průmětem bodu A na přímku p je pata kolmice vedené z bodu A k přímce p a její vzdálenost od A je vzdálenost bodu od přímky.

Příklad 1 - žebřík u zdi

Žebřík dlouhý 5 m je opřený o zeď a s vodorovnou podlahou svírá úhel 70°. Jak daleko od zdi stojí jeho spodní konec a do jaké výšky sahá?

Kolmý průmět žebříku do podlahy je úsečka od jeho paty ke zdi. Žebřík je přepona, průmět přilehlá odvěsna, výška protilehlá:

`\begin{gathered}d = 5 \cdot \cos 70^\circ \doteq 1{,}71\ \mathrm{m}\\[4pt]v = 5 \cdot \sin 70^\circ \doteq 4{,}70\ \mathrm{m}\end{gathered}`

Kontrola Pythagorovou větou: `1{,}71^2 + 4{,}70^2 \doteq 25{,}01`, což je až na zaokrouhlení `5^2 = 25`.

Rovnoběžné a kolmé promítání

Kolmý průmět je zvláštní případ rovnoběžného promítání. Při rovnoběžném promítání vedeme každým bodem přímku stejného směru, tzv. promítací přímku, a průmětem je bod, ve kterém protne rovinu průmětu, průmětnu. Je-li směr promítání k průmětně kolmý, jde o kolmé neboli pravoúhlé promítání.

Rovnoběžné promítání zachovává rovnoběžnost a poměr délek úseček na jedné přímce nebo na rovnoběžkách. Proto se střed hrany promítne do středu jejího průmětu. Délky a úhly obecně nezachovává, s výjimkou útvarů ležících v rovině rovnoběžné s průmětnou.

Právě tak se kreslí tělesa ve škole. Ve volném rovnoběžném promítání je přední stěna krychle ve skutečné velikosti, hrany kolmé k nákresně se kreslí šikmo, obvykle pod úhlem 45°, a zkrácené na polovinu. Na obrázku proto nejsou všechny stěny čtverce, ale rovnoběžné hrany zůstanou rovnoběžné. Víc o kreslení těles je v článku Úvod do stereometrie.

V technickém kreslení se těleso promítá kolmo na tři navzájem kolmé průmětny a vzniknou tři pohledy: půdorys (shora, kolmý průmět do vodorovné roviny), nárys (zepředu) a bokorys (z boku). Půdorys domu je tedy jeho kolmý průmět do roviny podlahy a šikmá střecha v něm vyjde kratší, než ve skutečnosti je. I mapa ukazuje vzdálenosti v kolmém průmětu, ne podél svahu.

Kolmý průmět v krychli a jehlanu

V krychli ABCDEFGH se do podstavy ABCD promítá rovnoběžně s bočními hranami AE, BF, CG a DH, na obrázku tedy svisle dolů. Kam se promítnou nejčastější body:

V pravidelném jehlanu ABCDV se vrchol V promítne do paty výšky S, středu podstavy. Bod X boční hrany AV se promítne na úsečku AS, a to ve stejném poměru: je-li |AX| = ¾ |AV|, je i |AX′| = ¾ |AS|. Body hran AV a CV tak padnou na úhlopříčku AC, body hran BV a DV na úhlopříčku BD.

Příklad 2 - tělesová úhlopříčka a podstava

Krychle ABCDEFGH má hranu a = 6 cm. Jak dlouhý je kolmý průmět tělesové úhlopříčky AG do podstavy a jakou odchylku svírá AG s podstavou?

Vrchol G se promítne do C a vrchol A leží v podstavě, průmětem úsečky AG je proto stěnová úhlopříčka AC:

`|AC| = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \doteq 8{,}49\ \mathrm{cm}`

Trojúhelník ACG má pravý úhel u vrcholu C a jeho odvěsna CG je hrana krychle:

`\begin{gathered}\operatorname{tg}\varphi = \dfrac{|CG|}{|AC|} = \dfrac{a}{a\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[10pt]\varphi \doteq 35^\circ 16'\end{gathered}`

Kontrola: `|AG| = a\sqrt{3} \doteq 10{,}392\ \mathrm{cm}` a `10{,}392 \cdot \cos 35^\circ 16' \doteq 8{,}49\ \mathrm{cm}`, což je délka průmětu. Úhel 54°44′, který se v úlohách také objevuje, je odchylka úhlopříčky od svislé hrany CG, ne od podstavy. Všechny obvyklé úhly v krychli vypíše přehled odchylek v krychli.

Příklad 3 - boční hrana jehlanu

Pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV má hranu podstavy a = 6 cm a výšku v = 4 cm. Určete délku kolmého průmětu boční hrany AV do podstavy, délku hrany AV a její odchylku od podstavy.

Vrchol V se promítne do středu podstavy S, průmětem hrany AV je polovina úhlopříčky podstavy:

`\begin{gathered}|AS| = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \doteq 4{,}24\ \mathrm{cm}\\[10pt]\begin{aligned} |AV| &= \sqrt{|AS|^2 + v^2} = \sqrt{18 + 16} \\[4pt] &= \sqrt{34} \doteq 5{,}83\ \mathrm{cm} \end{aligned}\\[10pt]\operatorname{tg}\varphi = \dfrac{v}{|AS|} = \dfrac{4}{3\sqrt{2}} \doteq 0{,}943\\[10pt]\varphi \doteq 43^\circ 19'\end{gathered}`

Kontrola: `5{,}83 \cdot \cos 43^\circ 19' \doteq 4{,}24\ \mathrm{cm}`. Boční hranu i obě odchylky jehlanu spočítá kalkulačka pravidelný jehlan.

Kolmý průmět bodu do roviny v souřadnicích

V analytické geometrii je rovina zadaná obecnou rovnicí ax + by + cz + d = 0 a její normálový vektor `\vec{n} = (a;\ b;\ c)` je k rovině kolmý. Průmět A′ bodu A proto leží na přímce A + t · n a stačí najít parametr t, pro který bod vyhoví rovnici roviny. Pro `A = [a_1;\ a_2;\ a_3]` vyjde

`\begin{gathered}t = \dfrac{a a_1 + b a_2 + c a_3 + d}{a^2 + b^2 + c^2}\\[10pt]A' = A - t \cdot \vec{n}\end{gathered}`

Příklad 4 - průmět bodu do roviny

Najděte kolmý průmět bodu A = [1; 2; 3] do roviny ρ: x + y + z − 3 = 0.

`\begin{gathered}\vec{n} = (1;\ 1;\ 1)\\[10pt]t = \dfrac{1 + 2 + 3 - 3}{1 + 1 + 1} = 1\\[10pt]A' = [1 - 1;\ 2 - 1;\ 3 - 1] = [0;\ 1;\ 2]\end{gathered}`

Kontrola: 0 + 1 + 2 − 3 = 0, bod A′ v rovině opravdu leží. Vzdálenost bodu A od roviny je `|AA'| = |t| \cdot |\vec{n}| = \sqrt{3} \doteq 1{,}73`. Patu kolmice i vzdálenost spočítá kalkulačka vzdálenost bodu od roviny a víc takových úloh je v článku Metrické úlohy v prostoru.

Kolmý průmět v řezech těles

Řez krychle se obvykle sestrojuje podle tří pravidel: dva body řezu v jedné stěně spojíme, v rovnoběžných stěnách jsou strany řezu rovnoběžné a stranu řezu prodloužíme k přímce hrany, kterou má stěna společnou se sousední stěnou. Všechna tři ale potřebují, aby už nějaká strana řezu existovala. Když žádné dva zadané body neleží ve stejné stěně, není co spojit, a tehdy pomůže kolmý průmět:

1. Vyberte stěnu, ve které už leží jeden ze zadaných bodů. Nejčastěji je to podstava.
2. Zbylé dva body do její roviny kolmo promítněte.
3. Protněte přímku těchto dvou bodů s přímkou jejich průmětů. Průsečík W leží v rovině řezu i v rovině stěny.
4. Přímka z bodu W přes zadaný bod ve stěně je průsečnice roviny řezu s rovinou stěny. Kde protne hrany stěny, tam jsou vrcholy řezu.
5. Řez dokončete podle tří pravidel.

Proč se přímky v kroku 3 opravdu protnou? Obě promítací přímky jsou kolmé k rovině stěny, jsou tedy rovnoběžné a určují rovinu. V ní leží oba body i oba jejich průměty, takže přímka bodů a přímka průmětů jsou dvě přímky jedné roviny a mají průsečík, pokud nejsou rovnoběžné. Rovnoběžné jsou, když jsou oba body od stěny stejně daleko. Průsečnice pak vede zadaným bodem ve stěně rovnoběžně s přímkou obou bodů.

Příklad 5 - řez krychle rovinou XYZ

Je dána krychle ABCDEFGH. Bod X je střed hrany AB, Y střed hrany EH a Z střed hrany CG. Sestrojte řez krychle rovinou XYZ.

X leží v podstavě a v přední stěně, Y v horní a levé stěně, Z v pravé a zadní. Žádné dva body nemají společnou stěnu, takže tři pravidla nejdou použít. Bod X leží v podstavě, a proto do ní promítneme body Y a Z.

1. Y se promítne do středu Y′ hrany AD. Z leží na svislé hraně CG, jeho průmětem je vrchol C.
2. Přímky YZ a Y′C leží ve svislé rovině, na obrázku je modře podbarvená. Protnou se v bodě W vpravo za krychlí.
3. W a X leží v rovině podstavy. Přímka XW protne hranu BC v jejím středu K a úsečka XK je první strana řezu.

4. K a Z leží v pravé stěně, spojíme je.
5. Horní stěna je rovnoběžná s podstavou: bodem Y vedeme rovnoběžku s XK, protne hranu GH v jejím středu M. Spojíme M se Z v zadní stěně.
6. Levá stěna je rovnoběžná s pravou: bodem Y vedeme rovnoběžku s KZ, protne hranu AE v jejím středu N. Spojíme N s X v přední stěně.

Řez je šestiúhelník XKZMYN a všechny jeho vrcholy jsou středy hran. Každá jeho strana je polovinou stěnové úhlopříčky, tedy `a\sqrt{2}/2`, a šestiúhelník je pravidelný. Rovina řezu prochází středem krychle a je kolmá k tělesové úhlopříčce DF. Kontrola bodu W: Z je ve výšce a/2, Y ve výšce a, takže z podobných trojúhelníků ve svislé rovině vyjde |CW| = |Y′C|. Řez si můžete ověřit v kalkulačce řez krychle, body jsou v ní už zadané.

Promítat se nemusí jen do podstavy, ale do kterékoli stěny, ve které leží některý zadaný bod. Do pravé stěny BCGF, ve které je Z, bychom promítli X a Y: X do vrcholu B, Y do středu hrany FG. Do horní stěny, kde leží Y, bychom promítli X a Z. Stěna bez zadaného bodu se hodí méně, protože bod W dá jen jeden bod průsečnice a druhý bychom museli získat promítnutím další dvojice bodů.

Příklad 6 - řez jehlanu rovinou KXY

Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Bod K je střed hrany AB, bod X leží na hraně AV, |AX| = ¾ |AV|, a Y je střed hrany CV. Sestrojte řez jehlanu rovinou KXY.

1. K a X leží ve stěně ABV, úsečka KX je strana řezu hned. Y leží ve stěně BCV, v ní ale další bod zatím nemáme. Jehlan nemá rovnoběžné stěny, pravidlo o rovnoběžkách u něj nepomůže.
2. Promítneme X a Y do podstavy, ve které leží K. Průmět X′ leží na úsečce AS, |AX′| = ¾ |AS|, průmět Y′ je střed úsečky SC. Oba leží na úhlopříčce AC.
3. Přímky XY a AC leží v rovině ACV a protnou se v bodě W za vrcholem C, |CW| = ½ |AC|.
4. Přímka KW je průsečnice roviny řezu s podstavou. Hranu BC protne v bodě L, |BL| = ¾ a. Spojíme L s Y ve stěně BCV.
5. Chybí bod na hraně DV. Přímka KW protne také prodloužení hrany DC v bodě M za vrcholem C. Bod M leží v rovině řezu i v rovině stěny CDV, stejně jako Y, takže přímka MY protne hranu DV v hledaném bodě T.

Řez je pětiúhelník KLYTX, bod T leží blízko vrcholu, |DT| = ⅞ |DV|. Poslední strana TX leží ve stěně ADV. Kontrola bodu W: X je ve výšce ¾ v nad bodem X′ a Y ve výšce ½ v nad bodem Y′, přímka XY tedy na úseku X′Y′, který je ⅜ úhlopříčky, klesne o ¼ v a ke zbylé ½ v jí stačí ještě ¾ úhlopříčky za Y′. To je právě polovina úhlopříčky za vrcholem C. Další řezy jehlanu i krychle krok za krokem jsou v článku Procvičování řezů 2. část.

Časté chyby

• Průmět stejně dlouhý jako úsečka. Průmět šikmé úsečky je vždy kratší, krát cos φ. Vyjde-li průmět delší než úsečka, je ve výpočtu chyba.
• Odchylka od špatné přímky. Odchylka přímky od roviny je úhel s jejím průmětem, ne s kolmicí k rovině. Úhel s kolmicí je doplněk do 90°, v krychli 54°44′ místo 35°16′.
• Vrchol jehlanu do vrcholu podstavy. Vrchol V pravidelného jehlanu se promítne do středu podstavy S a bod hrany AV na úsečku AS, ne do bodu A.
• Průsečík přímek, které se kříží jen na papíře. Bod W je průsečík přímky bodů s přímkou jejich průmětů, protože ty dvě leží v jedné rovině. Přímky YZ a AB z příkladu 5 se na papíře po prodloužení protnou, v prostoru jsou ale mimoběžné a jejich zdánlivý průsečík nic neznamená.
• Šikmé promítání do podstavy. Do podstavy se promítá rovnoběžně s bočními hranami, na obrázku svisle dolů, ne ve směru ubíhajících hran.

Příklady k procvičení

`\begin{gathered}\begin{aligned} |A'B'| &= \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{108} \\[4pt] &= 6\sqrt{3} \doteq 10{,}39\ \mathrm{cm} \end{aligned}\\[10pt]\sin\varphi = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}, \quad \varphi = 30^\circ\end{gathered}`

`\begin{gathered}\begin{aligned} |AM'| &= \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} \\[4pt] &= 2\sqrt{5} \doteq 4{,}47\ \mathrm{cm} \end{aligned}\\[10pt]\operatorname{tg}\varphi = \dfrac{|MM'|}{|AM'|} = \dfrac{4}{2\sqrt{5}} \doteq 0{,}894\\[10pt]\varphi \doteq 41^\circ 49'\end{gathered}`

`\begin{gathered}\vec{n} = (2;\ {-1};\ 2)\\[10pt]t = \dfrac{6 + 1 + 4 - 2}{4 + 1 + 4} = 1\\[10pt]A' = [3 - 2;\ {-1} + 1;\ 2 - 2] = [1;\ 0;\ 0]\end{gathered}`

`\begin{gathered}\begin{aligned} d &= \sqrt{1200^2 - 300^2} = \sqrt{1\,350\,000} \\[4pt] &\doteq 1\,162\ \mathrm{m} \end{aligned}\\[10pt]\sin\varphi = \dfrac{300}{1200} = 0{,}25\\[10pt]\varphi \doteq 14^\circ 29'\end{gathered}`

Kam dál

Odchylky přímek a rovin v krychli si procvičíte ve cvičení odchylka přímky a roviny. Řez krychle třemi body nakreslí kalkulačka řez krychle, úhly v krychli vypíše přehled odchylek v krychli a patu kolmice spočítá kalkulačka vzdálenost bodu od roviny.

• Řezy: tři pravidla a šest řešených řezů, další řezy s kolmým průmětem.
• Odchylky a vzdálenosti: odchylka přímky a roviny, vzdálenost bodu od roviny, vzdálenost bodu od přímky.
• Poloha v prostoru: vzájemná poloha přímky a roviny, metrické úlohy v prostoru.