Vzájemná poloha rovin

Dvě roviny v prostoru mohou mít jen tři vzájemné polohy. Jsou buď rovnoběžné různé a nemají žádný společný bod, nebo totožné a splývají v jednu rovinu, nebo různoběžné a protínají se v přímce, které říkáme průsečnice. Zapisujeme to takto:

`\rho \parallel \sigma,\ \ \rho \cap \sigma = \emptyset`
`\rho = \sigma`
`\rho \cap \sigma = p`

Jiná možnost neexistuje. Dvě různé roviny nemohou mít společný jen jeden bod a nemohou být ani mimoběžné, to je pojem jen pro přímky. U tří rovin je možností pět a všechny si ukážeme na krychli.

Níže najdete, jak rovnoběžnost rovin dokázat, jak sestrojit průsečnici dvou rovin v krychli, přehled všech poloh tří rovin s obrázky, časté chyby a šest příkladů k procvičení s řešením. Pokud máte roviny zadané rovnicemi, poznáte jejich polohu výpočtem z normálových vektorů, jak ukazuje článek vzájemná poloha rovin v analytické geometrii, nebo vám ji určí kalkulačka vzájemné polohy dvou rovin.

Vzájemná poloha dvou rovin

Vezměte list papíru a postavte ho kolmo na stůl. Deska stolu a papír představují dvě roviny, které mají společnou celou přímku, hranu, na které papír stojí. Jiný společný bod nemají. Takové roviny jsou různoběžné a ona přímka je jejich průsečnice.

Když papír zvednete a podržíte vodorovně nad stolem, roviny nemají společný žádný bod a jsou rovnoběžné. A když ho na stůl položíte, obě roviny splynou a jsou totožné.

Proč nemohou mít dvě různé roviny společný jen jeden bod? Mají-li dvě různé roviny společný bod, mají společnou celou přímku, která jím prochází. Proto se roviny vždy protínají v přímce, nikdy v bodě. A proto mimoběžné roviny neexistují: dvě roviny, které nejsou rovnoběžné, se v prostoru vždy protnou.

Na krychli ABCDEFGH vypadají všechny tři polohy takto:

Pozor na zápis roviny třemi body. Rovina ABC a rovina BCD vypadají jako dvě různé roviny, ale body A, B, C, D leží všechny ve čtverci podstavy, takže jde o jednu a tutéž rovinu. Stejně tak rovina BCH je celý obdélník BCHE, protože E v ní leží také.

Kdy jsou roviny rovnoběžné

Na obrázku se rovnoběžnost rovin pozná špatně, a proto se dokazuje pomocí přímek. Platí kritérium rovnoběžnosti rovin:

Obsahuje-li rovina ρ dvě různoběžné přímky, z nichž každá je rovnoběžná s rovinou σ, jsou roviny ρ a σ rovnoběžné.

V krychli se to většinou dělá tak, že v rovině ρ najdete dvě různoběžky a ke každé z nich rovnoběžnou přímku v rovině σ. Přímka rovnoběžná s přímkou roviny σ je totiž s rovinou σ rovnoběžná, jak vysvětluje článek vzájemná poloha přímky a roviny.

Obě podmínky jsou důležité. Jedna přímka nestačí: hrana AB je rovnoběžná s horní stěnou EFGH, a přesto rovina ABG horní stěnu protíná. A nestačí ani dvě rovnoběžné přímky místo různoběžek, rovina ABG obsahuje i přímku GH a ta leží přímo v horní stěně.

S kritériem souvisí ještě dvě užitečné věty:

• Každým bodem, který v rovině σ neleží, prochází právě jedna rovina rovnoběžná s rovinou σ.
• Dvě roviny rovnoběžné s třetí rovinou jsou navzájem rovnoběžné, nebo jsou totožné.

Příklad 1

V krychli ABCDEFGH dokažte, že roviny BDE a CFH jsou rovnoběžné.

Řešení. V rovině BDE vybereme dvě různoběžky, které mají společný bod D: přímky BD a DE.

• Přímka BD je rovnoběžná s přímkou FH. Obě jsou úhlopříčky čtverců podstavy a horní stěny a čtyřúhelník BDHF je obdélník. Přímka FH leží v rovině CFH, takže BD je s rovinou CFH rovnoběžná.
• Přímka DE je rovnoběžná s přímkou CF. Jsou to úhlopříčky protějších stěn ADHE a BCGF a čtyřúhelník CDEF je obdélník. Přímka CF leží v rovině CFH, takže i DE je s ní rovnoběžná.

Podle kritéria jsou roviny BDE a CFH rovnoběžné. Že nesplývají, je vidět z tělesové úhlopříčky AG: každá z rovin ji protne v jiném bodě, rovina BDE v první třetině od vrcholu A a rovina CFH ve druhé. Obě roviny jsou k úhlopříčce AG kolmé, takže jejich vzdálenost je třetina tělesové úhlopříčky, `\dfrac{a\sqrt{3}}{3}`.

Kontrola výpočtem. V krychli s hranou 1 a vrcholem A v počátku mají roviny rovnice `x + y + z - 1 = 0` a `x + y + z - 2 = 0`. Normálové vektory jsou stejné a absolutní členy různé, roviny jsou tedy rovnoběžné různé. Ověřit si to můžete v kalkulačce vzájemné polohy rovin.

Jak najít průsečnici dvou rovin

Průsečnice je přímka, a přímku určují dva body. Stačí proto najít dva různé body, které leží v obou rovinách. Postup:

1. Podívejte se, jestli roviny nemají společný vrchol nebo jiný bod ze zadání. Často mají.
2. Když takový bod chybí, vezměte v každé rovině jednu přímku tak, aby obě přímky ležely ve stejné třetí rovině, obvykle ve stěně nebo v úhlopříčném řezu krychle. Takové dvě přímky se protnou (nejsou-li rovnoběžné) a jejich průsečík leží v obou rovinách.
3. Oba body spojte. Průsečnice často vychází i mimo krychli, uvnitř tělesa z ní kreslíme jen úsečku.

Při hledání průsečnice pomohou ještě dvě věty, na kterých stojí i konstrukce řezů krychle:

• Protíná-li rovina dvě rovnoběžné roviny, jsou obě průsečnice rovnoběžné. Proto jsou protější strany řezu krychle rovnoběžné.
• Leží-li ve dvou různoběžných rovinách dvě rovnoběžné přímky, je s nimi rovnoběžná i průsečnice. Stačí pak najít jediný společný bod a průsečnici vést jím rovnoběžně.

Příklad 2

V krychli ABCDEFGH sestrojte průsečnici rovin ACH a BDF.

Řešení. Rovina BDF prochází i bodem H, protože BDHF je obdélník, úhlopříčný řez krychle. Bod H je vrcholem trojúhelníku ACH, leží tedy v obou rovinách. To je první společný bod.

Druhý najdeme v podstavě. Přímka AC leží v rovině ACH, přímka BD v rovině BDF a obě leží v rovině podstavy. Jsou to úhlopříčky čtverce ABCD a protínají se v jeho středu S. Bod S tedy leží v obou rovinách.

Průsečnice rovin ACH a BDF je přímka SH.

Kontrola. Bod S je střed strany AC, takže SH je těžnice trojúhelníku ACH. To sedí: rovina BDHF je rovinou souměrnosti krychle, trojúhelník ACH je podle ní souměrný a jeho osa souměrnosti, těžnice SH, musí v ní ležet.

Příklad 3

Krychle ABCDEFGH má hranu a = 6 cm, body K a L jsou středy hran AB a AD. Sestrojte průsečnici roviny KLG s rovinou stěny BCGF a určete, ve kterém bodě protne hranu BF.

Řešení. Bod G leží v obou rovinách. Druhý společný bod ze zadání nemáme, a tak ho sestrojíme. Přímka KL leží v rovině KLG, přímka BC v rovině BCG a obě leží v rovině podstavy ABCD. Nejsou rovnoběžné, takže se protnou, a to v bodě X za vrcholem B, mimo krychli.

Průsečnice obou rovin je přímka XG. Hranu BF protne v bodě P.

Kde přesně leží X a P? Trojúhelník AKL je rovnoramenný pravoúhlý, přímka KL tedy svírá s hranou AB úhel 45°. Rovnoramenný pravoúhlý je proto i trojúhelník KBX a platí `|BX| = |BK| = 3\ \mathrm{cm}`. V rovině stěny BCGF jsou podobné trojúhelníky XBP a XCG:

`\begin{gathered}\dfrac{|BP|}{|CG|} = \dfrac{|XB|}{|XC|} = \dfrac{3}{9}\\[10pt]|BP| = 6 \cdot \dfrac{3}{9} = 2\ \mathrm{cm}\end{gathered}`

Průsečnice protíná hranu BF ve výšce 2 cm nad bodem B, tedy ve třetině hrany. Uvnitř stěny z ní zbývá úsečka PG.

Kontrola. Ze souměrnosti podle roviny ACGE vychází stejně bod Q na hraně DH, 2 cm nad bodem D. Řez krychle rovinou KLG je tedy pětiúhelník KPGQL, který nakreslí i kalkulačka řezu krychle se zadanými body K, L a G. Vypíše vrcholy (1; 0; 0,3333) a (0; 1; 0,3333), tedy třetinu hrany.

Tímto postupem se hledá každá strana řezu, podrobně ho procvičují články procvičování řezů a procvičování řezů 2. část.

Vzájemná poloha tří rovin

Pro tři navzájem různé roviny existuje pět možností. Na krychli vypadají takto:

Na obrázcích je v případu 1 podstava, vodorovná rovina středem krychle a horní stěna. V případu 2 protíná podstavu a horní stěnu rovina BCHE, průsečnice BC a EH jsou rovnoběžné. V případu 3 vede jedna rovina hranou AD ke středům hran EF a GH, druhá hranou BC ke stejným středům. S podstavou se protínají v přímkách AD a BC, navzájem ve spojnici obou středů. Dohromady tvoří stan. V případu 4 prochází stěna ABFE, stěna ADHE i úhlopříčný řez ACGE hranou AE. A v případu 5 se tři stěny u vrcholu A protínají v hranách AB, AD a AE, které mají společný jen bod A.

Proč jsou v případu 3 průsečnice rovnoběžné a nemohou být třeba mimoběžné? Dvě z nich leží vždy v jedné rovině, třeba obě v první. Buď se tedy protnou, nebo jsou rovnoběžné. Když se protnou, leží průsečík ve všech třech rovinách a musí jím projít i třetí průsečnice, to je případ 5. Když se neprotnou, jsou všechny tři rovnoběžné.

Když některé dvě ze tří rovin splývají, zbývají ve skutečnosti jen dvě roviny a stačí určit jejich polohu podle první části článku. Výpočtem ze tří obecných rovnic se poloha tří rovin určuje v článku vzájemná poloha rovin v analytické geometrii.

Časté chyby

• „Mají tři průsečnice, tak mají společný bod.“ Nemusí. V případu 3 jsou tři průsečnice, ale rovnoběžné, a žádný bod všem třem rovinám společný není.
• Rovnoběžnost podle jedné přímky. Jedna přímka rovnoběžná s druhou rovinou nestačí, ani dvě rovnoběžné. Kritérium chce dvě různoběžky.
• Průsečík mimoběžných přímek. Při hledání průsečnice protínejte jen přímky, které leží ve stejné rovině, třeba ve stejné stěně. Přímky KL a CG se na obrázku mohou zdánlivě protínat, ale jsou mimoběžné a žádný průsečík nemají.
• Dvě jména jedné roviny. Roviny ABC a BCD jsou totožné, protože všechny čtyři body leží v podstavě. Než začnete hledat průsečnici, zkontrolujte, jestli roviny nejsou tytéž.
• Průsečnice jen uvnitř krychle. Průsečnice je celá přímka. Pomocný bod, jako X v příkladu 3, často leží mimo těleso, a přesto je to bod průsečnice.
• Poloha podle obrázku. Roviny, které v promítnutí vypadají rovnoběžně, rovnoběžné být nemusí, a naopak. Rozhodne kritérium, nebo výpočet, ne oko.

Příklady k procvičení

Ve všech příkladech je dána krychle ABCDEFGH.

Kam dál

Máte-li roviny zadané obecnými rovnicemi, určí jejich polohu kalkulačka vzájemné polohy dvou rovin a průsečnici v parametrickém tvaru kalkulačka průsečnice dvou rovin. U různoběžných rovin bývá další otázkou úhel, který svírají, a ten popisuje článek odchylka dvou rovin. Odchylky přímek od rovin v krychli procvičuje cvičení odchylka přímky a roviny.

• Polohové vztahy: vzájemná poloha přímek, vzájemná poloha přímky a roviny, základní věty stereometrie.
• Řezy: procvičování řezů krychle, pokročilejší techniky řezů a kalkulačka řezu krychle.
• Analyticky: vzájemná poloha rovin výpočtem, obecná rovnice roviny.