Články » SŠ Matematika

Využití derivace - Optimalizační úlohy

Vydáno dne v kategorii SŠ Matematika; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 31 795

Využití derivací při řešeních optimalizačních úloh.


V článku Základy derivace jsme se naučili základy derivování. Dnes si ukážeme příklady, které budeme řešit právě pomocí derivací.

Příklad 1

Rozdělte číslo 30 na dva sčítance tak, aby jejich součin byl maximální. 

Sestavíme si dvě rovnice:
x + y = 30
x * y = max

Pokusíme se soustavu rovnic převést na jednu rovnici. 

\begin{array}{rcl}y\ &=&\ 30\ -\ x\\x\ \cdot\ y\ &=&\ max\end{array}

(30\ -\ x)\ \cdot\ x\ =\ f(x)
f(x):\ y\ =\ -x^2\ +\ 30x

Získali jsme funkce jedné proměnné. My se snažíme najít místo, kde funkce nabývá největší hodnoty, tedy extrém funkce (přejít na článek Průběh funkce - Hledání extrémů). Ten najdeme tak, že najdeme x, pro která je první derivace rovna nule:

f(x):\ y\ =\ -x^2\ +\ 30x
f'(x):\ y\ =\ -2x\ +\ 30
0 =\ -2x\ +\ 30\\x\ =\ 15

Funkce nabývá největší hodnoty, když x = 15. Dokazuje to i následující graf.

Využití derivace - Optimalizační úlohy

Našli jsme hodnotu proměnné x. Zbývá dopočítat hodnotu y: y = 30 - x = 15. Nejvyšší součin budou mít čísla 15 a 15.

Příklad 2

Určete rozměry obdélníku o obvodu o = 20cm měl maximální obsah. 

Pro obdélník platí:
obvod = 2a + 2b
20 = 2a + 2b

obsah = a * b
f(a) = a * b

Nejprve musíme funkci x převést na funkci jedné proměnné. Vyjádříme proto z první rovnice b a dosadíme ho.

b\ =\ \frac{20\ -\ 2a}{2}
f(a)\ = a\ \cdot\ b
f(a)\ = a\ \cdot\ \frac{20\ -\ 2a}{2}\ =\ -a^2\ +\ 10a

Najdeme extrém funkce:

f(a)\ =\ -a^2\ +\ 10a\\f'(a)\ =\ -2a\ +\ 10
0\ =\ -2a\ +\ 10\\a\ =\ 5

Dopočítáme b: 

b\ =\ \frac{20\ -\ 2a}{2}\ =\ 5

Obdélník bude mít rozměry a = 5 a b = 5.

Příklad 3

Válec má objem V = 27. Najděte jeho výšku a poloměr tak, aby jeho povrch byl co nejmenší.

Pro válec platí:
V\ =\ \pi\cdot r^2\cdot v\\27\ =\ \pi\cdot r^2\cdot v\\S\ =\ \pi\cdot r^2\ +\ 2\pi\cdot\ r\cdot v

Z první rovnice si vyjádříme v a dosadíme ho do druhé. 

v\ =\ \frac{27}{\pi r^2}
S\ =\ \pi\cdot r^2\ +\ 2\pi\cdot\ r\cdot v\\S\ =\ \pi\cdot r^2\ +\ \frac{54\pi r}{\pi r^2}\ =\ \pi\cdot r^2\ + \frac{54}{r}

Nyní derivujeme podle r a najdeme extrém.

S\ =\ \pi\cdot r^2\ + \frac{54}{r}\\S'\ =\ 2\pi r\ -\ \frac{54}{r^2}

\begin{array}{rcl}2\pi r\ -\ \frac{54}{r^2}\ &=& \ 0\\2\pi r^3\ &=&\ 54\\r\ &=&\ \frac{3}{\sqrt[3]{ \pi}}\end{array}

Spočítali jsme r, zbývá dopočítat v. 

v\ =\ \frac{27}{\pi r^2}\ =\ \frac{27}{\frac{9\pi}{\sqrt[3]{\pi^2}}}\ =\ \frac{3\sqrt[3]{\pi^2}}{\pi}\ =\ \frac{3}{\sqrt[3]{\pi}}

Příklad 4

Továrna T je vzdálena 5 kilometrů od silnice vedoucí do města M. Vzdálenost továrny od města je 13 kilometrů. Určete, pod jakým úhlem je třeba vybudovat novou cestu k silnici tak, aby doprava z továrny do města byla nejlevnější, za předpokladu, že náklady materiálu na 1 kilometr jsou po silnici 5 Kč a po nově vybudované cestě 15 Kč.

Využití derivace - Optimalizační úlohy

Funkci vyjadřující cenu přepravy není tak složité sestavit. 

cena\ =\ (12\ -\ y)\ \cdot\ 5\ +\ x\ \cdot\ 15

Proměnné x a y lze vyjádřit pomocí úhlu α:

\mathrm{tg}\alpha\ =\ \frac{5}{y}\\\sin\alpha\ =\ \frac{5}{x}
Dosadíme do našeho vzorce:
cena\ =\ (12\ -\ \frac{5}{\mathrm{tg}\alpha})\ \cdot\ 5\ +\ \frac{5}{\sin\alpha}\ \cdot\ 15
Upravíme výraz do trochu lidštější podoby

cena\ =\ (60\ -\ \frac{25\cos\alpha}{sin\alpha})\ +\ \frac{75}{\sin\alpha}\\cena\ =\ \frac{60\sin\alpha\ -\ 25\cos\alpha\ +\ 75}{\sin\alpha}

Nyní už můžeme začít derivovat:

cena'\ =\ \frac{(60\cos\alpha\ +\ 25\sin\alpha\)\sin\alpha\ -\ (60\sin\alpha\ -\ 25\cos\alpha\ +\ 75)\cos\alpha}{\sin^2\alpha}
cena'\ =\ \frac{25\sin^2\alpha\ +\ 25\cos^2\alpha\ -\ 75\cos\alpha}{\sin^2\alpha}
Najdeme extrém funkce
\begin{array}{rcl}0\ &=&\ \frac{25\sin^2\alpha\ +\ 25\cos^2\alpha\ -\ 75\cos\alpha}{\sin^2\alpha}\\0\ &=&\ 25(\sin^2\alpha\ +\ \cos^2\alpha-3\cos\alpha)\\-3\cos\alpha\ &=&\ -1\\\cos\alpha\ &=&\ \frac{1}{3}\end{array}
Úhel α je tedy přibližně roven 70°

Nejnižších nákladů za dopravu dosáhneme tehdy, postavíme-li cestu pod úhlem přibližně 70°.

Test

Najděte druhou derivaci funkce y=\frac{1}{x}


Hlavolam

Zajíc utíká od lišky rychlostí 10 metrů za sekundu. Liška ho pronásleduje rychlostí 12 metrů za sekundu. Pokud je liška původně 50 metrů za zajícem, za jak dlouho liška dohoní zajíce?

Kopírovat obsah stránek, čí s ním jinak manipulovat bez svolení jeho autora, je zakázáno.

ISSN: 1803-7615 © maths.cz 2008-2025 © content: Matematika pro každého, Jakub Vojáček