Matematika pro každého
V článku Základy derivace jsme se naučili základy derivování. Dnes si ukážeme příklady, které budeme řešit právě pomocí derivací.
Příklad 1
Rozdělte číslo 30 na dva sčítance tak, aby jejich součin byl maximální.
Sestavíme si dvě rovnice: x + y = 30 x * y = max
Pokusíme se soustavu rovnic převést na jednu rovnici.
`\begin{array}{rcl}y\ &=&\ 30\ -\ x\\x\ \cdot\ y\ &=&\ max\end{array}`
`(30\ -\ x)\ \cdot\ x\ =\ f(x)`
`f(x):\ y\ =\ -x^2\ +\ 30x`
Získali jsme funkce jedné proměnné. My se snažíme najít místo, kde funkce nabývá největší hodnoty, tedy extrém funkce (přejít na článek Průběh funkce - Hledání extrémů). Ten najdeme tak, že najdeme x, pro která je první derivace rovna nule:
`f(x):\ y\ =\ -x^2\ +\ 30x` `f'(x):\ y\ =\ -2x\ +\ 30` `0 =\ -2x\ +\ 30\\x\ =\ 15`
Funkce nabývá největší hodnoty, když x = 15. Dokazuje to i následující graf.
Našli jsme hodnotu proměnné x. Zbývá dopočítat hodnotu y: y = 30 - x = 15. Nejvyšší součin budou mít čísla 15 a 15.
Příklad 2
Určete rozměry obdélníku o obvodu o = 20cm měl maximální obsah.
Pro obdélník platí: obvod = 2a + 2b 20 = 2a + 2b obsah = a * b f(a) = a * b
Nejprve musíme funkci x převést na funkci jedné proměnné. Vyjádříme proto z první rovnice b a dosadíme ho.
`b\ =\ \frac{20\ -\ 2a}{2}`
`f(a)\ = a\ \cdot\ b`
`f(a)\ = a\ \cdot\ \frac{20\ -\ 2a}{2}\ =\ -a^2\ +\ 10a`
Najdeme extrém funkce:
`f(a)\ =\ -a^2\ +\ 10a\\f'(a)\ =\ -2a\ +\ 10` `0\ =\ -2a\ +\ 10\\a\ =\ 5`
Dopočítáme b:
`b\ =\ \frac{20\ -\ 2a}{2}\ =\ 5`
Obdélník bude mít rozměry a = 5 a b = 5.
Příklad 3
Válec má objem V = 27. Najděte jeho výšku a poloměr tak, aby jeho povrch byl co nejmenší.
Pro válec platí: `V\ =\ \pi\cdot r^2\cdot v\\27\ =\ \pi\cdot r^2\cdot v\\S\ =\ \pi\cdot r^2\ +\ 2\pi\cdot\ r\cdot v`
Z první rovnice si vyjádříme v a dosadíme ho do druhé.
`v\ =\ \frac{27}{\pi r^2}`
`S\ =\ \pi\cdot r^2\ +\ 2\pi\cdot\ r\cdot v\\S\ =\ \pi\cdot r^2\ +\ \frac{54\pi r}{\pi r^2}\ =\ \pi\cdot r^2\ + \frac{54}{r}`
Nyní derivujeme podle r a najdeme extrém.
`S\ =\ \pi\cdot r^2\ + \frac{54}{r}\\S'\ =\ 2\pi r\ -\ \frac{54}{r^2}`
`\begin{array}{rcl}2\pi r\ -\ \frac{54}{r^2}\ &=& \ 0\\2\pi r^3\ &=&\ 54\\r\ &=&\ \frac{3}{\sqrt[3]{ \pi}}\end{array}`
Spočítali jsme r, zbývá dopočítat v.
`v\ =\ \frac{27}{\pi r^2}\ =\ \frac{27}{\frac{9\pi}{\sqrt[3]{\pi^2}}}\ =\ \frac{3\sqrt[3]{\pi^2}}{\pi}\ =\ \frac{3}{\sqrt[3]{\pi}}`
Příklad 4
Továrna T je vzdálena 5 kilometrů od silnice vedoucí do města M. Vzdálenost továrny od města je 13 kilometrů. Určete, pod jakým úhlem je třeba vybudovat novou cestu k silnici tak, aby doprava z továrny do města byla nejlevnější, za předpokladu, že náklady materiálu na 1 kilometr jsou po silnici 5 Kč a po nově vybudované cestě 15 Kč.
Funkci vyjadřující cenu přepravy není tak složité sestavit.
`cena\ =\ (12\ -\ y)\ \cdot\ 5\ +\ x\ \cdot\ 15`
Proměnné x a y lze vyjádřit pomocí úhlu α:
`\mathrm{tg}\alpha\ =\ \frac{5}{y}\\\sin\alpha\ =\ \frac{5}{x}`
Dosadíme do našeho vzorce:
`cena\ =\ (12\ -\ \frac{5}{\mathrm{tg}\alpha})\ \cdot\ 5\ +\ \frac{5}{\sin\alpha}\ \cdot\ 15`
Upravíme výraz do trochu lidštější podoby
`cena\ =\ (60\ -\ \frac{25\cos\alpha}{\sin\alpha})\ +\ \frac{75}{\sin\alpha}\\cena\ =\ \frac{60\sin\alpha\ -\ 25\cos\alpha\ +\ 75}{\sin\alpha}`
Nyní už můžeme začít derivovat:
`cena'\ =\ \frac{(60\cos\alpha\ +\ 25\sin\alpha\)\sin\alpha\ -\ (60\sin\alpha\ -\ 25\cos\alpha\ +\ 75)\cos\alpha}{\sin^2\alpha}`
`cena'\ =\ \frac{25\sin^2\alpha\ +\ 25\cos^2\alpha\ -\ 75\cos\alpha}{\sin^2\alpha}`
Najdeme extrém funkce
`\begin{array}{rcl}0\ &=&\ \frac{25\sin^2\alpha\ +\ 25\cos^2\alpha\ -\ 75\cos\alpha}{\sin^2\alpha}\\0\ &=&\ 25(\sin^2\alpha\ +\ \cos^2\alpha-3\cos\alpha)\\-3\cos\alpha\ &=&\ -1\\\cos\alpha\ &=&\ \frac{1}{3}\end{array}`
Úhel α je tedy přibližně roven 70°
Nejnižších nákladů za dopravu dosáhneme tehdy, postavíme-li cestu pod úhlem přibližně 70°.
