Derivace funkce `f` v bodě `x_0` je směrnice tečny ke grafu funkce v tomto bodě. Říká, jak rychle se hodnota funkce v tom místě mění: kladná derivace znamená, že funkce roste, záporná, že klesá, a čím větší je její absolutní hodnota, tím strmější je graf. Počítá se jako limita:

`\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}`

V praxi se ale derivuje bez limit, podle tabulky derivací a pěti pravidel. Například `(x^3)'=3x^2`, `(\sin x)'=\cos x` nebo `(\ln x)'=\dfrac{1}{x}`. Celé derivování je jen poznat, z čeho se funkce skládá, a použít správné pravidlo.

Derivace se značí čárkou, `f'(x)` nebo `y'`, případně Leibnizovým zápisem `\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}`. Ten připomíná, odkud se vzala: je to poměr změny `y` ke změně `x`, když je změna `x` nekonečně malá. Výsledkem derivování je zase funkce, která ke každému `x` vrátí směrnici tečny v tom bodě.

Derivace se probírá ve 4. ročníku střední školy a navazuje na článek Limity funkcí. Nejčastější úlohu, derivaci mocniny `a\cdot x^n`, si můžete hned vyzkoušet v procvičování derivace mocniny.

Co je derivace: od sečny k tečně

U přímky je strmost všude stejná a spočítá se ze dvou bodů jako `\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}`. To je směrnice `k`. U křivky se strmost mění bod od bodu, a proto potřebujeme derivaci.

Vezmeme parabolu `f(x)=\dfrac{x^2}{4}` a na ní bod `A\left[1;\ \frac{1}{4}\right]`. Přímka vedená bodem `A` a dalším bodem grafu `B` je sečna. Když bod `B` posouváme po grafu k bodu `A`, sečna se natáčí a blíží se tečně, která se grafu v bodě `A` jen dotkne.

12312 AB₁B₂y = x²/4tečna, k = 1/2sečny

Bod `B` má souřadnici `x=1+h`. Směrnici sečny spočítáme pro stále menší `h`:

`h`bod `B`směrnice sečny
`2``\left[3;\ \frac{9}{4}\right]``1`
`1``[2;\ 1]``0{,}75`
`0{,}5``\left[1{,}5;\ \frac{9}{16}\right]``0{,}625`
`0{,}1``[1{,}1;\ 0{,}3025]``0{,}525`
`0{,}01``[1{,}01;\ 0{,}255025]``0{,}5025`
`0{,}001``[1{,}001;\ 0{,}25050025]``0{,}50025`

Směrnice se blíží číslu `0{,}5`. Přímo `h=0` dosadit nejde, vyšlo by `\frac{0}{0}`. Proto se počítá limita. Nejdřív se čitatel upraví a `h` se zkrátí:

`\begin{gathered}\displaystyle f(1+h)-f(1)=\frac{(1+h)^2}{4}-\frac{1}{4}=\frac{h}{2}+\frac{h^2}{4}\\[10pt]\displaystyle f'(1)=\lim_{h\to 0}\frac{\frac{h}{2}+\frac{h^2}{4}}{h}=\lim_{h\to 0}\left(\frac{1}{2}+\frac{h}{4}\right)=\frac{1}{2}\end{gathered}`

Tečna v bodě `A` má tedy směrnici přesně `\frac{1}{2}`, tomu odpovídají i čísla v tabulce: směrnice sečny je `0{,}5+\frac{h}{4}`.

Derivace z definice

Stejně se dá spočítat derivace v obecném bodě `x`, a pak vyjde celá nová funkce. Pro `f(x)=x^2`:

`\begin{gathered}\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}\\[10pt]\displaystyle =\lim_{h\to 0}\frac{2xh+h^2}{h}=\lim_{h\to 0}(2x+h)=2x\end{gathered}`

Derivace funkce `x^2` je `2x`. V bodě 1 je tedy směrnice tečny 2, v bodě `-3` je `-6` (tam parabola klesá), ve vrcholu 0 je nula, tečna je vodorovná. Místo `h` se v učebnicích píše také `\Delta x`, význam je stejný.

Takhle se odvodily všechny vzorce v tabulce níže. Počítat z definice se ve škole chce jen výjimečně; jakmile je vzorec odvozený, prostě se používá.

Tabulka derivací: vzorce elementárních funkcí

Tyto vzorce je potřeba znát zpaměti, všechno ostatní se z nich poskládá pomocí pravidel. Písmeno `c` je libovolná konstanta.

funkce `f(x)`derivace `f'(x)`
`c``0`
`x``1`
`x^n``n\cdot x^{n-1}`
`\sqrt{x}``\dfrac{1}{2\sqrt{x}}`
`\dfrac{1}{x}``-\dfrac{1}{x^2}`
`\mathrm{e}^x``\mathrm{e}^x`
`a^x``a^x\cdot\ln a`
`\ln x``\dfrac{1}{x}`
`\log_a x``\dfrac{1}{x\cdot\ln a}`
`\sin x``\cos x`
`\cos x``-\sin x`
`\mathrm{tg}\,x``\dfrac{1}{\cos^2 x}`
`\mathrm{cotg}\,x``-\dfrac{1}{\sin^2 x}`
`\arcsin x``\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}`
`\arccos x``-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}`
`\mathrm{arctg}\,x``\dfrac{1}{1+x^2}`
`\mathrm{arccotg}\,x``-\dfrac{1}{1+x^2}`

Pár poznámek k tabulce:

  • Mocnina platí pro každý reálný exponent, i záporný a zlomkový. Odmocnina a `\frac{1}{x}` jsou jen její zvláštní případy: `\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}`, takže `\left(x^{\frac{1}{2}}\right)'=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}`.
  • Derivace ln: `(\ln x)'=\frac{1}{x}` pro `x\gt 0`. Derivace dekadického logaritmu je `(\log x)'=\frac{1}{x\cdot\ln 10}`, ten se od přirozeného liší jen konstantou.
  • Derivace tangens je `\frac{1}{\cos^2 x}`, což je totéž jako `1+\mathrm{tg}^2 x`. Platí všude, kde je tangens definovaný, tedy mimo `x=\frac{\pi}{2}+k\pi`. Podrobně o funkci v článku Funkce tangens a kotangens.
  • Exponenciála `\mathrm{e}^x` je jediná (až na násobek) funkce, která je sama sobě derivací. Pro jiný základ přibude činitel `\ln a`, například `(2^x)'=2^x\ln 2`.

Pravidla derivování

Funkce se skládají z těch v tabulce sčítáním, násobením, dělením a dosazováním jedné do druhé. Pro každou z těchto operací je jedno pravidlo. Funkce `u` a `v` jsou funkce proměnné `x`.

Konstanta před funkcí

`(c\cdot u)'=c\cdot u'`

Konstanta se opíše a derivuje se jen funkce: `(4x^3)'=4\cdot 3x^2=12x^2`. Proto se derivace mocniny `a\cdot x^n` počítá jako `a\cdot n\cdot x^{n-1}`: exponent jde dolů jako činitel a sníží se o jedna.

Součet a rozdíl

`(u\pm v)'=u'\pm v'`

Každý člen se derivuje zvlášť: `(x^6-x^3+2x-10)'=6x^5-3x^2+2`. Samotná konstanta `-10` dá nulu.

Derivace součinu

`(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'`

Derivuje se vždy jen jeden činitel, druhý se opíše, a oba výsledky se sečtou: `(x^3\sin x)'=3x^2\sin x+x^3\cos x`.

Derivace podílu (derivace zlomku)

`\displaystyle\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}`

Tady záleží na pořadí: v čitateli je mínus a na prvním místě je derivace čitatele. Jmenovatel se jen umocní na druhou. Například

`\begin{aligned}\left(\frac{\sin x}{x^4}\right)'&=\frac{\cos x\cdot x^4-\sin x\cdot 4x^3}{x^8}\\[6pt]&=\frac{x\cos x-4\sin x}{x^5}\end{aligned}`

Ne každý zlomek ale potřebuje pravidlo pro podíl. Je-li ve jmenovateli jen číslo, je to konstanta před funkcí: `\left(\frac{x^2}{3}\right)'=\frac{2x}{3}`. Je-li jmenovatel mocnina `x`, zlomek se přepíše na zápornou mocninu: `\left(\frac{5}{x}\right)'=(5x^{-1})'=-5x^{-2}=-\frac{5}{x^2}`. Obojí je rychlejší a méně chybové.

Derivace složené funkce

`\bigl(f(g(x))\bigr)'=f'(g(x))\cdot g'(x)`

Složená funkce má vnější a vnitřní část, například u `\sin(5x^2)` je vnější sinus a vnitřní `5x^2`. Zderivuje se vnější funkce, vnitřek se do ní nechá beze změny, a výsledek se vynásobí derivací vnitřku:

`\bigl(\sin(5x^2)\bigr)'=\cos(5x^2)\cdot 10x`

Na to násobení vnitřní derivací se zapomíná nejčastěji. Pomůže otázka: je uvnitř funkce něco jiného než samotné `x`? Pokud ano, jde o složenou funkci. Pravidlo se někdy nazývá řetízkové, protože u vícenásobně složené funkce se derivace vnitřků násobí jedna za druhou.

Jak derivovat: postup a řešené příklady

Každá derivace se dá zvládnout stejným postupem:

  1. Přepište odmocniny a zlomky s `x` ve jmenovateli na mocniny, kde to jde.
  2. Najděte poslední operaci, tu, která by se při dosazení čísla počítala jako poslední. Ta určuje pravidlo: součet, součin, podíl, nebo složená funkce.
  3. Použijte pravidlo a zapište derivace částí zatím jen s čárkou, např. `(x^2)'\cdot\ln x`.
  4. Dopočítejte čárky podle tabulky. Pokud je část sama složitější, opakujte krok 2 pro ni.
  5. Upravte výsledek a ověřte ho, třeba dosazením jednoho čísla.

Příklad 1

Zderivujte `f(x)=3x^4-2x^3+5\sqrt{x}-\dfrac{4}{x}+7`.

Je to součet, derivujeme člen po členu. Odmocninu a zlomek přepíšeme: `5\sqrt{x}=5x^{\frac{1}{2}}` a `\frac{4}{x}=4x^{-1}`. Pak `\left(5x^{\frac{1}{2}}\right)'=\frac{5}{2}x^{-\frac{1}{2}}` a `(-4x^{-1})'=-4\cdot(-1)\,x^{-2}=4x^{-2}`, konstanta 7 dá nulu:

`\begin{aligned}f'(x)&=12x^3-6x^2+\tfrac{5}{2}x^{-\frac{1}{2}}+4x^{-2}\\[6pt]&=12x^3-6x^2+\frac{5}{2\sqrt{x}}+\frac{4}{x^2}\end{aligned}`

Pozor na znaménko u zlomku: mínus před zlomkem a mínus z exponentu dají plus.

Příklad 2: součin

Zderivujte `f(x)=x^2\ln x`.

`\begin{aligned}f'(x)&=(x^2)'\cdot\ln x+x^2\cdot(\ln x)'\\[4pt]&=2x\ln x+x^2\cdot\frac{1}{x}\\[4pt]&=2x\ln x+x=x(2\ln x+1)\end{aligned}`

Kontrola: v bodě `x=1` je `\ln 1=0`, derivace vychází 1. Funkce má v bodech 0,999 a 1,001 hodnoty `-0{,}0009985` a `0{,}0010015`, rozdíl `0{,}002` na úseku délky `0{,}002`, tedy strmost 1. Sedí.

Příklad 3: derivace zlomku

Zderivujte `f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}`.

Čitatel `u=x^2+1` má derivaci `2x`, jmenovatel `v=x-1` má derivaci 1:

`\begin{gathered}\displaystyle f'(x)=\frac{2x\cdot(x-1)-(x^2+1)\cdot 1}{(x-1)^2}\\[10pt]\displaystyle f'(x)=\frac{2x^2-2x-x^2-1}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}\end{gathered}`

Závorku za mínusem je nutné rozepsat celou, `-(x^2+1)=-x^2-1`. Jmenovatel se neroznásobuje, ve tvaru `(x-1)^2` je výsledek přehlednější.

Příklad 4: zlomek bez pravidla pro podíl

Zderivujte `f(x)=\dfrac{1-x^3}{x^2}`.

Jmenovatel je jediná mocnina, takže zlomek rozdělíme a derivujeme dva jednoduché členy:

`\begin{gathered}\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2}-\frac{x^3}{x^2}=x^{-2}-x\\[10pt]\displaystyle f'(x)=-2x^{-3}-1=-\frac{2}{x^3}-1=-\frac{x^3+2}{x^3}\end{gathered}`

Pravidlo pro podíl by dalo totéž, jen s `x^4` ve jmenovateli a jedním krácením navíc.

Příklad 5: složená funkce

Zderivujte `\sin(3x^2+1)`, `\ln(x^2+4)` a `\sqrt{1-x^2}`.

`\begin{gathered}\bigl(\sin(3x^2+1)\bigr)'=\cos(3x^2+1)\cdot 6x\\[10pt]\displaystyle\bigl(\ln(x^2+4)\bigr)'=\frac{1}{x^2+4}\cdot 2x=\frac{2x}{x^2+4}\\[10pt]\begin{aligned}\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)'&=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x)\\[6pt]&=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\end{aligned}\end{gathered}`

Pokaždé je vnější funkce (sinus, logaritmus, odmocnina) zderivovaná podle tabulky s nezměněným vnitřkem a pak vynásobená derivací vnitřku.

Příklad 6: rovnice tečny

Napište rovnici tečny ke grafu funkce `f(x)=x^3-3x` v bodě s `x_0=2`.

Tečna je přímka se směrnicí `k=f'(x_0)`, která prochází bodem `T[x_0;\ f(x_0)]`:

`y-f(x_0)=f'(x_0)\cdot(x-x_0)`

Dosadíme: `f(2)=8-6=2`, `f'(x)=3x^2-3`, takže `f'(2)=12-3=9`. Tečna je

`\begin{gathered}y-2=9(x-2)\\[4pt]y=9x-16\end{gathered}`
−22−224 T[2; 2]y = x³ − 3xy = 9x − 16

Kontrola: bod `T` na tečně leží, `9\cdot 2-16=2`. Rovnici přímky ze směrnice a bodu, i s kolmicí (normálou) tímtéž bodem, vypíše kalkulačka přímky ze směrnice a bodu.

Časté chyby

  • Derivace součinu není součin derivací. `(x\cdot x)'` není `1\cdot 1=1`, ale `2x`. Kontrola: `x\cdot x=x^2`.
  • Prohozené pořadí v podílu. `\frac{u'v-uv'}{v^2}`, ne `\frac{uv'-u'v}{v^2}`. Opačné pořadí dá výsledek s opačným znaménkem, a ten se prozradí zkouškou: u rostoucí funkce by vyšla záporná derivace.
  • Zapomenutá vnitřní derivace. `(\mathrm{e}^{3x})'=3\mathrm{e}^{3x}`, ne `\mathrm{e}^{3x}`. Stejně `(\sin 2x)'=2\cos 2x`.
  • Exponent snížený jen u kladných mocnin. `(x^{-2})'=-2x^{-3}`, exponent klesá z `-2` na `-3`, ne na `-1`.
  • Mocninný vzorec na exponenciálu. `(2^x)'` není `x\cdot 2^{x-1}`, protože proměnná je v exponentu. Správně `2^x\ln 2`.
  • Derivace neexistuje všude. Funkce musí být v bodě spojitá, ale ani to nestačí. Graf `|x|` má v nule hrot: zleva má směrnici `-1`, zprava `1`, a jedna tečna tam neexistuje. Podobně `\sqrt{x}` v nule nemá konečnou derivaci, tečna je tam svislá.

Vyšší derivace

Derivace je zase funkce, takže se dá derivovat znovu. Tak vznikne druhá derivace `f''`, třetí `f'''` a tak dále. U mnohočlenu každé derivování sníží stupeň o jedna, až zbude nula:

`\begin{gathered}f(x)=3x^4-2x^3+2x^2+5x-2\\[4pt]f'(x)=12x^3-6x^2+4x+5\\[4pt]f''(x)=36x^2-12x+4\\[4pt]f'''(x)=72x-12\\[4pt]f^{(4)}(x)=72\\[4pt]f^{(5)}(x)=0\end{gathered}`

U sinu a kosinu se derivace opakují po čtyřech krocích: `\sin x`, `\cos x`, `-\sin x`, `-\cos x` a zase `\sin x`.

Názorný význam má druhá derivace ve fyzice. Dráha volně padajícího tělesa je `s(t)=4{,}9\,t^2` (v metrech a sekundách). První derivace je rychlost `v(t)=s'(t)=9{,}8\,t`, druhá derivace zrychlení `a(t)=s''(t)=9{,}8`, tedy právě tíhové zrychlení `g\doteq 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}`.

K čemu je derivace

  • Kde funkce roste a klesá. Kde je `f'(x)\gt 0`, funkce roste, kde `f'(x)\lt 0`, klesá. Body s `f'(x)=0` jsou kandidáti na minimum a maximum. Celý postup je v článku Průběh funkce - Hledání extrémů.
  • Optimalizace. Největší obsah, nejmenší spotřeba materiálu, nejkratší cesta. Třeba: kdo má 3 000 m plotu a oplocuje obdélník u řeky (čtvrtá strana plot nepotřebuje), dostane obsah `S=(3000-2y)\cdot y`. Z `S'=3000-4y=0` vyjde `y=750\ \mathrm{m}`, druhá strana `1\,500\ \mathrm{m}` a obsah `1\,125\,000\ \mathrm{m^2}`. Další úlohy v článku Využití derivace - Optimalizační úlohy.
  • Tečny ke grafům, jak ukázal příklad 6.
  • Fyzika: rychlost je derivace dráhy podle času, zrychlení derivace rychlosti, proud derivace náboje.

Opačnou úlohou k derivování je hledání funkce, jejíž derivaci známe. To je Neurčitý integrál.

Příklady k procvičení

1. Zderivujte `f(x)=4x^3-5x^2+2x-7`.

2. Zderivujte `f(x)=\sqrt{x}+\dfrac{1}{x^2}`.

3. Zderivujte `f(x)=x\cdot\mathrm{e}^x`.

4. Zderivujte `f(x)=\dfrac{2x+3}{x-1}`.

5. Zderivujte a) `\ln(x^2+1)`, b) `\mathrm{tg}\,2x`, c) `(x^2-3)^5`.

6. Míč vyhozený svisle vzhůru je po `t` sekundách ve výšce `h(t)=20t-5t^2` metrů. Jakou rychlost má po 1 sekundě? Kdy je nejvýš a jak vysoko?

Kam dál