Články » VŠ matematika

Základy derivace

Vydáno dne v kategorii VŠ matematika; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 118 220

Vysvětlíme si základy derivace a naučíme se pravidla, jimiž se při derivování funkcí řídíme


Derivace je proces, kterým upravíme funkci f, tak že dosazením jakékoliv hodnoty za x do zderivované funkce nalezneme tečnu v daném bodě. Tento pojem vznikl v 17. století.

Značení

Derivace se dá definovat jako poměr, v jakém růst nějaké proměnné y odpovídá změně jiné proměnné x, na které má ona proměnná nějakou funkční závislost. Nejjednodušší představa o derivaci je, že derivace je mírou změny funkce v daném bodě, respektivě bodech. Změna hodnoty se značí Δ, tudíž by se tento poměr dal zapsat jako \frac{\Delta y}{\Delta x}. Pokud nahradíme konečně malou změnu \Delta x nekonečně malou změnou \mathrm{d}x, získáme vzorec, který pochází od Leibnize: \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} (pozor, jedná se o symbol, nikoliv o zlomek!)

Existují i další způsoby zápisu derivace:

  • f'(x)
  • \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x)
  • \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}
  • D_x f

Tečna lineárních funkcí

Pokud pracujeme s lineárními funkcemi, jejichž grafem je přímka, derivaci nepotřebujeme. Strmost totiž spočítáme jako \frac{\text{vyska}}{\text{sirka}}. Tento poměr se u lineární funkce nemění:

Základy derivace

Strmost najdeme jako výška/šířka. Pro funkci f(x)=x je strmost rovna 1. A je jedno, kde na funkci zvolíme testovací bod. Známe-li dva body ležící na funkci, strmost vypočítáme vzorečkem \text{strmost}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. Pokud ale budeme pracovat s jinými funkcemi jejichž grafem není přímka (například parabola), tak se derivacím nevyhneme.

Tečny nelineárních funkcí

Na následujícím obrázku je graf funkce f(x)=\frac{1}{4}x^2 (červená barva) spolu s tečnou (zelená barva) v bodě A a sečnou (modrá barva) vedenou body A, B

Základy derivace

Spojnice dvou bodů ležících na funkci již není tečnou funkce, protože tato tečna se neustále mění a pro každý z nekonečně mnoha bodů je jiná. Pokud bychom přibližovali bod B směrem dolů po naší funkci, získávali bychom přesnější a přesnější skoro tečnu. Bod A má souřadnice [x_0;\ y_0]\ =\ \left[1;\ \frac{1}{4}\right].

X – souřadnice bodu B Y – souřadnice bodu B \text{strmost}=\frac{Y-0.25}{X-1}
4 4 1.25
3 2.25 1
2 1 0.75
1.5 0.5625 0.625
1.25 0.390625 0.5625
1.1 0.3025 0.52499
1.01 0.255025 0.502499
1.0001 0.2500500025 0.5000249

Výsledek je celkem očividný. Čím více se blížíme k bodu A, je strmost bližší a bližší číslu 0.5. Bez derivací jsme se tedy dostali celkem blízko k té opravdové hodnotě. Ale abychom se k ní dostali, museli bychom bod B posunout na souřadnice B[1; 0.25]. Ale když to uděláme, nemůžeme použít náš vzoreček \text{strmost}=\frac{Y-0.25}{X-1}. Dosadíme-li za X, Y souřadnice bodu B získáme zlomek \text{strmost}=\frac{0.25-0.25}{1-1}. Tento zlomek pochopitelně není definován, jelikož 0 ve jmenovateli být nemůže.

Základy derivace

Označíme-li \Delta x=x-x_0, můžeme tento problém vyřešit pomocí limity \text{strmost}={\lim}\limits_{\small \Delta x \to 0}\frac{y-y_0}{\Delta x}. Čitatel se dá upravit: y-y_0=f(x_0+\Delta x)-f(x_0). Získáme tedy vzorec:

f'(x_0)={\lim}\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

Do tohoto vzorce již můžeme dosadit naše čísla:

\begin{array}{rcl}f'(1)&=&{\lim}\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}\\f'(1)&=&{\lim}\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\frac{1}{4}(1+\Delta x)^2-\frac{1}{4}(1)^2}{\Delta x}\\f'(1)&=&{\lim}\limits_{\Delta x \to 0}\frac{(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\Delta x+\Delta x^2)-\frac{1}{4}}{\Delta x}\\f'(1)&=&{\lim}\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta x(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\Delta x)}{\Delta x}\\f'(1)&=&{\lim}\limits_{\Delta x \to 0}\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\Delta x\\f'(1)&=&\frac{1}{2}+0\\f'(1)&=&\frac{1}{2}=0.5\end{array}

Strmost tečny v bodě x=1 je přesně 0.5.

Jak už bylo řečeno, \Delta x=x-x_0. Proto můžeme upravit náš vzorec pro výpočet derivace na:

f'(x_0)={\lim}\limits_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

Když se snažíte vypočítat derivaci, můžete použít oba tyto vzorce. Dojdete ke stejnému výsledku ať už použijete první nebo druhý vzorec. Vyzkoušíme si to na příkladu f(x):\ y=\frac{x+1}{2x-1}. 

\begin{array}{rcl}f'(x_0)&=&{\lim}\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\\&=&{\lim}\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\frac{x_0+\Delta x+1}{2x_0+2\Delta x-1}-\frac{x_0+1}{2x_0-1}}{\Delta x}\\&=&{\lim}\limits_{\Delta x \to 0}\frac{2x_0^2+2x_0\Delta x+2x_0-x_0-\Delta x-(2x_0^2+2x_0\Delta x-x_0+2x_0+2\Delta x-1)}{\Delta x(4x_0^2-2x_0+4x_0\Delta x-2\Delta x-2x_0+1)}\\&=&{\lim}\limits_{\Delta x \to 0}\frac{-3\Delta x}{\Delta x(4x_0^2-4x_0+4x_0\Delta x-2\Delta x+1)}\\&=&\fbox{\frac{-3}{4x_0^2-4x_0+1}}\end{array}

Nyní spočítáme derivaci stejné funkce s pomocí druhého vzorce. 

\begin{array}{rcl}f'(x_0)&=&{\lim}\limits_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\&=&{\lim}\limits_{x \to x_0}\frac{\frac{x+1}{2x-1}-\frac{x_0+1}{2x_0-1}}{x-x_0}\\&=&{\lim}\limits_{x \to x_0}\frac{\frac{(x+1)(2x_0-1)-(x_0+1)(2x-1)}{4x_0x-2x-2x_0+1}}{x-x_0}\\&=&{\lim}\limits_{x \to x_0}\frac{3x_0-3x}{4x_0x-2x-2x_0+1}\cdot\frac{1}{x-x_0}\\&=&{\lim}\limits_{x \to x_0}\frac{-3}{4x_0x-2x-2x_0+1}\\&=&\fbox{\frac{-3}{4x_0^2-4x_0+1}}\end{array}

Jak vidíte, oběma vzorci jsme získali stejný výsledek.

Pro naprostou většinu funkcí je použití vzorce dlouhou a pracnou záležitostí, při které není problém udělat nějakou chybu. Ale nebojte, my se bez tohoto vzorce lehce obejdeme. Existují totiž jistá pravidla, jakými lze získat derivaci funkce daleko větší rychlostí.

Pravidla pro práci s derivacemi

  1. Pravidlo konstanty: Pro f(x) = c, kde c \in R je derivace funkce vždy rovna nule: (x)=5\rightarrow f'(x)=0
  2. Pravidlo umocňování: Pro f(x)=a\cdot\text{x}^b je derivace funkce rovna f'(x)=(a\cdot b)\text{x}^{b-1}
    f(x)=x^5\rightarrow f'(x)=5x^4
    f(x)=4x^3\rightarrow f'(x)=12x^2
    f(x)=x^{-\frac{1}{2}}\rightarrow f'(x)=-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}
  3. Pravidlo součtu: Každý člen součtu derivujeme zvlášť.
    f(x)=x^6+x^3+x^2+x+10\rightarrow f'(x)=6x^5+3x^2+2x+1+0
  4. Pravidlo rozdílu: Každý člen rozdílu derivujeme zvlášť
    f(x)=x^6-x^3-x^2-x-10\rightarrow f'(x)=6x^5-3x^2-2x-1-0
  5. Pravidlo součinu: Funkci f(x)=a\cdot b derivujeme jako y'=a'\cdot b+a\cdot b'
    f(x)=x^3\cdot\sin x\rightarrow f'(x)=(x^3)'\cdot\sin x+x^3\cdot(\sin x)'=3x^2\cdot\sin x+x^3\cdot\cos x
  6. Pravidlo podílu: Funkci y=\frac{a}{b} derivujeme jako y'=\frac{a'\cdot b-a\cdot b'}{b^2}
    y=\frac{\sin x}{x^4}\rightarrow y'=\frac{(\sin x)'\cdot x^4-\sin x\cdot (x^4)'}{x^8}=\frac{\cos x\cdot x^4-\sin x\cdot 4x^3}{x^8}
  7. Pravidlo pro derivaci složené funkce: Funkci y=\sin(X) derivujeme jako y'=\sin(X)'\cdot X'
    y=\sin(5x^2)\rightarrow y'=(\sin(5x^2))'\cdot(5x^2)'=\cos(5x^2)\cdot 10x
  8. Trigonometrické funkce:Následující tabulku si budete muset bohužel zapamatovat:
    \frac{d}{dx}\sin x=\cos x\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cdot\cot x
    \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\cdot\tan x
    \frac{d}{dx}\tan x=\sec^2 x\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2 x
  9. Logaritmy a exponenciální funkce:
    \frac{d}{dx}\text{e}^x=\text{e}^x
    \frac{d}{dx}a^x=a^x\ln a
    \frac{d}{dx}2^x=2^x\ln2
    \frac{d}{dx}10^x=10^x\ln10
    \frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}
    \frac{d}{dx}\log^2x=\frac{\frac{1}{x}}{\ln 2}=\frac{1}{x\ln 2}
    ((\sin x)^{\sqrt{x}})'=\cos(x)^{\sqrt{x}}\cdot(\sqrt{x})'
  10. Cyklometrické funkce:
    f(x) = \arcsin{x}\,f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2} }
    f(x) = \arccos{x}\,f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2} }
    f(x) = \operatorname{arctg\,}x\,f'(x) = \frac{1}{1+x^2}
    f(x) = \operatorname{arccotg\,}x\,f'(x) = -\frac{1}{1+x^2}

Pozor! Ne všechny funkce jsou derivovatelné na celém svém definičním oboru. Funkce není diferencivatelná tam, kde funkce není spojitá. Ale ani to není záruka, že zbytek definičního oboru je diferencivatelný. Tam, kde na grafu je špička je tečna kolmá, tudíž ani tam není funkce diferencivatelná. A dokonce jsou funkce, které jsou sice spojité, přesto nelze na žádném jejich bodě určit derivaci - např. Weierstrassova funkce:

Základy derivace

Využití

Derivace lze využít při analýze průběhu funkce - hledání extrémů, testování, zda je funkce rostoucí/klesající apod. (přejít na článek Průběh funkce - Hledání extrémů

Další využití je při optimalizačních úlohách, tedy úlohách typu Sedlák má 3000m plotu a chce si oplotit obdélníkový pozemek u řeky. Na té straně, na které je řeka plot být nemusí. Jaké rozměry má zvolit, aby měl pozemek co největší obsah?. 

3000 = 2y+x (Musíme oplotit celkem tři strany)
S = x*y
Potřebujeme pouze jednu rovnici, musíme se zbavit proměnné x
x = 3000-2y
S = (3000-2y)\cdot y=3000y-2y^2\\S'=3000-4y
Vyřešíme pro y
4y = 3000
y = 750
Dopočítáme x
x = 3000-2y = 1500
Pozemek bude mít po stranách rozměry 750m a zbývající strana bude mít rozměr 1500m.

Další využití je například ve fyzice, například kinetice. Tam pomocí derivace najdeme změnu nějaké proměnné závislé na čase. První derivace takové funkce je rychlost a druhá derivace je zrychlení.

Existují i diferenciální rovnice - tedy rovnice v nichž se objevuje právě i derivace.

Vyšší derivace

Existuje první derivace, druhá derivace a existuje i n-tá derivace. Pokud chceme najít druhou derivaci funkce, najdeme nejprve první derivaci a pak tento postup ještě jednou zopakujeme. 

\begin{array}{rcl}f(x)&=&3x^4-2x^3+2x^2+5x-2\\f'(x)&=&12x^3-6x^2+4x+5\\f''(x)&=&36x^2-12x+4\\f'''(x)&=&72x-12\\f''''(x)&=&72\\f'''''(x)&=&0\end{array}

Derivace polynomických funkcí vždy jednou skončí na nule. Ale derivace racionálních funkcí jako f(x)=\frac{x+1}{x^2+2} budou stále složitější a rozvětvenější. A například derivace trigonometrických funkcí kosinus a sinus jsou cyklické.

Příklady

Vyřešíme zde několik ukázkových příkladů

Příklad (1-x^3)/x^2

Zderivujte funkci y=\frac{1-x^3}{x^2}

Začneme tím, že použijeme pravidlo pro podíl:

y'=\frac{(1-x^3)'\cdot x^2-(1-x^3)\cdot(x^2)'}{x^4}=\frac{-3x^2 \cdot x^2-(1-x^3)\cdot 2x}{x^4}

Zbavili jsme se všech derivací, stačí tedy, když výraz zjednodušíme:

y'=\frac{-x^4-2x}{x^4}=\frac{-x^3-2}{x^3}

Hotovo!

Příklad ((x-1)/(x+1))^2

Zderivujte funkci f=\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^2

Začíná to byt trochu složitější. Nyní musíme použít řetízkové pravidlo:

y'=2\frac{x-1}{x+1}\cdot\frac{(x-1)'\cdot(x+1)-(x-1)\cdot(x+1)'}{(x+1)^2}

Spočítáním dalších dvou velmi lehkých derivací dojdeme k výrazu:

y'=2\frac{x-1}{x+1}\cdot\frac{(x+1)-(x-1)}{(x+1)^2}

Nyní výraz pouze upravíme: 

y'=4\frac{x-1}{(x+1)^3}

Další příklady budou bez doprovodných popisků, pouze krok po kroku vyřešené. Kdybyste narazili na nějaké otázky, ptejte se v komentářích.

Příklad x*(ln x)^2

\begin{array}{rcl}y&=&x\cdot\ln^2x\\y'&=&(x)'\cdot \ln^2x+x\cdot(\ln^2x)'=\ln^2x+x\cdot (2\ln x\cdot\frac{1}{x})\\y'&=&\ln^2x+2\ln x=\ln x(\ln x+2)\end{array}

Příklad (sin(x^2)+x^4)/cos(x)

\begin{array}{rcl}f(x)&=&\frac{\sin x^2+x^4}{\cos x}\\f'(x)&=&\frac{(\sin x^2+x^4)'\cdot\cos x-(\sin x^2+x^4)\cdot(\cos x)'}{\cos ^2x}\\f'(x)&=&\frac{(\cos x^2\cdot(x^2)'+4x^3)\cos x-(\sin x^2+x^4)\cdot(-\sin x)}{\cos^2x}\\f'(x)&=&\frac{\cos x(2x\cos x^2+4x^3)+\sin x(\sin x^2+x^4)}{\cos^2x}\end{array}

Příklad e^(ln(e^(cos(x))))

\Large\begin{array}{rcl}\frac{d}{dx}e^{\ln e^{\cos x}}&=&e^{\ln e^{\cos x}}\cdot(\ln e^{\cos x})'\\&=&e^{\ln e^{\cos x}}\cdot\frac{1}{e^{\cos x}}\cdot(e^{\cos x})'\\&=&e^{\ln e^{\cos x}}\cdot\frac{1}{e^{\cos x}}\cdot e^{\cos x}\cdot(\cos x)'\\&=&e^{\ln e^{\cos x}}\cdot\frac{1}{e^{\cos x}}\cdot e^{\cos x}\cdot(-\sin x)\\&=&-\frac{e^{\ln e^{\cos x}}\cdot e^{\cos x}\cdot\sin x}{e^{\cos x}}\end{array}

Příklad 2x*arctan(x)-ln(1+x^2)

\begin{array}{rcl}f(x)&=&2x\arctan x-\ln(1+x^2)\\f'(x)&=&((2x)'\arctan x+2x(\arctan x)')-\frac{1}{1+x^2}\cdot(1+x^2)'\\f'(x)&=&2\arctan x+2x\cdot\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}\cdot2x\\f'(x)&=&2\arctan x\end{array}

Příklad sqrt(ln(e^(sqrt(x))))

\begin{array}{rcl}y&=&\sqrt{\ln(\text{e}^{sqrt{x}})}\\y'&=&\frac{1}{2}(\ln \text{e}^{sqrt{x}})^{-\frac{1}{2}}\cdot(\ln \text{e}^{sqrt{x}})'\\y'&=&\frac{1}{2\sqrt{\ln\text{e}^{sqrt{x}}}}\cdot\frac{1}{\text{e}^{sqrt{x}}}\cdot(\text{e}^{sqrt{x}})'\\y'&=&\frac{1}{2\sqrt{\ln\text{e}^{sqrt{x}}}}\cdot\frac{1}{\cancel{\text{e}^{sqrt{x}}}}\cdot\cancel{\text{e}^{sqrt{x}}}\cdot(\sqrt{x})'\\y'&=&\frac{1}{2\sqrt{\ln\text{e}^{sqrt{x}}}\cdot2\sqrt{x}}\end{array}

Příklad 1/4*ln((x^2-1)/(x^2+1))

\begin{array}{rcl}y&=&\frac{1}{4}\ln\frac{x^2-1}{x^2+1}\\y'&=&\left(\frac{1}{4}\right)'\cdot\ln\frac{x^2-1}{x^2+1}+\frac{1}{4}\cdot\left(\ln\frac{x^2-1}{x^2+1}\right)'\\y'&=&0+\frac{1}{4}\frac{x^2+1}\cdot{x^2-1}\cdot\left(\frac{x^2-1}{x^2+1}\right)'\\y'&=&\frac{1}{4}\cdot\frac{x^2+1}{x^2-1}\cdot\frac{(x^2-1)'\cdot(x^2+1)-(x^2-1)\cdot(x^2+1)'}{(x^2+1)^2}\\y'&=&\frac{1}{4}\cdot\frac{x^2-1}{x^2+1}\cdot\frac{2x^3+2x-2x^3+2x}{(x^2+1)^2}\\y'&=&\frac{1}{4}\cdot\frac{4x^3+4x}{(x^2+1)^2\cdot(x^2-1)}\\y'&=&\frac{x}{(x^2+1)\cdot(x^2-1)}\end{array}

Příklad sqrt(1-x)-arcsin(sqrt(x))

\begin{array}{rcl}y&=&\sqrt{1-x}\cdot\arcsin\sqrt{x}\\y'&=&(\sqrt{1-x})'\cdot\arcsin\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\cdot(\arcsin\sqrt{x})'\\y'&=&\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\cdot(1-x)'\cdot\arcsin\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-\sqrt{x}^2}}\cdot(\sqrt{x})'\\y'&=&\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\cdot(-1)\cdot\arcsin\sqrt{x}+\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\\y'&=&-\frac{\arcsin\sqrt{x}}{2\sqrt{1-x}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\end{array}

Test

Vypočtěte \int_{-\frac{\pi}{2}}^0\sin x\cos x\mathrm{d}x


Hlavolam

Dvě věže stojí na opačných stranách náměstí. Jedna věž je vysoká 30 metrů a druhá 50 metrů. Jaká je vzdálenost mezi vrcholky věží, pokud jejich základy jsou od sebe vzdálené 40 metrů?

Kopírovat obsah stránek, čí s ním jinak manipulovat bez svolení jeho autora, je zakázáno.

ISSN: 1803-7615 © maths.cz 2008-2024 © content: Matematika pro každého, Jakub Vojáček