Průběh funkce - Hledání extrémů

Extrém funkce je bod, ve kterém funkce nabývá lokálního maxima nebo minima: funkce v něm přestane růst a začne klesat (maximum), nebo přestane klesat a začne růst (minimum). Najdeme ho derivací. Nejdřív vyřešíme rovnici `f'(x) = 0`, jejím řešením se říká stacionární body, a pak u každého z nich zkontrolujeme, jestli derivace mění znaménko:

`\begin{gathered} f'(x_0) = 0 \\[8pt] f' \ \text{z}\ + \ \text{na}\ - \ \Rightarrow\ \text{maximum} \\[8pt] f' \ \text{z}\ - \ \text{na}\ + \ \Rightarrow\ \text{minimum} \end{gathered}`

Například `f(x) = x^3 - 3x` má derivaci `f'(x) = 3x^2 - 3`, ta je nulová pro `x = -1` a `x = 1`. V bodě `-1` je lokální maximum `f(-1) = 2`, v bodě `1` lokální minimum `f(1) = -2`. Níže je postup krok za krokem, test druhou derivací, hledání největší a nejmenší hodnoty na intervalu a celé vyšetření průběhu funkce na jednom příkladu.

Co je lokální a globální extrém

Funkce `f` má v bodě `x_0` lokální maximum, jestliže existuje okolí bodu `x_0`, ve kterém je `f(x) \le f(x_0)`. Jinými slovy: v blízkosti `x_0` není žádná vyšší funkční hodnota. Pro lokální minimum platí `f(x) \ge f(x_0)`. Pokud jsou nerovnosti pro `x \ne x_0` ostré, mluvíme o ostrém lokálním maximu či minimu; v úlohách se hledají téměř vždy ta. Maximum a minimum mají společný název extrém.

Globální (absolutní) maximum je největší hodnota funkce na celém definičním oboru nebo na zadaném intervalu, globální minimum nejmenší. Lokální extrém se dívá jen do okolí, globální na všechno. Proto lokální maximum nemusí být největší hodnotou funkce a největší hodnota může ležet v krajním bodě intervalu, kde derivace nulová není:

Pozor na tři různé věci, které se všechny říkají „maximum“: bod `x_0 = -1`, ve kterém maximum nastává, hodnota maxima `f(-1) = 2` a bod grafu `[-1;\ 2]`. Když se úloha ptá „najděte extrémy“, uveďte vždy obojí, `x_0` i `f(x_0)`.

Stacionární body: kde hledat extrém

Derivace `f'(x_0)` je směrnice tečny ke grafu v bodě `x_0` (viz Základy derivace). Na vrcholu kopce i na dně údolí je tečna vodorovná, má tedy směrnici nula. Odtud pravidlo: má-li funkce v bodě `x_0` lokální extrém a derivace v něm existuje, pak `f'(x_0) = 0`. Bodům, kde `f'(x) = 0`, se říká stacionární body.

Obrácené tvrzení ale neplatí a to je nejdůležitější věta celého tématu. Stacionární bod je jen podezřelý z extrému. Funkce `y = x^3` má `f'(0) = 0`, tečna v nule je vodorovná, a přesto funkce roste pořád, jen se v nule na okamžik „zastaví“. A naopak: `y = |x|` má v nule zjevné minimum, ale derivaci tam nemá vůbec (graf má hrot).

Kandidáti na extrém jsou proto dva druhy bodů definičního oboru: stacionární body a body, kde funkce je definovaná, ale derivaci nemá. Bod, který do definičního oboru nepatří, extrémem být nemůže, protože v něm funkce nemá žádnou hodnotu. Takový bod ale dělí číselnou osu na intervaly, takže ho na osu se znaménky zakreslíme také (prázdným kolečkem).

Rostoucí a klesající: znaménko derivace

O tom, jestli je ve stacionárním bodě extrém, rozhodne znaménko derivace v jeho okolí:

• kde je `f'(x) \gt 0`, funkce roste,
• kde je `f'(x) \lt 0`, funkce klesá.

Znaménko na celém intervalu mezi dvěma sousedními kandidáty je stejné, protože spojitá derivace nemůže změnit znaménko, aniž by prošla nulou. Stačí tedy do derivace dosadit jedno libovolné číslo z každého intervalu. Často ani to není potřeba: když je derivace rozložená na součin, znaménko se přečte z jednotlivých činitelů.

Postup: jak najít extrémy funkce

1. Určete definiční obor `D(f)` (viz Definiční obor).
2. Spočítejte první derivaci a upravte ji na součin nebo podíl.
3. Vyřešte rovnici `f'(x) = 0`, dostanete stacionární body. Přidejte body z `D(f)`, kde derivace neexistuje.
4. Vyznačte kandidáty i body mimo `D(f)` na číselné ose a určete znaménko derivace na každém intervalu.
5. Kde se znaménko mění z `+` na `-`, je maximum, z `-` na `+` minimum.
6. Dosazením do původní funkce `f` (ne do derivace) spočítejte hodnoty extrémů.

Pro polynomy se rovnice `f'(x) = 0` dá ověřit kalkulačkou kořeny mnohočlenu, pro kvadratickou derivaci kvadratickou rovnicí. Samotné derivování si můžete procvičit v derivaci mocniny.

Řešené příklady

Příklad 1: polynom, ve kterém jeden stacionární bod není extrém

Najděte lokální extrémy funkce `f(x) = 3x^5 - 20x^3`.

Definiční obor jsou všechna reálná čísla. Derivace a její rozklad:

`\begin{aligned} f'(x) &= 15x^4 - 60x^2 \\[6pt] &= 15x^2(x^2 - 4) \\[6pt] &= 15x^2(x - 2)(x + 2) \end{aligned}`

Rovnice `f'(x) = 0` má řešení `x = -2`, `x = 0` a `x = 2`. Tyto tři body rozdělí osu na čtyři intervaly. Z každého dosadíme jedno číslo:

`\begin{aligned} f'(-3) &= 15 \cdot 81 - 60 \cdot 9 = 675 \gt 0 \\[4pt] f'(-1) &= 15 - 60 = -45 \lt 0 \\[4pt] f'(1) &= 15 - 60 = -45 \lt 0 \\[4pt] f'(3) &= 675 \gt 0 \end{aligned}`

Rychleji to jde z rozkladu: činitel `15x^2` je pro `x \ne 0` vždy kladný, takže znaménko určuje jen `(x - 2)(x + 2)`, a to je záporné mezi `-2` a `2`, jinde kladné.

V bodě `-2` se znaménko mění z `+` na `-`: maximum. V bodě `2` z `-` na `+`: minimum. V bodě `0` je vlevo i vpravo minus, funkce tam klesá dál a extrém tam není, přestože `f'(0) = 0`. Hodnoty dopočítáme z původní funkce:

`\begin{aligned} f(-2) &= 3 \cdot (-32) - 20 \cdot (-8) \\ &= -96 + 160 = 64 \\[10pt] f(2) &= 3 \cdot 32 - 20 \cdot 8 \\ &= 96 - 160 = -64 \end{aligned}`

Funkce má lokální maximum `64` v bodě `x = -2` a lokální minimum `-64` v bodě `x = 2`. Roste na `(-\infty;\ {-2}\rangle` a na `\langle 2;\ \infty)`, klesá na `\langle -2;\ 2\rangle`. Kontrola: funkce je lichá, `f(-x) = -f(x)`, takže maximum a minimum musí být souměrné podle počátku, a jsou.

Příklad 2: podíl a bod mimo definiční obor

Najděte lokální extrémy funkce `f(x) = \dfrac{x^2}{(x + 1)^3}`.

Jmenovatel nesmí být nula, takže `D(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1\}`. Derivace podílu, v čitateli vytkneme `x(x + 1)^2` a zkrátíme:

`\begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{2x(x + 1)^3 - x^2 \cdot 3(x + 1)^2}{(x + 1)^6} \\[8pt] &= \dfrac{x(x + 1)^2\,\bigl(2(x + 1) - 3x\bigr)}{(x + 1)^6} \\[8pt] &= \dfrac{x(2 - x)}{(x + 1)^4} \end{aligned}`

Zlomek je nulový, když je nulový čitatel: stacionární body jsou `x = 0` a `x = 2`. Bod `-1` do definičního oboru nepatří, extrém v něm být nemůže, ale na osu ho zakreslíme, protože dělí intervaly. Jmenovatel `(x + 1)^4` je vždy kladný, znaménko tedy určuje čitatel `x(2 - x)`. Pro kontrolu dosazením: `f'(-2) = -8`, `f'(-\tfrac{1}{2}) = -20`, `f'(1) = \tfrac{1}{16}`, `f'(3) = -\tfrac{3}{256}`.

V bodě `0` je minimum `f(0) = 0`, v bodě `2` maximum `f(2) = \dfrac{4}{27} \doteq 0{,}148`.

Na tomto příkladu je dobře vidět rozdíl mezi lokálním a globálním extrémem. U svislé asymptoty `x = -1` jdou hodnoty zprava do `+\infty` a zleva do `-\infty` (viz Asymptota funkce), takže maximum `\tfrac{4}{27}` ani minimum `0` nejsou největší ani nejmenší hodnotou funkce. Globální extrémy tato funkce nemá.

A ještě jedna past: funkce klesá na `(-\infty;\ {-1})` a klesá na `(-1;\ 0\rangle`, ale není klesající na jejich sjednocení. Stačí porovnat `f(-2) = -4` a `f(-\tfrac{1}{2}) = 2`: větší `x`, větší hodnota. Intervaly monotonie oddělené bodem mimo definiční obor se proto píšou zvlášť, ne sjednocené.

Příklad 3: logaritmus

Najděte lokální extrémy funkce `f(x) = x^2 \ln x`.

Logaritmus je definovaný jen pro kladná čísla, `D(f) = (0;\ \infty)`. Derivace součinu:

`\begin{aligned} f'(x) &= 2x \cdot \ln x + x^2 \cdot \dfrac{1}{x} \\[8pt] &= 2x\ln x + x = x(2\ln x + 1) \end{aligned}`

Činitel `x` by dal nulu v bodě `0`, ten ale do definičního oboru nepatří. Zbývá

`2\ln x + 1 = 0`
`\ln x = -\dfrac{1}{2}`
`x = \mathrm{e}^{-1/2} = \dfrac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}} \doteq 0{,}607`

Znaménko zkoumáme u derivace: `f'(0{,}5) = 0{,}5\,(2\ln 0{,}5 + 1) \doteq -0{,}19 \lt 0` a `f'(1) = 1 \cdot (0 + 1) = 1 \gt 0`. Změna z minusu na plus, v bodě `\tfrac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}` je minimum. Jeho hodnota:

`f\left(\mathrm{e}^{-1/2}\right) = \mathrm{e}^{-1} \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{1}{2\mathrm{e}} \doteq -0{,}184`

Funkce na `(0;\ \mathrm{e}^{-1/2}\rangle` klesá a dál už jen roste, takže toto minimum je zároveň globální.

Test druhou derivací

Místo osy se znaménky lze stacionární bod rozhodnout druhou derivací. Je-li `f'(x_0) = 0`, pak:

• `f''(x_0) \gt 0`: v `x_0` je ostré lokální minimum (graf je tam „prohnutý nahoru“ jako miska),
• `f''(x_0) \lt 0`: v `x_0` je ostré lokální maximum (prohnutý dolů jako kopec),
• `f''(x_0) = 0`: test nerozhodne a musí se použít znaménko první derivace.

Pro `f(x) = x^3 - 3x` z úvodu je `f''(x) = 6x`. Vyjde `f''(-1) = -6 \lt 0`, tedy maximum, a `f''(1) = 6 \gt 0`, tedy minimum. Souhlasí.

V příkladu 1 je `f''(x) = 60x^3 - 120x`. Pro `x = 2` vyjde `480 - 240 = 240 \gt 0`, minimum, a pro `x = -2` vyjde `-240`, maximum. V nule je ale `f''(0) = 0` a test mlčí. Že tam extrém není, ukázala až osa se znaménky. Proč test nulou nic neříká: `x^4`, `-x^4` i `x^3` mají v nule první i druhou derivaci nulovou, a první má minimum, druhá maximum a třetí nic.

Druhá derivace se vyplatí, když je snadná (polynomy). U složitějších podílů bývá rychlejší osa se znaménky.

Největší a nejmenší hodnota na intervalu

Když úloha zní „najděte maximum a minimum funkce na intervalu `\langle a;\ b\rangle`“, ptá se po globálních extrémech. Spojitá funkce na uzavřeném intervalu vždy nějakou největší i nejmenší hodnotu má. Najdou se takto: spočítáme hodnoty ve stacionárních bodech uvnitř intervalu, v bodech bez derivace a v obou krajních bodech a vybereme největší a nejmenší číslo. Znaménka tu určovat nemusíme.

Příklad 4

Najděte největší a nejmenší hodnotu funkce `f(x) = x^3 - 3x` na intervalu `\langle -2;\ 3\rangle`.

Stacionární body `-1` a `1` oba leží v intervalu. Tabulka hodnot kandidátů:

Největší hodnota je `18` v krajním bodě `x = 3`, přestože tam derivace nulová není (`f'(3) = 24`). Lokální maximum `2` v bodě `-1` globální není. Nejmenší hodnota `-2` nastává hned ve dvou bodech, `x = -2` a `x = 1`. Kdo by krajní body vynechal, dostal by maximum `2`, a to je špatně.

Příklad 5: krabice z plechu

Ze čtvercového plechu o straně `30\ \mathrm{cm}` vystřihneme v rozích čtverečky o straně `x` a okraje ohneme nahoru. Jak velké čtverečky vystřihnout, aby měla krabice co největší objem?

Dno je čtverec o straně `30 - 2x` a výška je `x`, takže

`V(x) = x(30 - 2x)^2, \quad x \in (0;\ 15)`

Derivace součinu a rozklad:

`\begin{aligned} V'(x) &= (30 - 2x)^2 + x \cdot 2(30 - 2x) \cdot (-2) \\[6pt] &= (30 - 2x)(30 - 6x) \end{aligned}`

Nulové body jsou `x = 15` (krabice bez dna, do intervalu nepatří) a `x = 5`. Druhá derivace `V''(x) = 24x - 240` dává `V''(5) = -120 \lt 0`, tedy maximum. Vystřihneme čtverečky o straně `5\ \mathrm{cm}` a objem bude `V(5) = 5 \cdot 20^2 = 2\,000\ \mathrm{cm^3}`, tedy 2 litry. Zkouška okolím: `V(4) = 1\,936` a `V(6) = 1\,944`, obojí méně. Další úlohy tohoto typu jsou v článku Využití derivace - Optimalizační úlohy.

Vyšetření průběhu funkce

Hledání extrémů je jeden krok úlohy „vyšetřete průběh funkce“. Celá úloha má obvykle tyto body:

1. definiční obor, případně sudost, lichost a periodicita,
2. průsečíky s osami,
3. limity v krajních bodech definičního oboru a asymptoty,
4. první derivace: monotonie a lokální extrémy,
5. druhá derivace: kde je funkce konvexní (`f'' \gt 0`, prohnutá nahoru) a konkávní (`f'' \lt 0`), a inflexní body, kde se jedno mění ve druhé,
6. obor hodnot a náčrt grafu.

Příklad 6: celý průběh funkce

Vyšetřete průběh funkce `f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}`.

Definiční obor. Jmenovatel `x^2 + 1` je vždy aspoň 1, takže `D(f) = \mathbb{R}`. Funkce je lichá, `f(-x) = -f(x)`, graf je souměrný podle počátku.

Průsečíky s osami. `f(x) = 0` jen pro `x = 0`, graf prochází počátkem `[0;\ 0]`.

Limity a asymptoty. Pro `x \to \pm\infty` roste jmenovatel rychleji než čitatel, `\lim f(x) = 0`. Přímka `y = 0` je vodorovná asymptota na obou stranách, svislou asymptotu funkce nemá.

První derivace.

`f'(x) = \dfrac{1 \cdot (x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}`

Stacionární body jsou `x = \pm 1`. Jmenovatel je kladný, znaménko určuje `1 - x^2`: kladné mezi `-1` a `1`, jinde záporné. Funkce klesá na `(-\infty;\ {-1}\rangle`, roste na `\langle -1;\ 1\rangle` a klesá na `\langle 1;\ \infty)`. Minimum `f(-1) = -\tfrac{1}{2}`, maximum `f(1) = \tfrac{1}{2}`.

Druhá derivace. Po zderivování podílu a vykrácení činitele `x^2 + 1` vyjde

`f''(x) = \dfrac{2x(x^2 - 3)}{(x^2 + 1)^3}`

Nulová je v bodech `0`, `-\sqrt{3}` a `\sqrt{3}` a v každém z nich mění znaménko, jsou to tedy tři inflexní body: `[0;\ 0]` a `\bigl[\pm\sqrt{3};\ {\pm\tfrac{\sqrt{3}}{4}}\bigr]`. Funkce je konkávní na `(-\infty;\ {-\sqrt{3}}\rangle` a `\langle 0;\ \sqrt{3}\rangle`, konvexní na `\langle -\sqrt{3};\ 0\rangle` a `\langle \sqrt{3};\ \infty)`. Kontrola u extrémů: `f''(1) = -\tfrac{1}{2} \lt 0` je maximum, `f''(-1) = \tfrac{1}{2} \gt 0` minimum.

Obor hodnot. Pro `x \to \pm\infty` se funkce k nule jen blíží, hodnoty `\pm\tfrac{1}{2}` nikde nepřekročí a mezi extrémy nabývá všech hodnot, takže lokální extrémy jsou zde zároveň globální a `H(f) = \bigl\langle -\tfrac{1}{2};\ \tfrac{1}{2}\bigr\rangle`.

Časté chyby

• Každý stacionární bod prohlásit za extrém. `f'(x_0) = 0` je podmínka nutná, ne dostačující. Bez kontroly znaménka nebo druhé derivace je výsledek jen odhad; viz `x^3` a bod `0` v příkladu 1.
• Zapomenout na body bez derivace. `|x|`, `\sqrt[3]{x^2}` a podobné funkce mají extrém v hrotu, kde derivace neexistuje a rovnice `f'(x) = 0` ho nenajde.
• Počítat s body mimo definiční obor. Bod `-1` v příkladu 2 ani `0` v příkladu 3 extrémem být nemůže. Na osu se znaménky patří, mezi výsledky ne.
• Dosazovat do špatné funkce. O růstu a klesání rozhoduje znaménko `f'`, hodnotu extrému dává `f`. Kdo zkoumá znaménko `f`, zjistí jen, kde je graf nad osou `x`.
• Zaměnit lokální a globální extrém. Lokální maximum může být menší než lokální minimum (cvičení 4) a na uzavřeném intervalu bývá největší hodnota v krajním bodě (příklad 4).
• Sjednotit intervaly monotonie. „Klesá na `(-\infty;\ {-1}) \cup (-1;\ 0\rangle`“ je chyba, viz příklad 2.
• Z `f''(x_0) = 0` usoudit, že extrém není. Test jen nerozhodl; `x^4` má v nule minimum. Stejně tak `f''(x_0) = 0` ještě neznamená inflexní bod, musí se změnit znaménko `f''`.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Procvičování: derivace mocniny, vrchol paraboly.
• Kalkulačky: kořeny mnohočlenu (stacionární body polynomu), kvadratická rovnice, vrchol paraboly, přímka ze směrnice a bodu (rovnice tečny).
• Články: Základy derivace, Využití derivace - Optimalizační úlohy, Vlastnosti funkcí, Asymptota funkce, Limity funkcí.