Články » SŠ Matematika » Funkce

Průběh funkce - Hledání extrémů

Vydáno dne v kategorii Funkce; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 68 145

Naučíme se hledat minimum a maximum funkce.


Hledání extrémů funkce, neboli hledání bodů, kde funkční hodnota nabývá buď maxima nebo minima je jedna z důležitých částí vyšetřování průběhu funkce.

Průběh funkce - Hledání extrémů

Na předchozím obrázku je graf funkce f(y)=x^2. Tato funkce má pouze jeden extrém - minimum této funkce je v bodě A[0; 0]. Extrémy funkce tedy můžeme jak vidíte buď vyčíst z grafu, ale to vždy není nejlepší řešení a proto musíme najít jiný způsob. Musíme se zamyslet, čím se extrémy funkce vyznačují. V těchto bodech funkce mění směr z klesající na rostoucí, nebo obráceně. Aby tato změna mohla proběhnout, musí být někde tečna funkce funkce rovnoběžná s osou x. A právě v tomto bodě, kde je tečna funkce rovnoběžná s osou x budeme hledat minimum nebo maximum funkce.

Průběh funkce - Hledání extrémů

Abychom tedy nalezli extrémy funkce musíme najít body, kde je tečna funkce rovnoběžná s osou x. To uděláme pomocí první derivace dané funkce.

Průběh funkce - Hledání extrémů

Na předchozím obrázku jsme se pokusili najít minimum a maximum funkce f(x)=x(x+1)(x-1)=x^3-x (zelený graf). Na stejném obrázku najdete i graf její první derivace f'(x)=3x^2-1. V těch bodech, kde funkce f' protíná osu x je extrém funkce.

Pozor! Ne všechny body, kde je první derivace protíná osu x najdeme minimum nebo maximum. Podívejte se například na graf funkce f(x)=3x^5-20x^3. Body, které nalezneme pomocí první derivace musíme ještě testovat.

Stacionární body

Bodům, které nalezneme pomocí první derivace říkáme stacionární body. K těmto bodům ještě přidáme body, ve kterých funkce není definovaná. Pokud tuto problematiku zatím nechápete, nezoufejte. Následuje několik příkladů, díky kterým to jistě pochopíte.

Nalezněte stacionární body funkce f(x)=3x^5-20x^3.

Jak už bylo řečeno, musíme nejprve najít první derivaci funkce f.

\begin{array}{rcl}f(x)&=&3x^5-20x^3\\f'(x)&=&15x^4-60x^2\end{array}

Stacionární body jsou tam, kde f' protíná osu x. Musíme tedy spočítat rovnici:

\begin{array}{rcl}15x^4-60x^2&=&0\\15x^2(x^2-4)&=&0\end{array}
15x^2=0\\\fbox{x_1=0}
x^2-4=0\\x=\sqrt{4}\\\fbox{x_2=-2, x_3=2}

Stacionární body tedy jsou x=-2, 0, 2. Pokud by funkce nebyla v nějakém bodě definovaná, tak daný bod přidáme do seznamu našich stacionárních bodů. Nyní musíme zjistit, jestli se na těchto pozicích doopravdy nachází minimum nebo maximum. To uděláme tak, že si načrtneme číselnou osu a dané body na ní vyznačíme.

Průběh funkce - Hledání extrémů

Číselná osa se rozdělila na čtyři intervaly: (-∞ , -2>; (-2, 0>; (0, 2>; (2, ∞). Z těchto intervalů vybereme jedno náhodné číslo a dosadíme ho do zderivované funkce. Podle znaménka získané hodnoty určíme, zda funkce v daném intervalu klesá či stoupá. 

\begin{array}{rcl}f'(x)&=&15x^4-60x^2\\\ \\\ \\f'(-3)&=&15(-3)^4-60(-3)^2\\f'(-3)&=&675\\\ \\\ \\f'(-1)&=&15(-1)^4-60(-1)^2\\f'(-1)&=&-45\\\ \\\ \\f'(1)&=&15(1)^4-60(1)^2\\f'(1)&=&-45\\\ \\\ \\f'(3)&=&15(3)^4-60(3)^2\\f'(3)&=&675\end{array}

Nyní se opět vrátíme k náčrtku číselné osy, který jsme vyrobili před chvílí a do každého intervalu napíšeme buď kladné nebo záporné znaménko – podle toho, jestli jsme v daném intervalu získali kladné nebo záporné číslo.

Průběh funkce - Hledání extrémů

V prvním intervalu funkce stoupá, v dalších dvou klesá a v posledním opět stoupá. Funkce tedy mění směr v bodech -2 a 2. V bodě -2 se nachází maximum funkce a v bodě 2 minumum funkce. Poslední věci, kterou bychom mohli spočítat, je funkční těchto bodů Nejedná se o nic jiného než o dosazení hodnot -2, 2 do původní funkce.

\begin{array}{rcl}f(x)&=&3x^5-20x^3\\f(-2)&=&3(-2)^5-20(-2)x^3\\f(-2)&=&64\\f(2)&=&3(2)^5-20(2)^3\\f(3)&=&-64\end{array}

Tato funkce má maximum v bodě [-2, 64] a minimum v bodě [2, -64].

Průběh funkce - Hledání extrémů
Stacionární body pouze podezříváme z toho, že se na nich nachází extrémy funkce. Musíme tedy testovat!

Najděte minima a maxima funkce f(x)=\frac{x^2}{(x+1)^3}.

Začneme tím, že najdeme první derivaci této funkce:

\begin{array}{rcl}f(x)&=&\frac{x^2}{(x+1)^3}\\f'(x)&=&\frac{(x^2)'\cdot(x+1)^3-x^2\cdot((x+1)^3)'}{(x+1)^6}\\f'(x)&=&\frac{2x\cdot(x+1)^3-x^2\cdot 3(x+1)^2\cdot 1}{(x+1)^6}\\f'(x)&=&\frac{x(x+1)^2\cdot(2(x+1)-3x)}{(x+1)^6}\\f'(x)&=&\frac{x(2-x)}{(x+1)^4}\end{array}

Najdeme stacionární body.

\frac{x(2-x)}{(x+1)^4}=0
\fbox{x=0, 2}

Pozor, zkoumaná funkce není definovaná v bodě x=-1. Proto tento bod musíme přidat do našeho seznamu stacionárních bodů. Nyní zjistíme, zda funkce v daných intervalech klesá nebo vzrůstá.

\begin{array}{rcl}f'(x)&=&\frac{x(2-x)}{(x+1)^4}\\f'(-2)&=&\frac{-2(2-(-2))}{(-2+1)^4}\\f'(-1)&=&\fbox{-8}\\f'(1)&=&\frac{1(2-1)}{(1+1)^4}\\f'(1)&=&\fbox{0.0625}\\f'(3)&=&\frac{3(2-3)}{(3+1)^4}\\f'(3)&=&\fbox{-0.01171875}\\f'(-0.5)&=&\frac{-0.5(2-(-0.5))}{(-0.5+1)^4}\\f'(-0.5)&=&\fbox{-20}\end{array}

Opět si načrtneme číselnou osu se znaménky.

Průběh funkce - Hledání extrémů

Vlastně se nejedná pouze o číselnou osu, ale i o samotný graf. Součástí obrázku jsou znaménka, získaná v předešlém kroku. To co jsme získali výpočtem bez znalosti grafu nakonec souhlasí s grafem.

Znaménka se mění pouze v bodech x=0, 2. Nyní vypočítáme funkční hodnotu v těchto bodech.

f(0)=0\\f(2)=\frac{4}{27}

Další příklad

Najděte minima a maxima funkce f(x)=x^2\cdot\ln x.

První derivace je:

\begin{array}{rcl}f'(x)&=&(x^2)'\cdot\ln x+x^2\cdot(\ln x)\\f'&=&2x\ln x+\frac{x^2}{x}\\f'(x)&=&x(2\ln x+1)\end{array}

Najdeme stacionární body:

\fbox{x=0}

\begin{array}{rcl}2\ln x+1&=&0\\\ln x&=&-\frac{1}{2}\approx 0.60653065\end{array}

Otestujeme, zda původní funkce v daných intervalech stoupá nebo klesá.

f(x)=x^2\cdot\ln x

f(-1)=\emptyset (logaritmus není definovaný v záporných hodnotách)

f(0.5)=0.5^2\cdot\ln 0.5\approx -0.17329

f(2)=2^2\cdot\ln 2\approx 2.7725

Po načrtnutí číselné osy se znaménky dojdeme k následujícímu výsledku:

Průběh funkce - Hledání extrémů

Nyní zbývá najít funkční hodnotu:

f(x)=x^2\cdot\ln x
f(0.60653065)=0.60653065^2\cdot\ln 0.60653065\approx -0.1839397
Pokud jste se zasekli na nějakém problému, můžete vyzkoušet kalkulátor Průběh funkce.

Test

Určete definiční obor funkce y=\frac{1}{\sqrt{2x^2+3x-2}}


Hlavolam

Máme doma šuplík a v něm jsou červené a zelené ponožky (jsme praštěná rodina, z toho si nic nedělejte). Jednou, když jsme měli jít do divadla a já potřeboval dvě ponožky stejné barvy, zrovna vypnuli proud. Nebyl čas na hledání baterky a tak jsem tedy popadl ... několik ponožek, dal je do kapsy a rychle běžel do taxíku, kde jsem si teprve nasadil ty dvě stejnobarevné (mně je jedno, jestli mám do divadla červené nebo zelené, jenom musejí být stejné barvy). A teď otázka pro vás: kolik ponožek nejméně musím vzít ze šuplíku, abych měl určitě alespoň dvě stejné, barvy?

Kopírovat obsah stránek, čí s ním jinak manipulovat bez svolení jeho autora, je zakázáno.

ISSN: 1803-7615 © maths.cz 2008-2024 © content: Matematika pro každého, Jakub Vojáček