Články » SŠ Matematika » Geometrie » Analytická geometrie

Analytická geometrie - Sčítání, odčítání a násobení vektorů

Vydáno dne v kategorii Analytická geometrie; Autor: ; Počet přečtení: 74 852

Sčítání, odčítání a násobení - prostě počty s vektory.


Sčítání vektorů

Ve fyzice jste možná již vektory (přejít na článek Analytická geometrie - Vektory) sčítali. Pokud na jedno těleso působí dvě síly, hodí se určit jejich výslednici. A právě nyní přijde na řadu sčítání vektorů.

Pokud máme dva vektory u a v a chceme určit jejich součet, vektor w. Vektor w je doslova roven součtu vektorů v a u:

w=(u1+v1;u2+v2;u3+v3)

Součet vektorů se dá znázornit i graficky:

Součet vektorů

Máme tři body v rovině: A[1;1], B[3;3], C[4;0]. Dále jsou dány vektory: u=B-A a v=C-A. Určete jejich součet, vektor w.

u=(3-1; 3-1)
u=(2;2)
v=(4-1; 0-1)
v=(3;-1)
w=u+v
w=(2+3; 2+(-1))
w=(5;1)

Toto je trochu složitější příklad. Určete vektor u+v+w.

Vektor

Nejprve si ukážeme grafické řešení a pak si příklad i vypočítáme.

Graficky sečteme vektory w a v. Abychom tyto vektory mohli sečíst, musíme posunout vektor w posunout do stejného počátečního bodu jako má vektor v, tedy do bodu B. Vzniklý vektor pojmenujme w'.

Vektor

Nyní konečně můžeme graficky sečíst vektory w' a v. Vzniknuvší vektor nazvěme z. Nyní stačí, abychom sečetli vektory z a u a získáme výsledek. Než ale budeme moci vektory sečíst, musíme posunout vektor z do počátečního bodu vektoru u, tedy bodu A.

Vektory

Nyní už snad každý vidí, že součtem vektorů z' a u vznikne nulový vektor.

Nyní příklad vyřešíme výpočtem. Vektor w=B-D, v=F-B a u=C-A. Výsledný vektor o bude roven: (B-D)+(F-B)+(C-A). V tomto vzorci můžeme vektor u vyjádřit i jako u=D-F.

o=(B-D)+(F-B)+(D-F)
o=B-D+F-B+D-F
o=0

Nyní nám i výpočtem vyšel nulový vektor.

Opačný vektor

Jestliže máme vektor u, existuje k němu opačný vektor -u. Pro tento vektor platí:

u=(u1;u2;u3)
-u=(-u1;-u2;-u3)

Odčítání vektorů

K odčítání vektorů dojde tehdy, kdy budeme sčítat vektor v a vektor -u. Toto se zapíše jako w=v+(-u) a dalším zjednodušením dostaneme w=v-u.

Odčítání vektorů

Máme vektory (u=3;2) a v=(3;1). Určete vektor w=u-v.

w=u-v
w=(3-3;2-1)
w=(0;1)

Jsou dány vektory u=(1;-3;2) a v=(2;1;1). Určete jejich součet a rozdíl.

u+v=(1+2;-3+1;2+1)
u+v=(3;-2;3)
u-v=(1-2;-3-1;2-1)
u-v=(-1;-4;1)

Násobení vektoru číslem

Další operací, kterou můžeme s vektory dělat je násobení vektoru reálným číslem k. Toto se hodí například, když na těleso působí nějaká síla a my ji chceme 5x zvýšit.

Pro každý vektor u=(5;1;2) a každé číslo k platí:

k*u=(k*u1;k*u2;k*u2)

Ale pozor, když budeme násobit nulová vektor jakýmkoliv číslem, vždy získáme opět nulový vektor. Toto platí i když násobíme nenulový vektor nulou. Vždy bude výsledek nulový vektor.

Nyní máme bod A a B. Tyto body určují nenulový vektor. Vynásobíme-li tento vektor číslem k, mohou nastat dvě varianty:

  1. Jestliže je k < 0: výsledný vektor bude ležet na polopřímce opačné AB.
  2. Jestliže je k > 0: výsledný vektor bude ležet na polopřímce AB.

Vynásobte vektor u=(1;-1) číslem k=-2:

Násobení vektorů
u*k=(1;-1)*(-2)
u*k=(1*-(2);-1*(-2))
u*k=(-2;2)

Vynásobte vektor u=(1;-1) číslem k=1.5:

Vektory
u*k=(1;-1)*1.5
u*k=(1*1.5;-1*1.5)
u*k=(1.5;-1.5)

Vypočítejte souřadnice vektoru 2*(3;-1;1)+2*(1;2;5):

w=2*(3;-1;1)+2*(1;2;5)
w=(6;-2;2)+(2;4;10)
w=(8;2;12)

Lineární kombinace vektorů

Ještě bychom si měli vysvětlit pojem lineární kombinace vektorů.

Vektor a*u+b*v+c*w, kde a,b,c jsou reálná čísla se nazývá lineární kombinace vektorů u,v,w. Lineární kombinaci samozřejmě může tvořit libovolné množství vektorů.

Zjistěte, zda vektor u = (-4;8;-12) je lineární kombinací vektorů a=(2;6;-4), b=(4;2;2).

Aby mohla existovat lineární kombinace vektorů a, b, musí existovat taková reálná čísla x, y, aby platilo:

u=x*a+y*b

Z toho nám vyplynou tři rovnice:


Vypočítat je snad není problém, výsledky jakékoliv kombinace dvou rovnic jsou:

[x;y] = [2;-2]

Dosazením těchto čísel do všech třetí zbývající rovnic dojdeme k výsledku, že vektor u je lineární kombinací vektorů a, b.

Procvičování

Vypočítejte lineární kombinaci 2*u+(-1)*v vektorů u=(1;3), v=(-1;7):




Vypočítejte lineární kombinaci 2*u-(-2)*v vektorů =(-3;-1;5), v=(1;0;-1):

w=2*u-(-2)*v
w=(-6;-2;10)-(-2;0;2)
w=(-4;-2;8)

Určete čísla a, b, tak aby platilo: 3*(1+a;-1)+2*(1;6*b) = (8;3).

3*(1+a;-1)+2*(1;6*b) = (8;3)
(3+3*a;-3)+(2;12*b) = (8;3)
3+3*a+2=8
a=1
-3+12*b = 3
b=0.5

Zjistěte, je-li vektor u=(3;-1;1) lineární kombinací vektorů a=(3;1;0), b=(2;2;-1).

Musí platit: u=x*a+y*b
3=3*x+2*y
-1=x+2*y
1=-1*y

y=-1
3=3*x-2
x=5/3
Dosadíme-li x=5/3 a y=-1 do druhé rovnice, tak se levá strana nerovná pravé.

Výpočtem a následnou kontrolou dojdeme k závěru, že vektor u není lineární kombinací vektorů a, b.


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Najděte definiční obor funkce


Hlavolam

Představte si, že máte kovový zvon jako na obrázku, který je připojen na čerpadlo. Uzávěry na trubkách 1, 2 a 3 jsou zavřené. Hlavní uzávěr je otevřen, zvon je ponořen do vody a čerpadlo je spuštěno. Čerpadlo vytváří ve zvonu podtlak, který dovnitř nasává vodu. Když je zvon plný vody, hlavní uzávěr se uzavře a čerpadlo vypne. Nyní se naráz otevřou uzávěry trubek 1 až 3 a na vás je určit, z které trubky bude voda stříkat nejdál.