Přejít na matematické fórum Připravili jsme pro Vás zbrusu nové fórum a jsme připravení odpovídat na Vaše otázky!


Články » SŠ Matematika » Goniometrie

Sinová a kosinová věta

Vydáno dne v kategorii Goniometrie; Autor: ; Počet přečtení: 176 901

Dvě matematické věty, které popisují závislost úhlů a stran v obecném trojúhelníku.


Sinová věta

V trojúhelníku ABC s úhly α β γ platí:

Důkaz

Tuto větu dokážeme díky našim znalostem o pravoúhlých trojúhelnících. Bod P je pata výšky na stranu c.

Sinová věta
|CP|=|AC|*sin(α)
|CP|=|BC|*sin(β)
|AC|*sin(α) = |BC|*sin(β)
b*sin(α) = a*sin(β)

Díky této větě můžeme zároveň vypočítat poloměr kružnice opsané danému trojúhelníku.

Průměr = 

Do tohoto vztahu můžeme samozřejmě dosadit další dvojice stran a úhlů (b a β, c a γ).

Příklady

Je dáno: β = 60°, γ=100° a a=2.6. Najděte délku strany c. Jelikož je toto článek o sinové větě, je tedy jasné, že k vyřešení tohoto problému musíme použít sinovou větu. Prvním krokem je ale nalezení velikosti úhlu α: 180-(γ+β) = 20°. Nyní dosadíme do vzorce:


Pokud jsou zadány dva úhly a jedna strana, situace je jednoduchá. Pokud jsou ale zadány dvě strany a úhel, který není mezi nimi, nastává malý problém. V tomto případě musíme před výpočtem testovat; buď získáme jeden, nebo dva trojúhelníky. V některých případech dokonce daný trojúhelník neexistuje. Testování probíhá následujícím způsobem:

  • Tupý úhel
    • Pokud je strana protilehlá k danému úhlu větší než druhá strana, existuje jedno řešení.
    • Pokud je strana protilehlá k danému úhlu menší nebo rovná délce druhé strany, není žádné řešení.
  • Ostrý úhel
    • Pokud je strana protilehlá k danému úhlu větší než druhá strana, existuje jedno řešení.
    • Pokud je délka protilehlé strany k danému úhlu menší nebo rovna než druhá strana musíme testovat (předpokládejme, že strana b je přilehlá strana a strana a je strana protilehlá):
      • - jedno řešení
      • - existují dva trojúhelníky
      • - neexistuje žádné řešení

Je dáno: α = 48°, a=12, b=13. Úhel je ostrý a protilehlá strana je menší než strana přilehlá → musíme testovat. , → existují dvě řešení. Začneme tak, že nalezneme úhel β: . Nalezli jsme úhel β1. Pro druhé řešení bude hodnota tohoto úhlu logicky jiná; velikost úhlu β2 je jednoduché: β2=180-β1=126.4. Nyní by stačilo dořešit trojúhelníky, ale to už je jednoduché a proto to zde nebudu rozepisovat.

Kosinová věta

Pro trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ platí následující věta:


Pythagorova věta je odvozena z kosinovy věty. Schválně zkuste ve vzorci c2 = b2 + a2 - 2*a*b*cos(γ) dosadit za γ = 90°. Jelikož cos(90) = 0, můžeme škrtnout -2*a*b*cos(γ) a zbude nám pouze Pythagorova věta c2 = b2 + a2

Je dáno: γ = 100.5°, a=1.2 a b=2.6. Najděte délku strany c:


Je dáno: a=20, b=18 a c=13. Určete velikost úhlu α.



Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Určete asymptotu se směrnicí funkce


Hlavolam

Na kterou stranu jede autobus? (Tato hádanka není vůbec tak hloupá, jak se na první pohled tváří.)
Autobus