Články » SŠ Matematika » Goniometrie

Sinová a kosinová věta

Vydáno dne v kategorii Goniometrie; Autor: ; Počet přečtení: 119 431

Dvě matematické věty, které popisují závislost úhlů a stran v obecném trojúhelníku.


Sinová věta

V trojúhelníku ABC s úhly α β γ platí:

Důkaz

Tuto větu dokážeme díky našim znalostem o pravoúhlých trojúhelnících. Bod P je pata výšky na stranu c.

Sinová věta
|CP|=|AC|*sin(α)
|CP|=|BC|*sin(β)
|AC|*sin(α) = |BC|*sin(β)
b*sin(α) = a*sin(β)

Díky této větě můžeme zároveň vypočítat poloměr kružnice opsané danému trojúhelníku.

Průměr = 

Do tohoto vztahu můžeme samozřejmě dosadit další dvojice stran a úhlů (b a β, c a γ).

Příklady

Je dáno: β = 60°, γ=100° a a=2.6. Najděte délku strany c. Jelikož je toto článek o sinové větě, je tedy jasné, že k vyřešení tohoto problému musíme použít sinovou větu. Prvním krokem je ale nalezení velikosti úhlu α: 180-(γ+β) = 20°. Nyní dosadíme do vzorce:


Pokud jsou zadány dva úhly a jedna strana, situace je jednoduchá. Pokud jsou ale zadány dvě strany a úhel, který není mezi nimi, nastává malý problém. V tomto případě musíme před výpočtem testovat; buď získáme jeden, nebo dva trojúhelníky. V některých případech dokonce daný trojúhelník neexistuje. Testování probíhá následujícím způsobem:

  • Tupý úhel
    • Pokud je strana protilehlá k danému úhlu větší než druhá strana, existuje jedno řešení.
    • Pokud je strana protilehlá k danému úhlu menší nebo rovná délce druhé strany, není žádné řešení.
  • Ostrý úhel
    • Pokud je strana protilehlá k danému úhlu větší než druhá strana, existuje jedno řešení.
    • Pokud je délka protilehlé strany k danému úhlu menší nebo rovna než druhá strana musíme testovat (předpokládejme, že strana b je přilehlá strana a strana a je strana protilehlá):
      • - jedno řešení
      • - existují dva trojúhelníky
      • - neexistuje žádné řešení

Je dáno: α = 48°, a=12, b=13. Úhel je ostrý a protilehlá strana je menší než strana přilehlá → musíme testovat. , → existují dvě řešení. Začneme tak, že nalezneme úhel β: . Nalezli jsme úhel β1. Pro druhé řešení bude hodnota tohoto úhlu logicky jiná; velikost úhlu β2 je jednoduché: β2=180-β1=126.4. Nyní by stačilo dořešit trojúhelníky, ale to už je jednoduché a proto to zde nebudu rozepisovat.

Kosinová věta

Pro trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ platí následující věta:


Pythagorova věta je odvozena z kosinovy věty. Schválně zkuste ve vzorci c2 = b2 + a2 - 2*a*b*cos(γ) dosadit za γ = 90°. Jelikož cos(90) = 0, můžeme škrtnout -2*a*b*cos(γ) a zbude nám pouze Pythagorova věta c2 = b2 + a2

Je dáno: γ = 100.5°, a=1.2 a b=2.6. Najděte délku strany c:


Je dáno: a=20, b=18 a c=13. Určete velikost úhlu α.



Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Zderivujte funkci :


Hlavolam

Zadání je jednoduché: úhelník na obrázku rozdělte na čtyři stejné části.
Úhelník