Přejít na matematické fórum Připravili jsme pro Vás zbrusu nové fórum a jsme připravení odpovídat na Vaše otázky!


Články » SŠ Matematika » Geometrie » Stereometrie

Stereometrie - Příklady

Vydáno dne v kategorii Stereometrie; Autor: ; Počet přečtení: 42 909

V tomto článku si ukážeme řešení několika ne zrovna lehkých příkladů


Barel

Zadání

Do vody hodíme barel, který má menší hustotu než voda, takže je ponořena pouze část barelu. Délka barelu je 1 metr.

Roura

Část nad vodou je vysoká 10 centimetrů. U vodní hladiny má barel šířku 40 cm.

Detail

Vypočtěte objem barelu.

Výpočet

Tento příklad opravdu není tak těžký jak se zdá. My totiž můžeme najít jeden pravoúhlý trojúhelník a pomocí Pythagorovi věty spočítat příklad.

Jedná se o trojúhelník SPQ (popř. SPO). My o tomto trojúhelníku můžeme říci, že délka hrany |PG| je 20 cm. Délka strany |SQ| je poloměr a délka strany |SP| je r-10. Pokud tyto hodnoty dosadíme do Pythagorovi věty, získáme rovnici a jejím spočítáním vyřešíme příklad.

r2 = 202 + (r-10)2
r2 = 400 + r2 - 20r + 100
r2 = 500 + r2 - 20r
20r = 500
r = 25

A je to! Délka poloměru je 25 centimetrů. Nyní, když máme poloměr, můžeme bez problému spočítat průměr dosazením do vzorečku V = π*r2*v.

V = π*r2*v
V = π * 0.252 * 1
V = 0.196 m3

Kužel

Zadání

Vypočtěte poloměr kužele o kterém víte následující věci. Obsah pláště je 50 cm2 a pokud by se plášť rozvinul, tak úhel u vrcholu kruhové výseče bude 120°.

Plášť

Výpočet

Naše úvaha bude založená na vzorečku pro výpočet povrchu kruhové výseče. Ten vzoreček je S=π*r*s. Určit r zatím nemůžeme, ale s bychom mohli zvládnout.

My můžeme kruhovou výseč doplnit na kruh (do 360°se vejdou tři kruhové výseče). Obsah vzniknuvšího kruhu je 3*50, tedy 150 cm2. Pokud určíme poloměr tohoto kruhu, zjistíme zároveň délku strany s:

S=150
S=π*r2
r=√(S/π)
r=6.9

Výborně, získali jsme velikost strany s a tuto nově získanou hodnotu můžeme dosadit do prvního vzorce, tedy Sp=π*r*s:

Sp=π*r*s
r=S/π/s
r=[u]2.3[/u]

A toto je konečně výsledek. Poloměr kužele je 2.3 cm.

Poměr objemů kužele a krychle

Zadání

Mějme krychli a v ní vepsaný kužel. Určete vzájemný poměr těchto dvou těles. Délka hrany krychle je a

Výpočet

Pokud chceme příklad zdárně vypočítat, musíme samozřejmě znát vzorečky pro výpočet objemu kužele a krychle.

  • Krychle - a3
  • Kužel - 1/3*π*r2*v

Ještě musíme trochu upravit vzorec pro výpočet objemu kužele.

r=a/2
v=a
V = 1/3*π*r2*v
V = 1/3*π*(a/2)2*a
V = 1/3*π*a2/4*a
V = 1/12*π*a3

Nyní oba vzorečky můžeme vložit do poměru:

a3 : 1/12*π*a3
1 : 1/12*π

Poměr objemu kužele a krychle je tedy π/12

Podstavná hrana hranolu

Zadání

Vypočtěte délku podstavné hrany pravidelného šestibokého hranolu o výšce 30 cm a objemu 180 cm3.

Výpočet

Objem hranolu spočítáme vzorečkem V = Spl*v. My z tohoto vztahu můžeme určit povrch podstavy:

V = Spl*v
Spl = V/v
Spl = 6

Obsah podstavy je tedy 6 cm2 a tvar podstavy je pravidelný šestiúhelník

Detail

Podstavu tvoří šest stejně velkých rovnostranných trojúhelníku o obsahu 1 cm2.

Detail

Jelikož víme obsah trojúhelníku a jedná se o trojúhelníky rovnostranné, dosadíme hodnoty do vzorce S = (a*va)/2.

v=√(a2-a2/4)
v=√(3*a2/4)
S = (a*√(3*a2/4))/2
(2*S)/a=√(3*a2/4)
(4*S2)/a2 = 3*a2/4
a=4√((16*S2)/3)
a=1.51

Délka podstavné hrany je 1.51 centimetru.

Velikost bazénu

Zadání

Bazén o tvaru kvádru má výšku 2,5m. Objem bazénu je 150 m3. Dále víme, že délky stran dna se liší o 4 metry. Vypočtěte délky stran dna.

Výpočet

Naše úvaha bude vycházet ze vzorečku pro výpočet objemu kvádru, tedy V = a*b*c*.

150 = x * (x+4) * 2.5
150 = 2.5x2 + 10x
0 = 2.5x2 + 10x-150
#Výpočet kvadratické rovnice
x1,x2 = 6,-10

Jelikož délka strany nemůže být záporné číslo, tak už víme, že délka kratší strany je 6 metrů. Délka druhé strany je x+4, tedy 10 metrů. Dno má rozměry 6x10 m


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Určete obsah plochy ohraničené křivkami a .


Hlavolam

Vězeň odsouzený k smrti dostal za vzorné chování (asi hodně chytal myši) na výběr. Bude-li jeho záverečná řeč před popravou pravdivá, bude katem sťat. Bude-li to však lež, bude potupně utopen. Vězeň byl, ale takový fiškus, že se svou závěrečnou řečí osvobodil úplně. Co řekl, že nebylo možné ho ani utopit, ani ho připravit o hlavu?