Barel
Zadání
Do vody hodíme barel, který má menší hustotu než voda, takže je ponořena pouze část barelu. Délka barelu je 1 metr.
Část nad vodou je vysoká 10 centimetrů. U vodní hladiny má barel šířku 40 cm.
Vypočtěte objem barelu.
Výpočet
Tento příklad opravdu není tak těžký jak se zdá. My totiž můžeme najít jeden pravoúhlý trojúhelník a pomocí Pythagorovi věty spočítat příklad.
Jedná se o trojúhelník SPQ (popř. SPO). My o tomto trojúhelníku můžeme říci, že délka hrany |PG| je 20 cm. Délka strany |SQ| je poloměr a délka strany |SP| je r-10. Pokud tyto hodnoty dosadíme do Pythagorovi věty, získáme rovnici a jejím spočítáním vyřešíme příklad.
r2 = 202 + (r-10)2 r2 = 400 + r2 - 20r + 100 r2 = 500 + r2 - 20r 20r = 500 r = 25
A je to! Délka poloměru je 25 centimetrů. Nyní, když máme poloměr, můžeme bez problému spočítat průměr dosazením do vzorečku V = π*r2*v.
V = π*r2*v V = π * 0.252 * 1 V = 0.196 m3
Kužel
Zadání
Vypočtěte poloměr kužele o kterém víte následující věci. Obsah pláště je 50 cm2 a pokud by se plášť rozvinul, tak úhel u vrcholu kruhové výseče bude 120°.
Výpočet
Naše úvaha bude založená na vzorečku pro výpočet povrchu kruhové výseče. Ten vzoreček je S=π*r*s. Určit r zatím nemůžeme, ale s bychom mohli zvládnout.
My můžeme kruhovou výseč doplnit na kruh (do 360°se vejdou tři kruhové výseče). Obsah vzniknuvšího kruhu je 3*50, tedy 150 cm2. Pokud určíme poloměr tohoto kruhu, zjistíme zároveň délku strany s:
S=150 S=π*r2 r=√(S/π) r=6.9
Výborně, získali jsme velikost strany s a tuto nově získanou hodnotu můžeme dosadit do prvního vzorce, tedy Sp=π*r*s:
Sp=π*r*s r=S/π/s r=[u]2.3[/u]
A toto je konečně výsledek. Poloměr kužele je 2.3 cm.
Poměr objemů kužele a krychle
Zadání
Mějme krychli a v ní vepsaný kužel. Určete vzájemný poměr těchto dvou těles. Délka hrany krychle je a
Výpočet
Pokud chceme příklad zdárně vypočítat, musíme samozřejmě znát vzorečky pro výpočet objemu kužele a krychle.
- Krychle - a3
- Kužel - 1/3*π*r2*v
Ještě musíme trochu upravit vzorec pro výpočet objemu kužele.
r=a/2 v=a V = 1/3*π*r2*v V = 1/3*π*(a/2)2*a V = 1/3*π*a2/4*a V = 1/12*π*a3
Nyní oba vzorečky můžeme vložit do poměru:
a3 : 1/12*π*a3 1 : 1/12*π
Poměr objemu kužele a krychle je tedy π/12
Podstavná hrana hranolu
Zadání
Vypočtěte délku podstavné hrany pravidelného šestibokého hranolu o výšce 30 cm a objemu 180 cm3.
Výpočet
Objem hranolu spočítáme vzorečkem V = Spl*v. My z tohoto vztahu můžeme určit povrch podstavy:
V = Spl*v Spl = V/v Spl = 6
Obsah podstavy je tedy 6 cm2 a tvar podstavy je pravidelný šestiúhelník
Podstavu tvoří šest stejně velkých rovnostranných trojúhelníku o obsahu 1 cm2.
Jelikož víme obsah trojúhelníku a jedná se o trojúhelníky rovnostranné, dosadíme hodnoty do vzorce S = (a*va)/2.
v=√(a2-a2/4) v=√(3*a2/4) S = (a*√(3*a2/4))/2 (2*S)/a=√(3*a2/4) (4*S2)/a2 = 3*a2/4 a=4√((16*S2)/3) a=1.51
Délka podstavné hrany je 1.51 centimetru.
Velikost bazénu
Zadání
Bazén o tvaru kvádru má výšku 2,5m. Objem bazénu je 150 m3. Dále víme, že délky stran dna se liší o 4 metry. Vypočtěte délky stran dna.
Výpočet
Naše úvaha bude vycházet ze vzorečku pro výpočet objemu kvádru, tedy V = a*b*c*.
150 = x * (x+4) * 2.5 150 = 2.5x2 + 10x 0 = 2.5x2 + 10x-150 #Výpočet kvadratické rovnice x1,x2 = 6,-10
Jelikož délka strany nemůže být záporné číslo, tak už víme, že délka kratší strany je 6 metrů. Délka druhé strany je x+4, tedy 10 metrů. Dno má rozměry 6x10 m
je rovna: