Články » SŠ Matematika » Geometrie » Stereometrie

Archimedův náhrobek

Vydáno dne v kategorii Stereometrie; Autor: ; Počet přečtení: 14 093

Víte co si podle pověsti nechal Archimédes vytesat na náhrobek?


Na náhrobek si podle pověsti Archimédes vytesal tři tělesa. Do válce je vepsána koule, kouli je opsán kužel. Poměr objemů těchto těles byl jeho odkaz lidstvu. Naším úkolem bude určit poměr těchto těles.

Archimédův náhrobník - nákres

Výpočet

Proměnnou pro poloměr si označíme r.

Objem koule se dá vyjádřit jako: 4/3*π*r3.

Objem válce také nebude těžké spočítat. Obecně se objem válce spočítá jako: π*r2*v, kde v = 2r. Takže vzorec upravíme na konečnou podobu: V=2*π*r3

Vypočítat objem kužele bude nejtěžší. Kužel má jako osový řez rovnostranný trojúhelník, kde výška splývá s těžnicí, třetina těžnice je rovna r koule. Poloměr podstavy vypočteme ze vztahu v rovnostranném trojúhelníku: v=a*(√3/2). Objem se tedy spočítá jako V = 1/3*π*rk2*v. Výška je v tomto případě rovna 3r a poloměr kužele je (3*r)/√3. Doplněním a upravením vzniknuvšího vzorce dostaneme: 3*π*r3.

Výsledek

V1:V2:V2 = 4/3*π*r3:2*π*r3:3*π*r3, z čehož plyne: V1:V2:V2 = 4:6:9.

Na závěr

samozřejmě nejtěžší byl výpočet objemu kužele. Při výpočtu jsme používali málo známý vztah pro výpočet výšky v rovnostranném trojúhelníku. Příklad se ovšem dá vyřešit i jinak. Využijeme toho, že v kuželi se dá najít pravoúhlý trojúhelník o kterém můžeme říci dvě věci: že jeden úhel má 60° a že jedna strana má délku 3r.

Detail

Délka strany rk je podle sinovy věty rovna:

rk = (3*r)/sin(60°)*sin(30°)
rk = (3*r)/(√3/2)*(1/2)
rk = (3*r)/√3

Trochu jiným postupem jsme došli ke stejnému výsledku.


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Určete limitu :


Hlavolam

Dvě města A a B jsou od sebe vzdálena 90km. Z města A do města B vyjede vlak rychlostí 60km/h. V tu samou chvíli vyjede z města B vlak do města A po té samé koleji (na ty nádražáky už vážně není vůbec spolehnutí) stejnou rychlostí. Ve chvíli, kdy se vlaky rozjedou vstříc jisté zkáze, z předního okna (u strojvůdce) vlaku jedoucího z A do B vystartuje moucha cestovatelka rychlostí 100km/h a letí vstříc druhému vlaku. Ve chvíli, kdy k němu doletí, dotkne se nožkou jeho předního skla a letí zpátky. Takto moucha lítá mezi vlaky než jí rozmáčknou na placku. Úkolem je zjistit (samozřejmě z hlavy), kolik kilometrů moucha celkem nalétala.