Přejít na matematické fórum Připravili jsme pro Vás zbrusu nové fórum a jsme připravení odpovídat na Vaše otázky!


Články » SŠ Matematika » Geometrie » Stereometrie

Archimedův náhrobek

Vydáno dne v kategorii Stereometrie; Autor: ; Počet přečtení: 15 587

Víte co si podle pověsti nechal Archimédes vytesat na náhrobek?


Na náhrobek si podle pověsti Archimédes vytesal tři tělesa. Do válce je vepsána koule, kouli je opsán kužel. Poměr objemů těchto těles byl jeho odkaz lidstvu. Naším úkolem bude určit poměr těchto těles.

Archimédův náhrobník - nákres

Výpočet

Proměnnou pro poloměr si označíme r.

Objem koule se dá vyjádřit jako: 4/3*π*r3.

Objem válce také nebude těžké spočítat. Obecně se objem válce spočítá jako: π*r2*v, kde v = 2r. Takže vzorec upravíme na konečnou podobu: V=2*π*r3

Vypočítat objem kužele bude nejtěžší. Kužel má jako osový řez rovnostranný trojúhelník, kde výška splývá s těžnicí, třetina těžnice je rovna r koule. Poloměr podstavy vypočteme ze vztahu v rovnostranném trojúhelníku: v=a*(√3/2). Objem se tedy spočítá jako V = 1/3*π*rk2*v. Výška je v tomto případě rovna 3r a poloměr kužele je (3*r)/√3. Doplněním a upravením vzniknuvšího vzorce dostaneme: 3*π*r3.

Výsledek

V1:V2:V2 = 4/3*π*r3:2*π*r3:3*π*r3, z čehož plyne: V1:V2:V2 = 4:6:9.

Na závěr

samozřejmě nejtěžší byl výpočet objemu kužele. Při výpočtu jsme používali málo známý vztah pro výpočet výšky v rovnostranném trojúhelníku. Příklad se ovšem dá vyřešit i jinak. Využijeme toho, že v kuželi se dá najít pravoúhlý trojúhelník o kterém můžeme říci dvě věci: že jeden úhel má 60° a že jedna strana má délku 3r.

Detail

Délka strany rk je podle sinovy věty rovna:

rk = (3*r)/sin(60°)*sin(30°)
rk = (3*r)/(√3/2)*(1/2)
rk = (3*r)/√3

Trochu jiným postupem jsme došli ke stejnému výsledku.


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Zderivujte funkci :


Hlavolam

Každý den přilétá ve 12:00 na letiště v Ruzyni letadlo se spěšnou zásilkou. Pro zásilku vyráží z Liberce auto a to tak, aby tam bylo přesně v poledne. Tam si jí vyzvedne a jede s ní zpět do Liberce (po tý rozkopaný dálnici už asi tak spěšná nebude ;-) Jednoho dne ale přistálo letadlo dříve a tak z letiště vypravili se zásilkou poslíčka na kole. Jel autu naproti a to 4x pomaleji než samotné auto. Když se za 20 minut setkali, předal zásilku a odjel kdovíkam. Nás ale zajímá, o kolik minut dřív přijelo tentokrát auto do Liberce.