Přejít na matematické fórum Připravili jsme pro Vás zbrusu nové fórum a jsme připravení odpovídat na Vaše otázky!


Články » SŠ Matematika » Geometrie » Stereometrie

Stereometrie - Odchylka dvou rovnin

Vydáno dne v kategorii Stereometrie; Autor: ; Počet přečtení: 59 836

Naučíme se počítat vzájemnou odchylku dvou rovin.


Odchylka dvou rovin je odchylka jejich průsečnic s rovinou, která je k oběma rovinám kolmá. Většinou je právě nejtěžší najít právě onu kolmou rovinu. Zbytek je již počítání se sinovou a kosinovou větou.

Jak jinak si to pořádně vysvětlit než příkladem.

První příklad

Je-li dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV se stranou a=5 cm a v=7 cm určete odchylku boční stěny a podstavy. Jedná se tedy o odchylku roviny ABC a BCS (můžete si vybrat jinou boční stěnu).

Jehlan ABCDV

Jak jsem říkal, najít kolmou stěnu je vždy nejtěžší část úkolu a v tomto případě je tomu také tak.

Jehlan ABCDV

Jedná se o rovinu SPV. Při počítání doporučuji nakreslit si tu jednu rovinu (v našem případ SPV). Je to přehlednější než to kreslit do samotného jehlanu.

Jehlan
|PV|=√(|PS|2+|SV|2)
|PV|=7.43
cos |∠SPV|=|SP|/|PV|=2.5/7.43
|∠SPV|=70.3°

Výsledná odchylka boční stěny a roviny podstavy je 70.3°.

Druhý příklad

Předchozí příklad byl celkem jednoduchý a tento bude ještě jednodušší

Určete odchylku roviny rovin ADP a OPQ v krychli ABCDEFGH. Bod P leží ve středu strany BF, bod O leží ve středu strany AE a bod Q leží ve středu strany CG. Délka strany |AB| je 4 cm.

Krychle

V minulém příkladě jsme museli hledat kolmou rovinu. V tomto příkladě ji nemusíme hledat. Jedná se totiž o rovinu ABF. Do ní se nám krásně promítli dvě průsečnice AP a OP. Určením jejich odchylky určíme odchylku rovin.

Čtverec

My musíme spočítat úhel APO.

|AP|=√(|AB|2+|BP|2)
|AP|=4.47
sin |∠APO|=|AO|/|AP|=2/4.47
|∠APO|=26°34'

Výsledná odchylka je 26°34'.

Třetí příklad

Určete odchylku rovin EBC a APO v krychli ABCDEFGH. Bod P leží ve středu strany EF a bod O leží ve středu strany HG. Délka strany |AB| = 4 cm.

Krychle

Najít kolmou rovinu opět není problém. V tomto případě je to rovina ABF. Těžší bude tentokrát výpočet.

Krychle

Musíme spočítat velikost úhlu ASE (bod S leží na průsečíku AP a BE). My v tomto trojúhelníku známe pouze délku strany AE. Abychom získali výslednou odchylku, musíme spočítat velikosti úhlů AEB a EAP.

|EB|=√(|AE|2+|AB|2)
|EB|=5.65
cos |∠AEB|=4/5.65
[u]|∠AEB|=45°[/u]

|AP|=√(|AE|2+|AP|2)
|AP|=4.47
cos |∠EAP|=4/4.47
[u]|∠EAP|=26.5[/u]

Nyní, když známe dva úhly v trojúhelníku ESA, můžeme lehce dopočítat zbývající úhel.

|∠ESA|=180-∠EAP|-|∠AEB|
|∠ESA|=108°30'

Vyšlo nám 108°30', ale to ještě není výsledek, protože víme, že jako odchylku vždy bereme ten menší ze dvou úhlů, které průsečnice svírají. Správný výsledek tedy bude roven 180-108°30' a to je: 71°30'.

Čtvrtý příklad

Je dán jehlan ABCDV. Bod P leží ve středu strany AV a bod Q leží ve středu strany CV. Bod S leží na průsečíku úhlopříček. Vypočítejte odchylku rovin PDB a DBQ. Délka strany |AB|=6 cm a v=7 cm.

Jehlan

Kolmá rovina je v tomto případě AVC.

Trojúhelník

Nám stačí spočítat velikost úhlu ASP abychom se dopracovali k výsledku. Abychom tento úhel mohli spočítat, musíme nejprve určit délky úseček AP a AS.

|AC|=√(|AB|2+|BC|2)
|AC|=8.48

|AS|=|AC|/2=4.24
|AV|=√(|SV|2+|AS|2)

|AV|=8.2
|AP|=|AV|/2=4.1

A protože trojúhelník APS je rovnoramenný, můžeme spočítat úhel ASP.

a=4.1
p=4.24
s=4.1
cos |∠ASP|=(s2-p2-a2)/(-2*a*p)
|∠ASP|=58°51'

Výsledný úhel je tedy 180-2*58°51', což je 62°15'.

Procvičování

Na závěr jsem si pro vás připravil dva příklady k procvičení.

Určete odchylku vyznačených rovin:

Jehlan

Odchylka rovin je 28°56'

Určete odchylku vyznačených rovin:

Jehlan

Odchylka rovin je 35°16'


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Derivace je rovna:


Hlavolam

Jak to tak bývá, zlý čaroděj uvěznil mudrce. A kdo by to čekal, dal mu šanci se zachránit, pokud splní úkol. Na stole je kulatý tác, kterým lze volně otáčet, a na něm čtyři mince do čtverce. Mudrc má zavázané oči, nic nevidí. Jeho úkolem je otočit mince tak, že bude na všech panna. Nemá to však jednoduché. Otočí jistý počet mincí, pak černokněžník tácem zatočí. Opět otočí nějaké mince a znovu se tácem náhodně otočí. Toto se opakuje, dokud nejsou všechny mince správně. V tu chvíli je hra zlotřilým čarodějem ukončena. Mudrc nepozná podle hmatu pannu od orla. Musí vždy mince nechat na svém místě, ve čtverci. A hlavně - kvůli zlé magii - má strašnou smůlu a pokud bude spoléhat jen na náhodu, tak úkol nikdy nesplní.