Články » SŠ Matematika » Geometrie » Stereometrie

Stereometrie - Pokročilejší techniky řezů

Vydáno dne v kategorii Stereometrie; Autor: ; Počet přečtení: 20 759

Naučíme se kolmý průmět do podstavy.


V některých úlohách si nevystačíme s třemi důsledky. Vyzkoušejte udělat řez krychle ABCDEFGH rovinou XYZ. Bod X leží uprostřed strany AB, bod Y leží uprostřed strany EH a bod Z leží uprostřed strany CG.

Kolmý průmět do postavy; nákres 1

Jak vidíte, na úlohu nelze aplikovat ani jeden ze tří důsledků. Musíme se proto naučit kolmý průmět do podstavy. V zásadě se jedná o to najít rovinu kolmou na podstavu, která prochází body ZY jak ukazuje následující obrázek.

kolmá rovina

Víme, že někde na průsečnici vzniklé roviny a podstavy je bod, kterým prochází rovina řezu. Tento bod můžeme najít průnikem přímky určené body XY podstavy.

průnik

Přímka, která prochází nově vzniklým bodem W a bodem X je průsečnice roviny řezu a podstavy. Na hraně BC vznikl další bod řezu a tím pádem již není tak těžké řez dokončit.

řez

Jestli nechápete, proč jsem tohle udělal tak a tamto tak, nevadí. Já ve svých začátcích jsem také úplně nechápal proč to tak dělám, ale věděl jsem, že to dělám správně. Po čase procvičování vám začnou docházet některé spojitosti a sami pochopíte proč se to dělá právě tak.

Tato technika se nazývá kolmý průmět do podstavy, ale název může balamutit. Stačilo by si krychli otočit jinak a už je podstava úplně jiná strana než v předchozím případě. Z toho plyne, že body mohu promítat do jakékoliv stěny. Ale pozor, pokud bych si body XY z našeho příkladu promítnul do horní stěny (EFGH), příklad bych nevyřešil. Z toho plny, že body mohu promítat pouze do stěny, ve které již je nějaký bod řezu zadám. Takže bych mohl například body XY promítnout do stěny BCF, protože v ní už je bod Z. Stejně tak bych mohl promítnout body XZ do roviny ADR, protože v ní už je bod Y. Doufám, že už jste alespoň trochu pochopili co se vám snažím vysvětlit. Zkusíme si další příklad.

Další řez

Sestrojte řez roviny PQR krychlí ABCDEFGH.

krychle

Takže si promítneme body Q a R do podstavy. Jejich spojením vznikne průsečnice roviny kolmé na podstavu. Dále musíme najít bod, kterým prochází průsečnice roviny řezu a podstavy.

Průmět

Dokončit řez není nic tak složitého.

Řez

Řez jehlanem

Některé jistě napadla otázka, zda se tato metoda dá použít na jehlan. Odpověd je ano. Postup je úplně stejný jak si ukážeme na následujícím příkladu.

Proveďte řez jehlanu ABCDV rovinou PQB.

jehlan1

Body P a Q promítneme do podstavy a vzniklé body spojíme. Bod W vznikne na průsečíku kolmé roviny a přímky spojující body PQ.

jehaln2

Na našem obrázku je červená přímka průsečnice podstavy a roviny řezu. Ale nastal problém. I když jsme vytvořili průsečnici, nevznikl nám žádný další bod řezu. My tento problém ale lehce vyřešíme protáhnutím hrany DC. Na průsečíku protažené hrany a průsečnice vzniká bod R. O tom bodu určitě víme, že leží v rovině řezu a že leží ve stejné rovině jako Q. Proto můžeme body Q a R spojit.

jehlan3

Vzniká nám bod řezu na hraně DV, který můžeme nazvat například T.

jehaln4

A řez je hotov! V dalším článku si tuto metodu ještě procvičíme.


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Zderivujte funkci :


Hlavolam

Představte si, že máte kovový zvon jako na obrázku, který je připojen na čerpadlo. Uzávěry na trubkách 1, 2 a 3 jsou zavřené. Hlavní uzávěr je otevřen, zvon je ponořen do vody a čerpadlo je spuštěno. Čerpadlo vytváří ve zvonu podtlak, který dovnitř nasává vodu. Když je zvon plný vody, hlavní uzávěr se uzavře a čerpadlo vypne. Nyní se naráz otevřou uzávěry trubek 1 až 3 a na vás je určit, z které trubky bude voda stříkat nejdál.