Přejít na matematické fórum Připravili jsme pro Vás zbrusu nové fórum a jsme připravení odpovídat na Vaše otázky!


Články » SŠ Matematika » Geometrie » Planimetrie

Trojúhelník - Řešené příklady

Vydáno dne v kategorii Planimetrie; Autor: ; Počet přečtení: 34 408

Několik příkladů na řešení trojúhelníku.


Úloha 1

Z pozorovatelny 15m vysoké a vzdálené 30m od břehu řeky se jeví šířka řeky v zorném úhlu φ=15°. Vypočítejte šířku řeky.

Úloha 1

Výpočet

Existuje samozřejmě více způsobů jak tento příklad vyřešit. V první řadě si musíte uvědomit, že trojúhelník PAV je pravoúhlý a vy můžete použít Pythagorovu větu pro získání délky strany VA. Potom získáme úhel α, který je roven 180-ρ. Pak již jenom aplikujeme sinovu větu a máme výsledek.

|VA|=√(v2+d2)
|VA|=33.5
α=180-ρ
tan(ρ)=v/d
ρ=26°30'
α=153°30'
β=180-(α+φ)=11°30'
x/(sin(φ))=|VA|/(sin(β)) → x=(|AV|*sin(φ))/(sin(β))
x=43.5

A máme výsledek! Šířka řeky je 43.5m.

Úloha 2

Kosmická loď byla sledována radarovým zařízením ze Země. Při výškovém úhlu (α=20°35') byla naměřena vzdálenost d = 520km. V jaké výšce je loď (poloměr Země je 6378km)?

Úloha 2

Výpočet

Nejprve musíme určit úhel SPK. Jeho velikost je (90+α). Pak pomocí kosinovy věty získáme vzdálenost |SK|, odečteme průměr země a máme výsledek.

|SPK|=90°+α=110°35'
|SK|2=r2+d2-2*r*d*cos(110°35')
|SK|=6579
Vzdálenost = 6579 - 6378 = 201

Loď je 201km nad zemí

Úloha 3

Určete délky všech stran a velikosti všech úhlů trojúhelníku ABC, je-li dáno: a=38cm b=48cm α=37°

Výpočet

U tohoto příkladu snad není ani nutný ani obrázek, protože je relativně jednoduchý. Ale na jednu věc si musíme dát pozor. Vyjdou totiž dvě řešení.

První krok je určitě získání úhlu β pomocí sinovy věty:
sin(β)=(b*sin(α))/a=0.76018739766574517
Nyní, pokud bychom si vzali jednotkovou kružnici, uvidíme že výsledku odpovídají dva úhly: β1 = 49.4 a β2 = 130.5
Teď se příklad rozdělil na dvě samostatné větve. My nejprve spočítáme možnost pro β = 49.4
γ=180-(α+β) = 93.6
c2=a2+b2-2*b*a*cos(γ) = 3977
c=√3977 = 63
Tímto je první část příkladu hotová. Druhou snad již zvládnete spočítat sami. 

Hotovo!


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Vypočtěte


Hlavolam

Dokážete rozdělit čtverec na 13 úplně shodných dílů?