Články » SŠ Matematika » Geometrie » Planimetrie

Trojúhelník - Řešené příklady

Vydáno dne v kategorii Planimetrie; Autor: ; Počet přečtení: 32 601

Několik příkladů na řešení trojúhelníku.


Úloha 1

Z pozorovatelny 15m vysoké a vzdálené 30m od břehu řeky se jeví šířka řeky v zorném úhlu φ=15°. Vypočítejte šířku řeky.

Úloha 1

Výpočet

Existuje samozřejmě více způsobů jak tento příklad vyřešit. V první řadě si musíte uvědomit, že trojúhelník PAV je pravoúhlý a vy můžete použít Pythagorovu větu pro získání délky strany VA. Potom získáme úhel α, který je roven 180-ρ. Pak již jenom aplikujeme sinovu větu a máme výsledek.

|VA|=√(v2+d2)
|VA|=33.5
α=180-ρ
tan(ρ)=v/d
ρ=26°30'
α=153°30'
β=180-(α+φ)=11°30'
x/(sin(φ))=|VA|/(sin(β)) → x=(|AV|*sin(φ))/(sin(β))
x=43.5

A máme výsledek! Šířka řeky je 43.5m.

Úloha 2

Kosmická loď byla sledována radarovým zařízením ze Země. Při výškovém úhlu (α=20°35') byla naměřena vzdálenost d = 520km. V jaké výšce je loď (poloměr Země je 6378km)?

Úloha 2

Výpočet

Nejprve musíme určit úhel SPK. Jeho velikost je (90+α). Pak pomocí kosinovy věty získáme vzdálenost |SK|, odečteme průměr země a máme výsledek.

|SPK|=90°+α=110°35'
|SK|2=r2+d2-2*r*d*cos(110°35')
|SK|=6579
Vzdálenost = 6579 - 6378 = 201

Loď je 201km nad zemí

Úloha 3

Určete délky všech stran a velikosti všech úhlů trojúhelníku ABC, je-li dáno: a=38cm b=48cm α=37°

Výpočet

U tohoto příkladu snad není ani nutný ani obrázek, protože je relativně jednoduchý. Ale na jednu věc si musíme dát pozor. Vyjdou totiž dvě řešení.

První krok je určitě získání úhlu β pomocí sinovy věty:
sin(β)=(b*sin(α))/a=0.76018739766574517
Nyní, pokud bychom si vzali jednotkovou kružnici, uvidíme že výsledku odpovídají dva úhly: β1 = 49.4 a β2 = 130.5
Teď se příklad rozdělil na dvě samostatné větve. My nejprve spočítáme možnost pro β = 49.4
γ=180-(α+β) = 93.6
c2=a2+b2-2*b*a*cos(γ) = 3977
c=√3977 = 63
Tímto je první část příkladu hotová. Druhou snad již zvládnete spočítat sami. 

Hotovo!


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Funkce :


Hlavolam

Cihla váží 1kg a půl cihly. Jak těžká je cihla?