Přejít na matematické fórum Připravili jsme pro Vás zbrusu nové fórum a jsme připravení odpovídat na Vaše otázky!


Články » SŠ Matematika

Využití derivace - Optimalizační úlohy

Vydáno dne v kategorii SŠ Matematika; Autor: ; Počet přečtení: 25 012

Využití derivací při řešeních optimalizačních úloh.


V článku Základy derivace jsme se naučili základy derivování. Dnes si ukážeme příklady, které budeme řešit právě pomocí derivací.

Příklad 1

Rozdělte číslo 30 na dva sčítance tak, aby jejich součin byl maximální.

Sestavíme si dvě rovnice:
x + y = 30
x * y = max

Pokusíme se soustavu rovnic převést na jednu rovnici.





Získali jsme funkce jedné proměnné. My se snažíme najít místo, kde funkce nabývá největší hodnoty, tedy extrém funkce (přejít na článek Průběh funkce - Hledání extrémů). Ten najdeme tak, že najdeme x, pro která je první derivace rovna nule:




Funkce nabývá největší hodnoty, když x = 15. Dokazuje to i následující graf.

Našli jsme hodnotu proměnné x. Zbývá dopočítat hodnotu y: y = 30 - x = 15. Nejvyšší součin budou mít čísla 15 a 15.

Příklad 2

Určete rozměry obdélníku o obvodu o = 20cm měl maximální obsah.

Pro obdélník platí:
obvod = 2a + 2b
20 = 2a + 2b

obsah = a * b
f(a) = a * b

Nejprve musíme funkci x převést na funkci jedné proměnné. Vyjádříme proto z první rovnice b a dosadíme ho.




Najdeme extrém funkce:



Dopočítáme b:


Obdélník bude mít rozměry a = 5 a b = 5.

Příklad 3

Válec má objem V = 27. Najděte jeho výšku a poloměr tak, aby jeho povrch byl co nejmenší.

Pro válec platí:

Z první rovnice si vyjádříme v a dosadíme ho do druhé.



Nyní derivujeme podle r a najdeme extrém.




Spočítali jsme r, zbývá dopočítat v.


Příklad 4

Továrna T je vzdálena 5 kilometrů od silnice vedoucí do města M. Vzdálenost továrny od města je 13 kilometrů. Určete, pod jakým úhlem je třeba vybudovat novou cestu k silnici tak, aby doprava z továrny do města byla nejlevnější, za předpokladu, že náklady materiálu na 1 kilometr jsou po silnici 5 Kč a po nově vybudované cestě 15 Kč.

Funkci vyjadřující cenu přepravy není tak složité sestavit.


Proměnné x a y lze vyjádřit pomocí úhlu α:


Dosadíme do našeho vzorce:

Upravíme výraz do trochu lidštější podoby


Nyní už můžeme začít derivovat:



Najdeme extrém funkce

Úhel α je tedy přibližně roven 70°

Nejnižších nákladů za dopravu dosáhneme tehdy, postavíme-li cestu pod úhlem přibližně 70°.


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Vypočítejte


Hlavolam

Tři cestovatelé a tři jejich sluhové byli na výpravě po Indii. Jedno dne večer se šel ještě jeden z cestovatelů projít ven, když zaslechl, jak se sluhové radí, že své pány přepadnou zabijí a okradou. Jen musí počkat, až se nějakou náhodou cestovatelé rozdělí, aby sluhů na ně bylo víc. Cestovatelé totiž byli dobře ozbrojeni. Když to vyslechl, vrátil se zpět a než aby tropil rozruch, nechal si to pro sebe a dával jen pozor, aby se nikdy nerozdělili. Jenže druhého dne došli k řece, kterou bylo nutné překonat. Do pramice, jenž byla přivázána u břehu se však vešli jen dvě osoby. Jak to jen zařídit, aby ani na chvíli nebyl počet sluhů na kterémkoliv z břehů větší než počet cestovatelů?