Články » SŠ Matematika

Limity funkcí

Vydáno dne v kategorii SŠ Matematika; Autor: ; Počet přečtení: 176 659

Limita je matematická konstrukce vyjadřující, že se funkční hodnota funkce blíž k nějakému číslu. A právě toto číslo označujeme limita.



Předchozí výraz čteme jako Limita funkce f(x) když x se blíží k a.

Definice limity

Tato definice byla vymyšlena v 19. století francouzským matematikem Augustinem Louisem Cauchym a později upravena do nynější podoby Karlem Weierstrassem.

Máme-li výraz , znamená to, že:

Pro každé libovolné ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x z 0 < |x − c| < δ platí |ƒ(x) − L| < ε

Neboli matematicky zapsáno:


Nejjednodušší limity

Mezi nejjednodušší limity by patřila například . Při řešení tohoto příkladu postupujeme tak, že vezmeme číslo, ke kterému se x blíží a dosadíme ho do funkce. Vypadalo by to tedy nějak takto . Tato limita byla hodně lehká, protože funkce byla definována v bodě x=2. Horší to bude v příkladě . Pokud nyní zkusíte dosadit za x = 2 získáte ve jmenovateli nulu, což pochopitelně není možné. Musíme se tedy nějak zbavit členu (x-2), což je v tomto příkladě velmi jednoduché; jednoduše vykrátíme celý výraz: . Nyní už můžeme za x dosadit 2 a dojdeme k výsledku, že když se x blíží ke 2, limita funkce je rovna 3.

Vyřešte příklad . Prvním krokem by měl být pokus dosadit za x číslo dva. Pokud tak ale uděláme, zjistíme, že ve jmenovateli dostaneme nulu a proto se musíme pokusit výraz nějak upravit.


Čitatel i jmenovatel se dají rozložit

Můžeme krátit

Nyní už můžeme bez problému dosadit za x = 2

Vyřešte


Čitatel i jmenovatel se dají rozložit

Ještě více rozložíme čitatel

Nyní můžeme krátit

Můžeme dosadit

Obecný postup řešení limit

Při řešení limit funkcí postupujeme podle následujícího návodu:

  1. Nejprve zkusíme do limity dosadit číslo ke kterému se funkce blíží. Ve většině případů sice dostaneme neurčitý výraz, ale stojí to za zkoušku.
  2. Pokusíme se výraz nějakým způsobem zjednodušit → něco vytknout a poté vykrátit. V příkladě se x blíží k číslu 2. Je tedy jasné, že ve jmenovateli se musíme zbavit členu
  3. Pokud se Vám nepovede nic vykrátit, můžete se pokusit použít l'Hospitalovo pravidlo (ale o tom až později).

Pravidla pro počítání s limitami

Následující pravidla se hodí zejména v případě, že pracujete se složitými limitami.

  1. za předpokladu, že

Limity goniometrických funkcí

I v limitách se občas objeví goniometrická funkce a to často působí studentům problémy.

Je potřeba pamatovat si některé základní limity, pomocí kterých poté můžeme spočítat ty složitější.

Na předchozím obrázku jsou grafy funkcí f(x): y = x a f(x): y = sin(x). Podíváte-li se na jejich funkční hodnoty když x se blíží k nule, vidíte, že jejich funkční hodnoty jsou skoro stejné. Z toho tedy plyne:


Podobným způsobem můžeme zjistit, že platí limita . Pokuste se vyřešit příklad

O několik řádku výše jsme si ukázali vzorec . Ten ale zatím nemůžeme použít. Nejprve musíme limitu rozšířit číslem


Nyní použijeme substituci  a můžeme použit onen vzorec

Určete limitu funkce


Není potřeba nic složitého vymýšlet, čitatel i jmenovatel se dají rozložit

Při počítání limit některých goniometrických funkcí je dobré znát alespoň základní Goniometrické vzorce.


Použijeme vzoreček 

Jmenovatel rozložíme podle vzorečku 

Můžeme krátit

Vyzkoušíme vyřešit ještě jeden příklad:


Použijeme vzoreček 

Použijeme vzoreček 

Nevlastní limity

Doposud jsme počítali limity vlastní, tedy limity, jejichž výsledkem bylo konečné číslo. Funkce má nevlastní limitu tehdy, jestliže se funkční hodnota v daném bodě blíží buď k nekonečnu nebo k mínus nekonečnu. Toto se dobře ukazuje na grafu funkce

Na základě obrázku můžeme určit:

Limity v nevlastních bodech

Limity v nevlastních bodech jsou limity, kde se x blíží buď k nekonečnu nebo k mínus nekonečnu. Příkladem budiž limita . Grafem funkce je parabola otevřená směrem nahoru. Čím větší je x, tím jsou větší hodnoty funkčních hodnot. Platí tedy . Jelikož se limita blíží nekonečnu, jedná se o nevlastní limitu v nevlastním bodě. Podobnou myšlenkovou úvahou dojdeme například k závěru, že je `-\infty`

Samozřejmě existují i vlastní limity v nevlastních bodech. Vypočítejte


Začneme tím, že jak ve jmenovateli tak i v čitateli vytkneme x s nejvyšší mocninou

Použijeme pravidlo 

Úprava první limity je jasná, x se vykrátí a výsledek tedy bude 1. Upravit druhou limitu je trošku větší oříšek. Je potřeba si uvědomit, čemu se rovná . Čím větší číslo budeme za x dosazovat, tím menší výsledek budeme získávat, budeme se blížit nule → . Obecně se dá říci, že platí . Tím pádem můžeme dopočítat předchozí příklad.


Vypočítejte


Vytkneme x s nejvyšší mocninou

Rozdělíme příklad na násobek dvou limit

Vypočítejte


Příklady

Vypočítejte následující limitu: .



Vypočítejte následující limitu: .



Vypočítejte následující limitu: .



Určete limitu funkce .



Určete limitu .




Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Určete intervaly monotonie funkce


Hlavolam

Představte si, že máte kovový zvon jako na obrázku, který je připojen na čerpadlo. Uzávěry na trubkách 1, 2 a 3 jsou zavřené. Hlavní uzávěr je otevřen, zvon je ponořen do vody a čerpadlo je spuštěno. Čerpadlo vytváří ve zvonu podtlak, který dovnitř nasává vodu. Když je zvon plný vody, hlavní uzávěr se uzavře a čerpadlo vypne. Nyní se naráz otevřou uzávěry trubek 1 až 3 a na vás je určit, z které trubky bude voda stříkat nejdál.