Limity funkcí

Předchozí výraz čteme jako Limita funkce f(x) když x se blíží k a.

Definice limity

Tato definice byla vymyšlena v 19. století francouzským matematikem Augustinem Louisem Cauchym a později upravena do nynější podoby Karlem Weierstrassem.

Máme-li výraz , znamená to, že:

Pro každé libovolné ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x z 0 < |x − c| < δ platí |ƒ(x) − L| < ε

Neboli matematicky zapsáno:

Nejjednodušší limity

Mezi nejjednodušší limity by patřila například . Při řešení tohoto příkladu postupujeme tak, že vezmeme číslo, ke kterému se x blíží a dosadíme ho do funkce. Vypadalo by to tedy nějak takto . Tato limita byla hodně lehká, protože funkce byla definována v bodě x=2. Horší to bude v příkladě . Pokud nyní zkusíte dosadit za x = 2 získáte ve jmenovateli nulu, což pochopitelně není možné. Musíme se tedy nějak zbavit členu (x-2), což je v tomto příkladě velmi jednoduché; jednoduše vykrátíme celý výraz: . Nyní už můžeme za x dosadit 2 a dojdeme k výsledku, že když se x blíží ke 2, limita funkce je rovna 3.

Vyřešte příklad . Prvním krokem by měl být pokus dosadit za x číslo dva. Pokud tak ale uděláme, zjistíme, že ve jmenovateli dostaneme nulu a proto se musíme pokusit výraz nějak upravit.

Čitatel i jmenovatel se dají rozložit

Můžeme krátit

Nyní už můžeme bez problému dosadit za x = 2

Vyřešte

Čitatel i jmenovatel se dají rozložit

Ještě více rozložíme čitatel

Nyní můžeme krátit

Můžeme dosadit

Obecný postup řešení limit

Při řešení limit funkcí postupujeme podle následujícího návodu:

1. Nejprve zkusíme do limity dosadit číslo ke kterému se funkce blíží. Ve většině případů sice dostaneme neurčitý výraz, ale stojí to za zkoušku.
2. Pokusíme se výraz nějakým způsobem zjednodušit → něco vytknout a poté vykrátit. V příkladě se x blíží k číslu 2. Je tedy jasné, že ve jmenovateli se musíme zbavit členu →
3. Pokud se Vám nepovede nic vykrátit, můžete se pokusit použít l'Hospitalovo pravidlo (ale o tom až později).

Pravidla pro počítání s limitami

Následující pravidla se hodí zejména v případě, že pracujete se složitými limitami.

1. 
2. 
3. 
4. za předpokladu, že

Limity goniometrických funkcí

I v limitách se občas objeví goniometrická funkce a to často působí studentům problémy.

Je potřeba pamatovat si některé základní limity, pomocí kterých poté můžeme spočítat ty složitější.

Na předchozím obrázku jsou grafy funkcí f(x): y = x a f(x): y = sin(x). Podíváte-li se na jejich funkční hodnoty když x se blíží k nule, vidíte, že jejich funkční hodnoty jsou skoro stejné. Z toho tedy plyne:

Podobným způsobem můžeme zjistit, že platí limita . Pokuste se vyřešit příklad

O několik řádku výše jsme si ukázali vzorec . Ten ale zatím nemůžeme použít. Nejprve musíme limitu rozšířit číslem

Nyní použijeme substituci  a můžeme použit onen vzorec

Určete limitu funkce

Není potřeba nic složitého vymýšlet, čitatel i jmenovatel se dají rozložit

Při počítání limit některých goniometrických funkcí je dobré znát alespoň základní Goniometrické vzorce.

Použijeme vzoreček 

Jmenovatel rozložíme podle vzorečku 

Můžeme krátit

Vyzkoušíme vyřešit ještě jeden příklad:

Použijeme vzoreček 

Použijeme vzoreček 

Nevlastní limity

Doposud jsme počítali limity vlastní, tedy limity, jejichž výsledkem bylo konečné číslo. Funkce má nevlastní limitu tehdy, jestliže se funkční hodnota v daném bodě blíží buď k nekonečnu nebo k mínus nekonečnu. Toto se dobře ukazuje na grafu funkce

Na základě obrázku můžeme určit:

Limity v nevlastních bodech

Limity v nevlastních bodech jsou limity, kde se x blíží buď k nekonečnu nebo k mínus nekonečnu. Příkladem budiž limita . Grafem funkce je parabola otevřená směrem nahoru. Čím větší je x, tím jsou větší hodnoty funkčních hodnot. Platí tedy . Jelikož se limita blíží nekonečnu, jedná se o nevlastní limitu v nevlastním bodě. Podobnou myšlenkovou úvahou dojdeme například k závěru, že je

Samozřejmě existují i vlastní limity v nevlastních bodech. Vypočítejte

Začneme tím, že jak ve jmenovateli tak i v čitateli vytkneme x s nejvyšší mocninou

Použijeme pravidlo 

Úprava první limity je jasná, x se vykrátí a výsledek tedy bude 1. Upravit druhou limitu je trošku větší oříšek. Je potřeba si uvědomit, čemu se rovná . Čím větší číslo budeme za x dosazovat, tím menší výsledek budeme získávat, budeme se blížit nule → . Obecně se dá říci, že platí . Tím pádem můžeme dopočítat předchozí příklad.

Vypočítejte

Vytkneme x s nejvyšší mocninou

Rozdělíme příklad na násobek dvou limit

Vypočítejte

Příklady

Vypočítejte následující limitu: .

Vypočítejte následující limitu: .

Vypočítejte následující limitu: .

Určete limitu funkce .

Určete limitu .