Články » SŠ Matematika

Rovnice s komplexními čísly

Vydáno dne v kategorii SŠ Matematika; Autor: ; Počet přečtení: 44 013

Vyřešíme binomické rovnice s komplexními čísly a kvadratické rovnice.


Několik rovnic s komplexními čísly jsme již spočítali v článku Algebraický tvar komplexního čísla. Zde se zaměříme na složitější typy rovnic jako je binomická rovnice nebo kvadratická rovnice s komplexními koeficienty. Přesto ale spočítáme i několik lehčích příkladů.

Vyřešte rovnici . Tuto rovnici budeme řešit jako každou jinou kvadratickou rovnici - přes diskriminant


Diskriminant je záporný → rovnice nemá řešení v množině reálných čísel. Ale to je přesně to, co potřebujeme, protože tento článek se zabývá řešením rovnic s komplexními čísly.



Získali jsme dva výsledky. Všimněte si, že výsledky jsou vlastně komplexní čísla sdružená.

Nově nabyté znalosti vyzkoušíme na dalším příkladu. Jedním kořenem rovnice je číslo . Najděte kvadratickou rovnici s reálnými koeficienty které odpovídá tento kořen.

V předchozím příkladě jsme si řekli, že výsledky jsou vlastně komplexně sdružená čísla. Jestliže tedy známe jeden kořen, snadno získáme i ten druhý.


Jedním z možných předpisů kvadratické rovnice je i . Dosazením kořenů do tohoto vzorce získáme předpis rovnice.


Předpis dané rovnice je

Binomická rovnice


Na obou stranách rovnice je komplexní číslo v goniometrickém tvaru. A ta se rovnají tehdy, rovnají-li se velikosti a argumenty komplexních čísel (argumenty se mohou lišit o libovolný násobek ). Vzniknou tedy dvě rovnice:




Vždy tedy získáme více výsledků (pokud n ≠ 1). Počet výsledků je vždy roven exponentu n. Za proměnnou k tedy dosazujeme čísla 0, 1, 2...n-1. Platí tedy:


Všechny výsledky budou v Gaussově rovině ve stejné vzdálenosti od počátku - budou ležet na kružnici se středem v bodě a poloměrem . Pokud výsledné body spojíme, dostaneme pravidelný n-úhelník. Pokud bude exponent n roven třem, bude se jednat o rovnostranný trojúhelník, pokud čtyřem, bude se jednat o čtverec atd.

Vypočítejte rovnici . Jedná se o binomickou rovnici. A protože předpis binomické rovnice je , musíme naši rovnici přepsat do tvaru . Nyní musíme vyjádřit číslo -27 v goniometrickém tvaru:


Dalším krokem je dosazením do vzorečku:





Získali jsme tři výsledky. Pokud bychom je vyznačili do Gaussovy roviny, získáme následující obrázek

Vyřešte rovnici . Nejprve musíme naši rovnici převést do tvaru, ze kterého lze binomickou rovnici spočítat (xn-a=0). Rovnice tedy bude vypadat .


Jedná se o rovnici čtvrtého stupně → získáme čtyři různé kořeny. A získáme je dosazením do již známého vzorce:



A opět, kdybychom výsledky zanesli do Gaussovy roviny, získáme pravidelný čtyřúhelník - čtverec.

Kvadratická rovnice s komplexními koeficienty

V reálných číslech má kvadratická rovnice (přejít na článek Kvadratická rovnice) předpis , kde a, b, c jsou z množiny reálných čísel. Pro kvadratickou rovnici s komplexními koeficienty je to obdobné. Předpis je stejný, akorát a, b, c budou z množiny komplexních čísel, nikoliv z množiny reálných čísel. Následuje odvození vzorce:


Vznikla binomická rovnice

Získali jsme hodnoty . Nyní dosadíme zpět do substituce:


Obecný vzorec pro kvadratickou rovnici s komplexními koeficienty tedy je:


Vyřešte rovnici

Kvadratická rovnice má předpis . V tomto případě odpovídá koeficientům následující hodnoty:


Obecný vzorec pro výpočet kvadratické rovnice s komplexními koeficienty je , kde . Můžeme tedy přistoupit k dosazení do vzorce a vypočítání rovnice:


Převedeme D do goniometrického tvaru





Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Vypočítejte limitu funkce


Hlavolam

Představte si, že máte kovový zvon jako na obrázku, který je připojen na čerpadlo. Uzávěry na trubkách 1, 2 a 3 jsou zavřené. Hlavní uzávěr je otevřen, zvon je ponořen do vody a čerpadlo je spuštěno. Čerpadlo vytváří ve zvonu podtlak, který dovnitř nasává vodu. Když je zvon plný vody, hlavní uzávěr se uzavře a čerpadlo vypne. Nyní se naráz otevřou uzávěry trubek 1 až 3 a na vás je určit, z které trubky bude voda stříkat nejdál.