Články » SŠ Matematika

Rovnice s komplexními čísly

Vydáno dne v kategorii SŠ Matematika; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 55 497

Vyřešíme binomické rovnice s komplexními čísly a kvadratické rovnice.


Několik rovnic s komplexními čísly jsme již spočítali v článku Algebraický tvar komplexního čísla. Zde se zaměříme na složitější typy rovnic jako je binomická rovnice nebo kvadratická rovnice s komplexními koeficienty. Přesto ale spočítáme i několik lehčích příkladů.

Vyřešte rovnici 4x^2-8x+5=0. Tuto rovnici budeme řešit jako každou jinou kvadratickou rovnici - přes diskriminant

D=b^2-4ac=64-4*4*5=-16

Diskriminant je záporný → rovnice nemá řešení v množině reálných čísel. Ale to je přesně to, co potřebujeme, protože tento článek se zabývá řešením rovnic s komplexními čísly. 

D=-16=16i^2\\\sqrt{D}=4i
x_1/x_2=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{8\pm4i}{8}=\left\{1+\frac{1}{2}i;\ 1-\frac{1}{2}i\right\}

Získali jsme dva výsledky. Všimněte si, že výsledky jsou vlastně komplexní čísla sdružená.

Nově nabyté znalosti vyzkoušíme na dalším příkladu. Jedním kořenem rovnice je číslo 3-6i. Najděte kvadratickou rovnici s reálnými koeficienty které odpovídá tento kořen.

V předchozím příkladě jsme si řekli, že výsledky jsou vlastně komplexně sdružená čísla. Jestliže tedy známe jeden kořen, snadno získáme i ten druhý.

x_1=3-6i\\x_2=3+6i

Jedním z možných předpisů kvadratické rovnice je i (x-x_1)(x-x_2)=0. Dosazením kořenů do tohoto vzorce získáme předpis rovnice. 

\begin{array}{rcl}(x-x_1)(x-x_2)&=&0\\(x-(3-6i))(x-(3+6i))&=&0\\(x-3+6i)(x-3-6i)&=&0\\x^2-3x-6ix-3x+9+18i+6ix-18i-36i^2&=&0\\x^2-6x+45&=&0\end{array}

Předpis dané rovnice je x^2-6x+45=0

Binomická rovnice

\begin{array}{rcl}x^n-a&=&0,\ \ n\ \in\ \mathbb{N}\backslash\{1\},\ x\ \in\ \mathbb{C},\ a\ \in\ \mathbb{C}\\x^n&=&a\\\left(|x|(\cos\varphi+i\cdot\sin\varphi)\right)^n&=&|a|(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)\\|x|^n(\cos n\varphi+i\cdot\sin n\varphi)&=&|a|(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)\end{array}

Na obou stranách rovnice je komplexní číslo v goniometrickém tvaru. A ta se rovnají tehdy, rovnají-li se velikosti a argumenty komplexních čísel (argumenty se mohou lišit o libovolný násobek 2\pi). Vzniknou tedy dvě rovnice: 

\begin{array}{rcl}|x|^n&=&a\\n\varphi&=&\alpha+2k\pi,\ k\ \in\ \mathbb{Z}\\\\\|x|&=&\sqrt[n]{|a|}\\\varphi&=&\frac{\alpha+2k\pi}{n}\end{array}

x=\sqrt[n]{|a|}\left(\cos\frac{\alpha+2k\pi}{n}+i\cdot\sin\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right),k\in\ \mathbb{Z}

Vždy tedy získáme více výsledků (pokud n ≠ 1). Počet výsledků je vždy roven exponentu n. Za proměnnou k tedy dosazujeme čísla 0, 1, 2...n-1. Platí tedy:

x=\sqrt[n]{|a|}\left(\cos\frac{\alpha+2k\pi}{n}+i\cdot\sin\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right),\ k=0,1,2,\ldots n-1

Všechny výsledky budou v Gaussově rovině ve stejné vzdálenosti od počátku - budou ležet na kružnici se středem v bodě [0;\ 0] a poloměrem \sqrt[n]{|a|}. Pokud výsledné body spojíme, dostaneme pravidelný n-úhelník. Pokud bude exponent n roven třem, bude se jednat o rovnostranný trojúhelník, pokud čtyřem, bude se jednat o čtverec atd.

Vypočítejte rovnici x^3+27=0. Jedná se o binomickou rovnici. A protože předpis binomické rovnice je x^n-a, musíme naši rovnici přepsat do tvaru x^3-(-27)=0. Nyní musíme vyjádřit číslo -27 v goniometrickém tvaru:

-27 = |27|(\cos\pi+i\cdot\sin\pi)

Dalším krokem je dosazením do vzorečku:

x=\sqrt[n]{|a|}\left(\cos\frac{\alpha+2k\pi}{n}+i\cdot\sin\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right),\ k=0,1,2,\ldots n-1
x=\sqrt[3]{|27|}\left(\cos\frac{\pi+2k\pi}{3}+i\cdot\sin\frac{\pi+2k\pi}{3}\right),\ k=0,1,2
\sqrt[3]{|27|}=3
x_0=3\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\cdot\sin\frac{\pi}{3}\right)\\x_1=3\left(\cos\pi+i\cdot
\sin\pi\right)\\x_2=3\left(\cos\frac{5\pi}{3}+i\cdot\sin\frac{5\pi}{3}\right)

Získali jsme tři výsledky. Pokud bychom je vyznačili do Gaussovy roviny, získáme následující obrázek

Rovnice s komplexními čísly

Vyřešte rovnici x^4=-\frac{1}{2}-i\frac{1}{2}\sqrt{3}. Nejprve musíme naši rovnici převést do tvaru, ze kterého lze binomickou rovnici spočítat (xn-a=0). Rovnice tedy bude vypadat x^4-(-\frac{1}{2}-i\frac{1}{2}\sqrt{3}). 

a=-\frac{1}{2}-i\frac{1}{2}\sqrt{3}\\|a|=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}3}=1\\a=|a|(\cos\varphi+i\cdot\sin\varphi)\\a=1(\cos\frac{4}{3}\pi+i\cdot\sin\frac{4}{3}\pi)

Jedná se o rovnici čtvrtého stupně → získáme čtyři různé kořeny. A získáme je dosazením do již známého vzorce:

x=\sqrt[4]{1}\left(\cos\frac{\frac{4}{3}\pi+2k\pi}{4}+i\cdot\sin\frac{\frac{4}{3}\pi+2k\pi}{4}\right),\ k=0,1,2,3
x_0=1(\cos\frac{1}{3}\pi+i\cdot\sin\frac{1}{3}\pi)\\x_1=1(\cos\frac{5}{6}\pi+i\cdot\sin\frac{5}{6}\pi)\\x_2=1(\cos\frac{4}{3}\pi+i\cdot\sin\frac{4}{3}\pi)\\x_3=1(\cos\frac{11}{6}\pi+i\cdot\sin\frac{11}{6}\pi)

A opět, kdybychom výsledky zanesli do Gaussovy roviny, získáme pravidelný čtyřúhelník - čtverec.

Rovnice s komplexními čísly

Kvadratická rovnice s komplexními koeficienty

V reálných číslech má kvadratická rovnice (přejít na článek Kvadratická rovnice) předpis ax^2+bx+c=0, kde a, b, c jsou z množiny reálných čísel. Pro kvadratickou rovnici s komplexními koeficienty je to obdobné. Předpis je stejný, akorát a, b, c budou z množiny komplexních čísel, nikoliv z množiny reálných čísel. Následuje odvození vzorce:

\begin{array}{rcl}ax^2+bx+c&=&0\\4a^2x^2+4abx+4ac&=&0\\(2ax)^2+4abx+b^2-b^2+4ac&=&0\\\underbrace{(2ax+b)^2}_{y^2}-\underbrace{(b^2-4ac)}_{D}&=&0\\y^2-D&=&0\end{array}
Vznikla binomická rovnice
y=\sqrt[2]{|D|}\left(\cos\frac{\alpha+2k\pi}{2}+i\cdot\sin\frac{\alpha+2k\pi}{2}\right),\ k = \{0,\ 1\}\\y_0=\sqrt[2]{|D|}\left(\cos\frac{\alpha}{2}+i\cdot\sin\frac{\alpha}{2}\right)\\y_1=\sqrt[2]{|D|}\left(\cos\frac{\alpha}{2}+\frac{2\pi}{2}+i\cdot\sin\frac{\alpha}{2}+\frac{2\pi}{2}\right)\\y_1=\sqrt[2]{|D|}\left(-\cos\frac{\alpha}{2}-i\cdot\sin\frac{\alpha}{2}\right)\\y_1=-\sqrt[2]{|D|}\left(\cos\frac{\alpha}{2}i\cdot\sin\frac{\alpha}{2}\right)
Získali jsme hodnoty y_1,\ y_2. Nyní dosadíme zpět do substituce:
y=2ax+b
x_1=\frac{-b+\sqrt{|D|}\left(\cos\frac{\alpha}{2}+i\cdot\sin\frac{\alpha}{2}\right)}{2a}\\x_2=\frac{-b-\sqrt{|D|}\left(\cos\frac{\alpha}{2}+i\cdot\sin\frac{\alpha}{2}\right)}{2a}

Obecný vzorec pro kvadratickou rovnici s komplexními koeficienty tedy je:

x=\frac{-b\pm\sqrt{|D|}\left(\cos\frac{\alpha}{2}+i\cdot\sin\frac{\alpha}{2}\right)}{2a}

Vyřešte rovnici x^2+x(5i-3)-4-8i=0

Kvadratická rovnice má předpis ax^2+bx+c=0. V tomto případě odpovídá koeficientům následující hodnoty:

a=1\\b=5i-3\\c=-4-8i

Obecný vzorec pro výpočet kvadratické rovnice s komplexními koeficienty je x=\frac{-b\pm\sqrt{|D|}\left(\cos\frac{\alpha}{2}+i\cdot\sin\frac{\alpha}{2}\right)}{2a}, kde D=b^2-4ac. Můžeme tedy přistoupit k dosazení do vzorce a vypočítání rovnice:

D=b^2-4ac=(5i-3)^2-4\cdot1\cdot(-4-8i)=(-16-30i)+16+32i=2i
Převedeme D do goniometrického tvaru
D=|D|(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)=2(\cos\frac{1}{2}\pi+i\cdot\sin\frac{1}{2}\pi)
x=\frac{-b\pm\sqrt{|D|}\left(\cos\frac{\alpha}{2}+i\cdot\sin\frac{\alpha}{2}\right)}{2a}
x=\frac{-(5i-3)\pm\sqrt{2}(\cos\frac{1}{4}\pi+i\cdot\sin\frac{1}{4}\pi)}{2}=\frac{-5i+3\pm(1+i)}{2}
\fbox{x_1=2-2i\\x_2=-1-3i}

Test

Vypočítejte první derivaci funkce f(x)=x\mathrm{e}^x-x^2\ln{x}+\frac{x^2}{2}


Hlavolam

Na každém stole jsou 4 židle. Kolik židlí je potřeba, pokud máte 15 stolů?

Kopírovat obsah stránek, čí s ním jinak manipulovat bez svolení jeho autora, je zakázáno.

ISSN: 1803-7615 © maths.cz 2008-2024 © content: Matematika pro každého, Jakub Vojáček