Články » SŠ Matematika

Rovnice s komplexními čísly

Vydáno dne v kategorii SŠ Matematika; Autor: ; Počet přečtení: 44 510

Vyřešíme binomické rovnice s komplexními čísly a kvadratické rovnice.


Několik rovnic s komplexními čísly jsme již spočítali v článku Algebraický tvar komplexního čísla. Zde se zaměříme na složitější typy rovnic jako je binomická rovnice nebo kvadratická rovnice s komplexními koeficienty. Přesto ale spočítáme i několik lehčích příkladů.

Vyřešte rovnici . Tuto rovnici budeme řešit jako každou jinou kvadratickou rovnici - přes diskriminant


Diskriminant je záporný → rovnice nemá řešení v množině reálných čísel. Ale to je přesně to, co potřebujeme, protože tento článek se zabývá řešením rovnic s komplexními čísly.



Získali jsme dva výsledky. Všimněte si, že výsledky jsou vlastně komplexní čísla sdružená.

Nově nabyté znalosti vyzkoušíme na dalším příkladu. Jedním kořenem rovnice je číslo . Najděte kvadratickou rovnici s reálnými koeficienty které odpovídá tento kořen.

V předchozím příkladě jsme si řekli, že výsledky jsou vlastně komplexně sdružená čísla. Jestliže tedy známe jeden kořen, snadno získáme i ten druhý.


Jedním z možných předpisů kvadratické rovnice je i . Dosazením kořenů do tohoto vzorce získáme předpis rovnice.


Předpis dané rovnice je

Binomická rovnice


Na obou stranách rovnice je komplexní číslo v goniometrickém tvaru. A ta se rovnají tehdy, rovnají-li se velikosti a argumenty komplexních čísel (argumenty se mohou lišit o libovolný násobek ). Vzniknou tedy dvě rovnice:




Vždy tedy získáme více výsledků (pokud n ≠ 1). Počet výsledků je vždy roven exponentu n. Za proměnnou k tedy dosazujeme čísla 0, 1, 2...n-1. Platí tedy:


Všechny výsledky budou v Gaussově rovině ve stejné vzdálenosti od počátku - budou ležet na kružnici se středem v bodě a poloměrem . Pokud výsledné body spojíme, dostaneme pravidelný n-úhelník. Pokud bude exponent n roven třem, bude se jednat o rovnostranný trojúhelník, pokud čtyřem, bude se jednat o čtverec atd.

Vypočítejte rovnici . Jedná se o binomickou rovnici. A protože předpis binomické rovnice je , musíme naši rovnici přepsat do tvaru . Nyní musíme vyjádřit číslo -27 v goniometrickém tvaru:


Dalším krokem je dosazením do vzorečku:





Získali jsme tři výsledky. Pokud bychom je vyznačili do Gaussovy roviny, získáme následující obrázek

Vyřešte rovnici . Nejprve musíme naši rovnici převést do tvaru, ze kterého lze binomickou rovnici spočítat (xn-a=0). Rovnice tedy bude vypadat .


Jedná se o rovnici čtvrtého stupně → získáme čtyři různé kořeny. A získáme je dosazením do již známého vzorce:



A opět, kdybychom výsledky zanesli do Gaussovy roviny, získáme pravidelný čtyřúhelník - čtverec.

Kvadratická rovnice s komplexními koeficienty

V reálných číslech má kvadratická rovnice (přejít na článek Kvadratická rovnice) předpis , kde a, b, c jsou z množiny reálných čísel. Pro kvadratickou rovnici s komplexními koeficienty je to obdobné. Předpis je stejný, akorát a, b, c budou z množiny komplexních čísel, nikoliv z množiny reálných čísel. Následuje odvození vzorce:


Vznikla binomická rovnice

Získali jsme hodnoty . Nyní dosadíme zpět do substituce:


Obecný vzorec pro kvadratickou rovnici s komplexními koeficienty tedy je:


Vyřešte rovnici

Kvadratická rovnice má předpis . V tomto případě odpovídá koeficientům následující hodnoty:


Obecný vzorec pro výpočet kvadratické rovnice s komplexními koeficienty je , kde . Můžeme tedy přistoupit k dosazení do vzorce a vypočítání rovnice:


Převedeme D do goniometrického tvaru





Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Vypočítejte druhou derivaci funkce


Hlavolam

Zkuste zjistit, jak pokračuje tato posloupná řada: J, D, T, Č, P, Š, S, ... PS: je to tak trošku chyták, s prostou logikou tady asi nevystačíte. Ale má to řešení a to docela vtipně jednoduché. Opravdu.