Několik rovnic s komplexními čísly jsme již spočítali v článku Algebraický tvar komplexního čísla. Zde se zaměříme na složitější typy rovnic jako je binomická rovnice nebo kvadratická rovnice s komplexními koeficienty. Přesto ale spočítáme i několik lehčích příkladů.
Vyřešte rovnici 
. Tuto rovnici budeme řešit jako každou jinou kvadratickou rovnici - přes diskriminant
Diskriminant je záporný → rovnice nemá řešení v množině reálných čísel. Ale to je přesně to, co potřebujeme, protože tento článek se zabývá řešením rovnic s komplexními čísly.
Získali jsme dva výsledky. Všimněte si, že výsledky jsou vlastně komplexní čísla sdružená.
Nově nabyté znalosti vyzkoušíme na dalším příkladu. Jedním kořenem rovnice je číslo 
. Najděte kvadratickou rovnici s reálnými koeficienty které odpovídá tento kořen.
V předchozím příkladě jsme si řekli, že výsledky jsou vlastně komplexně sdružená čísla. Jestliže tedy známe jeden kořen, snadno získáme i ten druhý.
Jedním z možných předpisů kvadratické rovnice je i 
. Dosazením kořenů do tohoto vzorce získáme předpis rovnice.
Předpis dané rovnice je 
Binomická rovnice
Na obou stranách rovnice je komplexní číslo v goniometrickém tvaru. A ta se rovnají tehdy, rovnají-li se velikosti a argumenty komplexních čísel (argumenty se mohou lišit o libovolný násobek 
). Vzniknou tedy dvě rovnice:
Vždy tedy získáme více výsledků (pokud n ≠ 1). Počet výsledků je vždy roven exponentu n. Za proměnnou k tedy dosazujeme čísla 0, 1, 2...n-1. Platí tedy:
Všechny výsledky budou v Gaussově rovině ve stejné vzdálenosti od počátku - budou ležet na kružnici se středem v bodě 
a poloměrem 
. Pokud výsledné body spojíme, dostaneme pravidelný n-úhelník. Pokud bude exponent n roven třem, bude se jednat o rovnostranný trojúhelník, pokud čtyřem, bude se jednat o čtverec atd.
Vypočítejte rovnici 
. Jedná se o binomickou rovnici. A protože předpis binomické rovnice je 
, musíme naši rovnici přepsat do tvaru 
. Nyní musíme vyjádřit číslo -27 v goniometrickém tvaru:
Dalším krokem je dosazením do vzorečku:
Získali jsme tři výsledky. Pokud bychom je vyznačili do Gaussovy roviny, získáme následující obrázek
Vyřešte rovnici 
. Nejprve musíme naši rovnici převést do tvaru, ze kterého lze binomickou rovnici spočítat (xn-a=0). Rovnice tedy bude vypadat 
.
Jedná se o rovnici čtvrtého stupně → získáme čtyři různé kořeny. A získáme je dosazením do již známého vzorce:
A opět, kdybychom výsledky zanesli do Gaussovy roviny, získáme pravidelný čtyřúhelník - čtverec.
Kvadratická rovnice s komplexními koeficienty
V reálných číslech má kvadratická rovnice (přejít na článek Kvadratická rovnice) předpis 
, kde a, b, c jsou z množiny reálných čísel. Pro kvadratickou rovnici s komplexními koeficienty je to obdobné. Předpis je stejný, akorát a, b, c budou z množiny komplexních čísel, nikoliv z množiny reálných čísel. Následuje odvození vzorce:
Vznikla binomická rovnice
Získali jsme hodnoty
. Nyní dosadíme zpět do substituce:
Obecný vzorec pro kvadratickou rovnici s komplexními koeficienty tedy je:
Vyřešte rovnici 
Kvadratická rovnice má předpis . V tomto případě odpovídá koeficientům následující hodnoty:
Obecný vzorec pro výpočet kvadratické rovnice s komplexními koeficienty je 
, kde 
. Můžeme tedy přistoupit k dosazení do vzorce a vypočítání rovnice:
Převedeme D do goniometrického tvaru
: