Články » SŠ Matematika

Goniometrický tvar komplexního čísla

Vydáno dne v kategorii SŠ Matematika; Autor: ; Počet přečtení: 56 176

Naučíme se komplexní čísla vyjádřit v goniometrickém tvaru a na závěr si vysvětlíme Moivreovu větu.


V článku Algebraický tvar komplexního čísla jsme si vysvětlili, co to komplexní číslo vlastně je a jeho zápis v algebraickém tvaru. Tento článek se zabývá jiným způsobem zápisu komplexního čísla nazývaném- goniometrický tvar komplexního čísla.

Zakreslíme-li komplexní číslo do Gaussovy roviny, můžeme jeho polohu určit pomocí dvou souřadnic - souřadnice na ose x a ose y. Další způsob, jakým by šlo polohu daného komplexního čísla určit, je, podobně jako v polárním systému souřadnic, pomocí vzdálenosti komplexního čísla od počátku a úhlu, který svírá kladná poloosa x se spojnicí komplexního čísla a počátku. Obecný vzorec pro zápis čísla v goniometrickém tvaru by tedy byl:

¨

, kde je absolutní hodnota komplexního čísla a se nazývá argument.

Dvě komplexní čísla se rovnají pouze tehdy, rovnají-li se jejich absolutní hodnoty a jejich argumenty se liší o .

Rovněž platí, že jakákoliv komplexní jednotka se dá zapsat jako , protože

Převádění na goniometrický tvar z algebraického

Pokud bychom chtěli převést číslo z algebraického tvaru do goniometrického, stačí si nakreslit obrázek a z něho se to dá lehce určit.

Číslo na předchozím obrázku by se pomocí algebraické tvaru zapsalo jako . Pokud bychom chtěli použít goniometrický tvar, museli bychom nejprve spočítat vzdálenost daného čísla od počátku. A ta je rovna absolutní hodnotě daného komplexního čísla. Další věc, co bychom museli spočítat je úhel α, který svírá kladná poloosa x se spojnicí počátku a daného komplexního čísla. V některých případech, jako je tento, není třeba nic počítat. Z obrázku je jasně vidět, že se jedná o úhel . Bohužel v jiných případech budeme muset použít následující vzorečku:





1) Převeďte číslo do goniometrického tvaru.

Použijeme postup. který jsem popsal o několik řádku výše:




Abychom nyní našli velikost úhlu mohli bychom použít kalkulačku. Ale většina příkladů je zadána tak, aby kalkulačka nebyla vůbec potřeba, protože některé hodnoty jednotkové kružnice (přejít na článek Jednotková kružnice) je třeba si pamatovat.

Kosinus odpovídá úhlům . Sinus odpovídá úhlům . Průnikem těchto dvou množin je úhel .

Komplexní číslo z se tedy zapíše jako

2) V goniometrickém tvaru zapište číslo .

Tento příklad není tak lehký, jako ten předchozí. Je třeba si uvědomit, že komplexní číslo v algebraickém tvaru má předpis . Reálná část komplexního čísla se skládá ze dvou výrazů, ale to není problém. Prostě použijeme stejný vzoreček jako v předchozím příkladě.







Platí tedy

3) Vyzkoušíme si ještě opačný postup - převeďte číslo do algebraického tvaru.

Nejedná se o nic těžkého - pouze vyjádříme hodnoty kosinu a sinu a závorku roznásobíme:


Násobení komplexních čísel v goniometrickém tvaru

Násobení čísel v algebraickém tvaru nebyl žádný oříšek, zato násobení čísel v goniometrickém tvaru je o trochu těžší úkol. Zvolíme si dvě čísla v goniometrickém tvaru:



Druhou závorku můžeme roznásobit

Nyní použijeme dva goniometrické vzorce



Odvodili jsme si tedy vzoreček pro násobení dvou komplexních čísel.

4) Vynásobte čísla a .




Dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru

Podobně jako pro násobení si odvodíme vzoreček pro dělení dvou komplexních čísel v goniometrickém tvaru:



Celý zlomek vynásobíme 

Použijeme goniometrické vzorce



5) Vydělte čísla a .

Nejprve musíme číslo vyjádřit v goniometrickém tvaru: . Nyní stačí aplikovat vzorec, který jsme si odvodili o odstavec výše.


Je dobré si zapamatovat vzoreček

Moivreova věta

Už umíme komplexní čísla násobit, nyní by se hodilo je umět umocňovat. A umocňování je vlastně násobení n-krát toho samého čísla, kde n je exponent.



Tohoto vzorce lze použít k umocňování komplexních čísel v goniometrickém tvaru na libovolný přirozený exponent. Pokud umocňujete komplexní číslo v algebraickém tvaru na nějaký vyšší exponent, je obvykle jednoduší převést dané číslo do goniometrického tvaru a teprve pak ho umocnit.

Dosadíme-li do předchozího vzorce , dostaneme větu, kterou v 18 století vyslovil francouzský matematika Moivre: .

6) Vypočítejte

Použijeme vzorec, který jsme si odvodili před chvílí.



Obvykle zapisujeme argument v intervalu 

Procvičování

7) Vypočítejte

Nejprve se musíme zbavit zlomku

Abychom mohli použít Moivreovu větu, musíme číslo převést do goniometrického tvaru

A nyní konečně můžeme umocňovat


8) V goniometrickém tvaru zapište číslo

Závorky můžeme roznásobit a první člen lze převést na číslo v algebraickém tvaru:



Počítáme tedy dál


Zápis tohoto čísla v goniometrickém tvaru by pro vás měla být již triviální záležitost a tak uvedu pouze výsledek: . Pokud narazíte na nějaké nesrovnalosti, nebo budete mít nějaké otázky, nebojte se a ptejte se v komentářích.


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Určete definiční obor funkce


Hlavolam

Máme doma šuplík a v něm jsou červené a zelené ponožky (jsme praštěná rodina, z toho si nic nedělejte). Jednou, když jsme měli jít do divadla a já potřeboval dvě ponožky stejné barvy, zrovna vypnuli proud. Nebyl čas na hledání baterky a tak jsem tedy popadl ... několik ponožek, dal je do kapsy a rychle běžel do taxíku, kde jsem si teprve nasadil ty dvě stejnobarevné (mně je jedno, jestli mám do divadla červené nebo zelené, jenom musejí být stejné barvy). A teď otázka pro vás: kolik ponožek nejméně musím vzít ze šuplíku, abych měl určitě alespoň dvě stejné, barvy?