Goniometrický tvar komplexního čísla

Vydáno dne 22. 11. 2009 v kategorii SŠ Matematika; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 84 334

Naučíme se komplexní čísla vyjádřit v goniometrickém tvaru a na závěr si vysvětlíme Moivreovu větu.

V článku Algebraický tvar komplexního čísla jsme si vysvětlili, co to komplexní číslo vlastně je a jeho zápis v algebraickém tvaru. Tento článek se zabývá jiným způsobem zápisu komplexního čísla nazývaném- goniometrický tvar komplexního čísla.

Zakreslíme-li komplexní číslo do Gaussovy roviny, můžeme jeho polohu určit pomocí dvou souřadnic - souřadnice na ose x a ose y. Další způsob, jakým by šlo polohu daného komplexního čísla určit, je, podobně jako v polárním systému souřadnic, pomocí vzdálenosti komplexního čísla od počátku a úhlu, který svírá kladná poloosa x se spojnicí komplexního čísla a počátku. Obecný vzorec pro zápis čísla v goniometrickém tvaru by tedy byl:

$z=r(\cos\varphi+i\cdot\sin\varphi)$

, kde je absolutní hodnota komplexního čísla a $\varphi$ se nazývá argument.

Dvě komplexní čísla se rovnají pouze tehdy, rovnají-li se jejich absolutní hodnoty a jejich argumenty se liší o $2k\pi,\ \ k\in\mathbb{Z}$ .

Rovněž platí, že jakákoliv komplexní jednotka se dá zapsat jako $z=\cos\varphi+i\cdot\sin\varphi$ , protože $|z|=\sqrt{\cos^2\varphi+i\cdot\sin^2\varphi}=\sqrt{1}=1$

Převádění na goniometrický tvar z algebraického

Pokud bychom chtěli převést číslo z algebraického tvaru do goniometrického, stačí si nakreslit obrázek a z něho se to dá lehce určit.

Číslo na předchozím obrázku by se pomocí algebraické tvaru zapsalo jako 1+1i . Pokud bychom chtěli použít goniometrický tvar, museli bychom nejprve spočítat vzdálenost daného čísla od počátku. A ta je rovna absolutní hodnotě daného komplexního čísla. Další věc, co bychom museli spočítat je úhel α, který svírá kladná poloosa x se spojnicí počátku a daného komplexního čísla. V některých případech, jako je tento, není třeba nic počítat. Z obrázku je jasně vidět, že se jedná o úhel $\frac{1}{4}\pi$ . Bohužel v jiných případech budeme muset použít následující vzorečku:

1) Převeďte číslo $z=1-i\sqrt{3}$ do goniometrického tvaru.

Použijeme postup. který jsem popsal o několik řádku výše:

Abychom nyní našli velikost úhlu $\varphi$ mohli bychom použít kalkulačku. Ale většina příkladů je zadána tak, aby kalkulačka nebyla vůbec potřeba, protože některé hodnoty jednotkové kružnice (přejít na článek Jednotková kružnice) je třeba si pamatovat.

Kosinus $\frac{1}{2}$ odpovídá úhlům $\frac{1}{3}\pi,\ \frac{5}{3}\pi$ . Sinus $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ odpovídá úhlům $\frac{4}{3}\pi,\ \frac{5}{3}\pi$ . Průnikem těchto dvou množin je úhel $\varphi=\frac{5}{3}\pi$ .

Komplexní číslo z se tedy zapíše jako $z=2(\cos\frac{5}{3}\pi+i\cdot\sin\frac{5}{3}\pi)$

2) V goniometrickém tvaru zapište číslo $z=1+\cos\frac{1}{3}\pi+i\cdot\sin\frac{1}{3}\pi$ .

Tento příklad není tak lehký, jako ten předchozí. Je třeba si uvědomit, že komplexní číslo v algebraickém tvaru má předpis $z=a+b\cdot i=(1+\cos\frac{1}{3}\pi)+i\cdot\sin\frac{1}{3}\pi$ . Reálná část komplexního čísla se skládá ze dvou výrazů, ale to není problém. Prostě použijeme stejný vzoreček jako v předchozím příkladě.

Platí tedy $1+\cos\frac{1}{3}\pi+i\cdot\sin\frac{1}{3}\pi=\sqrt{3}\left(\cos\frac{1}{6}\pi+i\cdot\sin\frac{1}{6}\pi\right)$

3) Vyzkoušíme si ještě opačný postup - převeďte číslo $z=3\sqrt{2}\left(\cos\frac{3}{4}\pi+i\cdot\sin\frac{3}{4}\pi\right)$ do algebraického tvaru.

Nejedná se o nic těžkého - pouze vyjádříme hodnoty kosinu a sinu a závorku roznásobíme:

Násobení komplexních čísel v goniometrickém tvaru

Násobení čísel v algebraickém tvaru nebyl žádný oříšek, zato násobení čísel v goniometrickém tvaru je o trochu těžší úkol. Zvolíme si dvě čísla v goniometrickém tvaru:



Druhou závorku můžeme roznásobit

Nyní použijeme dva goniometrické vzorce

Odvodili jsme si tedy vzoreček pro násobení dvou komplexních čísel.

4) Vynásobte čísla $z_1=\sqrt{2}(\cos\frac{1}{4}\pi+i\cdot\sin\frac{1}{4}\pi)$ a $z_2=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\frac{3}{4}\pi+i\cdot\sin\frac{3}{4}\pi)$ .

Dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru

Podobně jako pro násobení si odvodíme vzoreček pro dělení dvou komplexních čísel v goniometrickém tvaru:



Celý zlomek vynásobíme 

Použijeme goniometrické vzorce

5) Vydělte čísla z_1=1 a $\cos\frac{1}{2}\pi+i\cdot\sin\frac{1}{2}\pi$ .

Nejprve musíme číslo z_1 vyjádřit v goniometrickém tvaru: $1=\cos0+i\cdot\sin0$ . Nyní stačí aplikovat vzorec, který jsme si odvodili o odstavec výše.

Je dobré si zapamatovat vzoreček $\frac{1}{\cos\varphi+i\cdot\sin\varphi}=\cos(-\varphi)+i\cdot\sin(-\varphi)$

Moivreova věta

Už umíme komplexní čísla násobit, nyní by se hodilo je umět umocňovat. A umocňování je vlastně násobení n-krát toho samého čísla, kde n je exponent.

Tohoto vzorce lze použít k umocňování komplexních čísel v goniometrickém tvaru na libovolný přirozený exponent. Pokud umocňujete komplexní číslo v algebraickém tvaru na nějaký vyšší exponent, je obvykle jednoduší převést dané číslo do goniometrického tvaru a teprve pak ho umocnit.

Dosadíme-li do předchozího vzorce r=1 , dostaneme větu, kterou v 18 století vyslovil francouzský matematika Moivre: $(\cos\varphi+i\cdot\sin\varphi)^n=\cos(n\varphi)+i\cdot\sin(n\varphi)$ .

6) Vypočítejte $z=\left(\cos\frac{1}{4}\pi+i\cdot\sin\frac{1}{4}\pi\right)^{50}$

Použijeme vzorec, který jsme si odvodili před chvílí.



Obvykle zapisujeme argument v intervalu

Procvičování

7) Vypočítejte $z=\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{-25}$

Nejprve se musíme zbavit zlomku

Abychom mohli použít Moivreovu větu, musíme číslo převést do goniometrického tvaru

A nyní konečně můžeme umocňovat

8) V goniometrickém tvaru zapište číslo $z=2i\sin\frac{1}{4}\pi(\cos\frac{7}{3}\pi+i\cdot\sin\frac{7}{3}\pi)(\cos(-\frac{2}{3}\pi)+i\cdot\sin(-\frac{2}{3}\pi))$

Závorky můžeme roznásobit a první člen lze převést na číslo v algebraickém tvaru:



Počítáme tedy dál

Zápis tohoto čísla v goniometrickém tvaru by pro vás měla být již triviální záležitost a tak uvedu pouze výsledek: $z=\frac{\sqrt{6}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}(\cos\frac{1}{6}\pi+i\cdot\sin\frac{1}{6}\pi)$ . Pokud narazíte na nějaké nesrovnalosti, nebo budete mít nějaké otázky, nebojte se a ptejte se v komentářích.