Články » SŠ Matematika » Rovnice

Exponenciální a logaritmické rovnice

Vydáno dne v kategorii Rovnice; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 101 173

Návod na řešení exponenciálních a logaritmických rovnic.


V tomto článku se vás pokusím naučit ty nejzákladnější metody na řešení exponenciálních a logaritmických rovnic. Začneme těmi exponenciálními.

Exponenciální rovnice je rovnice, kde neznámá je v exponentu - může tedy vypadat následovně: 4^x=16. Určit neznámou v tomto případě by se mělo podařit všem z hlavy - x=2, ale jsou rovnice kde toto nejde, například \left(\frac{1}{5}\right)^{x+1}=125.

Existuje několik způsobů, jakými lze řešit exponenciální rovnice. Ten první je získat na obou stranách stejný základ:

2^2=4^x
Na levé straně je základ 2 a na levé straně je základ 4. 
2^2=2^{2^x} \rightarrow 2^2=2^{2x}
Jakmile se základy rovnají, můžeme je škrtnout a řešit rovnici danou exponenty
\cancel{2}^2=\cancel{2}^{2x}\\2=2x\\x=1

Ono převádění na společný základ je ve většině případů pouze práce s exponenty a je tedy třeba si uvědomit například číslo \sqrt{343} se dá zapsat jako 7^{\frac{3}{2}}. Tyto pravidla si můžete zopakovat v článku Exponenty/Mocniny.

Vyřešte rovnici 25^{2x-5}=125^{x+2}.

Čísla 25 a 125 mají jeden společný základ → 5. Upravíme tedy obě strany tak, aby základ byl 5:

\large\begin{array}{rcl}25^{2x-5}&=&125^{x+2}\\5^{4x-10}&=&5^{3x+6}\\4x-10&=&3x+6\\x&=&16\end{array}

Vyřešte rovnici \left(\frac{1}{64}\right)^x=2^{3x+5}.

Společný základ je 2
\large\begin{array}{rcl}\left(\frac{1}{64}\right)^x&=&2^{3x+5}\\2^{-6x}&=&2^{3x+5}\\-6x&=&3x+5\\x&=&-\frac{5}{9}\end{array}

Vyřešte rovnici e^{x^2+6}=e^{5x}.

Tato rovnice je daleko lehčí, než by se na první pohled mohlo zdát. Jelikož má pravá i levá strana stejný základ, tak my můžeme tento základ jednoduše škrtnout a poté již se jedná o lehkou kvadratickou rovnici.

\begin{array}{rcl}e^{x^2+6}&=&e^{5x}\\x^2+6&=&5x\\\sqrt{D}&=&\sqrt{b^2-4ac}=1\\x_1/x_2&=&(3;2)\end{array}

Jak vidíte, tyto rovnice nejsou vůbec složité. Většinou se jedná pouze o úpravu základu. Ale problém by mohl nastat, když dostanete za úkol spočítat rovnici 3^x+5=10. V takovémto případě vám asi nezbývá nic jiného než použít logaritmy. Nejprve ale musíme převést rovnici do tvaru 3^x=5. Nyní tuto rovnici přepíšeme z její exponenciální podoby do její logaritmické podoby: 

a^b=x se dá zapsat jako \log _ax=b, a proto předchozí rovnici můžeme řešit následovně:
3^x=5\\\log _35=x 
Nyní sáhneme po kalkulačce a spočítáme levou stranu:
x=1.46

Obdobné bude i řešení rovnice e^x+5=60.

\begin{array}{rcl}e^x+5&=&60\\e^x&=&55\\\ln 55&=&x\\x&=&4.00733\end{array}

Logaritmické rovnice

Pokud v rovnici bude logaritmus, existuje několik způsobů, které budete muset použít k tomu, abyste danou rovnici vyřešili. Jeden možný způsob je převést logaritmický tvar na exponenciální. Tímto způsobem se dá například vyřešit rovnici \log _x125=3.

O několik řádků výše jsem napsal vzoreček a^b=x se rovná \log _ax=b. Tohoto využijeme při řešení této rovnice.

\log _x125=3\\x^3=125\\x=5

Podobně budeme postupovat při řešení rovnice 5+2\ln x=4:

\begin{array}{rcl}5+2\ln x&=&4\\2\ln x&=&-1\\\ln x&=&-\frac{1}{2}\\e^{-0.5}&=&x\\x&=&0.606\end{array}

Vyřešte rovnici \log (5x)+\log (x-1)=2.

Tuto rovnici nemůžeme převést na exponenciální tvar. Musíme tedy najít jiný způsob řešení. A tím je použitá logaritmických vzorců.

\begin{array}{rcl}\log (5x)+\log (x-1)&=&2\\\log (5x(x-1))&=&2\\\log (5x^2-5x)&=&2\end{array}
Po této úpravě už můžeme rovnici převést na její exponenciální tvar.
\begin{array}{rcl}\log (5x^2-5x)&=&2\\10^2&=&5x^2-5x\\x^2-x-20&=&0\\D&=&b^2-4ac=1+80=81\\x_1/x_2&=&\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=(5, -4)\end{array}

Nalezením výsledku ještě ale sranda nekončí. Schválně zkuste do kalkulačky naťukat \log -4. Žádný výsledek nezískáte, protože x může být pouze větší nule. Výsledek této rovnice je tedy pouze x=5.

Vyřešte rovnici 4^{2x-1}=5^{x+2}. Tuto rovnici nelze převést na její logaritmický tvar a ani nemůžeme aplikovat žádný z logaritmických vzorců. Pokud taková situace nastane, můžete udělat pouze jednu věc - zlogaritmovat celou rovnici.

\log(4^{2x-1})=\log(5^{x+2})
Nyní můžeme použit logaritmický vzorec
\begin{array}{rcl}\log(4^{2x-1})&=&\log(5^{x+2})\\(2x-1)\log 4&=&(x+2)\log 5\\2x-1&=&(x+2)\frac{\log 5}{\log 4}\\2x-1&=&(x+2)\cdot1.1609640474\\2x-1&=&1.1609640474x+2.3219280948\\0.8390359526x&=&3.3219280948\\x&=&3.95922020326\end{array}

Vyřešte rovnici e^x=8+20e^{-x}. Na tuto rovnici nemůžeme aplikovat žádný z předchozích řešení. Nicméně stačí, když použijeme jednoduchou substituci a příklad vyřešíme:

\begin{array}{rcl}e^x&=&8+20e^{-x}\\a&=&e^x\\a&=&8+\frac{20}{a}\\a^2-8a-20&=&0\\D&=&b^2-4ac=144\\a_1/a_2&=&\frac{8\pm12}{2}=(10, -2)\end{array}
Výsledek dosadíme zpět:
\begin{array}{rcl}10&=&e^x\\\ln 10&=&x\\x&=&2.302585\end{array}
\begin{array}{rcl}-2&=&e^x\\\ln (-2)&=&x\\x&=&\emptyset\end{array}
Jediné řešení je x=10

Vyřešte rovnici \sqrt[5]{x^{\log _3x}}=243.

V tomto případě budeme muset několik různých způsobů, jak řešit tento druh rovnic - substituce, logaritmické vzorce, apod...

\begin{array}{rcl}\sqrt[5]{x^{\log _3x}}&=&243\\\log _3x^{\log _3\frac{1}{5}}&=&\log _3 243\\\frac{1}{5}\log _3x\cdot\log _3x&=&\log _3 243\\a&=&\log _3x\\\frac{1}{5}a^2&=&5\\a^2&=&25\\a&=&\pm5\end{array}
Dosadíme zpět
\begin{array}{rcl}\log _3x&=&5\\x&=&3^5\end{array}\\\fbox{x=3^5}

\begin{array}{rcl}\log _3x&=&-5\\x&=&3^{-5}\end{array}\\\fbox{x=3^{-5}}

Soustavy rovnic

Existují samozřejmě i logaritmické/exponenciální soustavy n-rovnic o n-neznámých. Zkuste najít hodnotu neznámých x, y.

\begin{array}{rcl}\log x+\log y&=&3\\y^{\log x}&=&100\end{array}

Začneme tím, že z první rovnice vyjádříme neznámou y.

\begin{array}{rcl}\log x+\log y&=&3\\\log (xy)&=&3\\10^3&=&xy\\y&=&\frac{10^3}{x}\end{array}
Dosadíme do druhé rovnice:
\begin{array}{rcl}y&=&\frac{10^3}{x}\\\left(\log \frac{10^3}{x}\right)^{\log x}&=&100\\\log \frac{10^3}{x}\cdot\log x&=&\log 100\\(\log 10^3-\log x)\cdot\log x&=&\log 100\\(3-\log x)\cdot\log x&=&2\end{array}
Musíme přistoupit k substituci:
\begin{array}{rcl}(3-\log x)\cdot\log x&=&2\\a&=&\log x\\(3-a)\cdot a&=&2\\D&=&b^2-4ac=1\\a_1/a_2&=&\frac{3\pm1}{2}=(2; 1)\end{array}
Dosadíme zpět a dopočítáme y
\begin{array}{rcl}a&=&2\\2&=&\log x\\x&=&10^2\\x&=&100\\y&=&\frac{10^3}{x}=10\end{array}\\\fbox{(x;y)=(100, 10)}
\begin{array}{rcl}a&=&1\\2&=&\log x\\x&=&10^1\\x&=&10\\y&=&\frac{10^3}{x}=100\end{array}\\\fbox{(x;y)=(10, 100)}

Procvičování

1) Vyřešte rovnici (4\sqrt{2})^{5-7x}=(2\sqrt[3]{4})^{3-5x}

Jde o to, získat stejné základy na obou stranách. Platí totiž: 

4=2^2\\\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}\\\sqrt[3]{4}=2^{\frac{2}{3}}

Proto rovnici můžu upravit na tvar:

(2^2\cdot2^{\frac{1}{2}})^{5-7x}=(2\cdot2^{\frac{2}{3}})^{3-5x}
Když násobíme čísla se stejným základem, tak se exponenty sčítají:
{2^{\frac{5}{2}}}^{5-7x}={2^{\frac{5}{3}}}^{3-5x}
A nyní akorát stačí exponenty mez sebou vynásobit, protože platí {a^{m}}^n=a^{mn}
2^{\frac{5}{2}(5-7x)}=2^{\frac{5}{3}(3-5x)}
Základy jsou stejné, můžu tedy řešit rovnici, kdy se rovnají jejich exponenty: 
\begin{array}{rcl}\frac{5}{2}(5-7x)&=&\frac{5}{3}(3-5x)\\x&=&\frac{9}{11}\end{array}

Test

Vypočítejte první derivaci funkce f(x)=x\mathrm{e}^x-x^2\ln{x}+\frac{x^2}{2}


Hlavolam

Kolečko o průměru 10 cm se otáčí po dráze, která má délku 2 metry. Kolik otáček kolečko udělá, když urazí celou dráhu?

Kopírovat obsah stránek, čí s ním jinak manipulovat bez svolení jeho autora, je zakázáno.

ISSN: 1803-7615 © maths.cz 2008-2024 © content: Matematika pro každého, Jakub Vojáček