Články » SŠ Matematika » Rovnice

Exponenciální a logaritmické rovnice

Vydáno dne v kategorii Rovnice; Autor: ; Počet přečtení: 91 481

Návod na řešení exponenciálních a logaritmických rovnic.


V tomto článku se vás pokusím naučit ty nejzákladnější metody na řešení exponenciálních a logaritmických rovnic. Začneme těmi exponenciálními.

Exponenciální rovnice je rovnice, kde neznámá je v exponentu - může tedy vypadat následovně: . Určit neznámou v tomto případě by se mělo podařit všem z hlavy - x=2, ale jsou rovnice kde toto nejde, například .

Existuje několik způsobů, jakými lze řešit exponenciální rovnice. Ten první je získat na obou stranách stejný základ:


Na levé straně je základ 2 a na levé straně je základ 4. 

Jakmile se základy rovnají, můžeme je škrtnout a řešit rovnici danou exponenty

Ono převádění na společný základ je ve většině případů pouze práce s exponenty a je tedy třeba si uvědomit například číslo se dá zapsat jako . Tyto pravidla si můžete zopakovat v článku Exponenty/Mocniny.

Vyřešte rovnici .

Čísla 25 a 125 mají jeden společný základ → 5. Upravíme tedy obě strany tak, aby základ byl 5:


Vyřešte rovnici .

Společný základ je 2

Vyřešte rovnici .

Tato rovnice je daleko lehčí, než by se na první pohled mohlo zdát. Jelikož má pravá i levá strana stejný základ, tak my můžeme tento základ jednoduše škrtnout a poté již se jedná o lehkou kvadratickou rovnici.


Jak vidíte, tyto rovnice nejsou vůbec složité. Většinou se jedná pouze o úpravu základu. Ale problém by mohl nastat, když dostanete za úkol spočítat rovnici . V takovémto případě vám asi nezbývá nic jiného než použít logaritmy. Nejprve ale musíme převést rovnici do tvaru . Nyní tuto rovnici přepíšeme z její exponenciální podoby do její logaritmické podoby:

 se dá zapsat jako , a proto předchozí rovnici můžeme řešit následovně:
 
Nyní sáhneme po kalkulačce a spočítáme levou stranu:

Obdobné bude i řešení rovnice .


Logaritmické rovnice

Pokud v rovnici bude logaritmus, existuje několik způsobů, které budete muset použít k tomu, abyste danou rovnici vyřešili. Jeden možný způsob je převést logaritmický tvar na exponenciální. Tímto způsobem se dá například vyřešit rovnici .

O několik řádků výše jsem napsal vzoreček se rovná . Tohoto využijeme při řešení této rovnice.


Podobně budeme postupovat při řešení rovnice :


Vyřešte rovnici .

Tuto rovnici nemůžeme převést na exponenciální tvar. Musíme tedy najít jiný způsob řešení. A tím je použitá logaritmických vzorců.


Po této úpravě už můžeme rovnici převést na její exponenciální tvar.

Nalezením výsledku ještě ale sranda nekončí. Schválně zkuste do kalkulačky naťukat . Žádný výsledek nezískáte, protože x může být pouze větší nule. Výsledek této rovnice je tedy pouze x=5.

Vyřešte rovnici . Tuto rovnici nelze převést na její logaritmický tvar a ani nemůžeme aplikovat žádný z logaritmických vzorců. Pokud taková situace nastane, můžete udělat pouze jednu věc - zlogaritmovat celou rovnici.


Nyní můžeme použit logaritmický vzorec

Vyřešte rovnici . Na tuto rovnici nemůžeme aplikovat žádný z předchozích řešení. Nicméně stačí, když použijeme jednoduchou substituci a příklad vyřešíme:


Výsledek dosadíme zpět:


Jediné řešení je x=10

Vyřešte rovnici .

V tomto případě budeme muset několik různých způsobů, jak řešit tento druh rovnic - substituce, logaritmické vzorce, apod...


Dosadíme zpět



Soustavy rovnic

Existují samozřejmě i logaritmické/exponenciální soustavy n-rovnic o n-neznámých. Zkuste najít hodnotu neznámých x, y.


Začneme tím, že z první rovnice vyjádříme neznámou y.


Dosadíme do druhé rovnice:

Musíme přistoupit k substituci:

Dosadíme zpět a dopočítáme y


Procvičování

1) Vyřešte rovnici

Jde o to, získat stejné základy na obou stranách. Platí totiž:


Proto rovnici můžu upravit na tvar:


Když násobíme čísla se stejným základem, tak se exponenty sčítají:

A nyní akorát stačí exponenty mez sebou vynásobit, protože platí 

Základy jsou stejné, můžu tedy řešit rovnici, kdy se rovnají jejich exponenty: 

Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Napište rovnici tečny funkce v bodě


Hlavolam

Tři cestovatelé a tři jejich sluhové byli na výpravě po Indii. Jedno dne večer se šel ještě jeden z cestovatelů projít ven, když zaslechl, jak se sluhové radí, že své pány přepadnou zabijí a okradou. Jen musí počkat, až se nějakou náhodou cestovatelé rozdělí, aby sluhů na ně bylo víc. Cestovatelé totiž byli dobře ozbrojeni. Když to vyslechl, vrátil se zpět a než aby tropil rozruch, nechal si to pro sebe a dával jen pozor, aby se nikdy nerozdělili. Jenže druhého dne došli k řece, kterou bylo nutné překonat. Do pramice, jenž byla přivázána u břehu se však vešli jen dvě osoby. Jak to jen zařídit, aby ani na chvíli nebyl počet sluhů na kterémkoliv z břehů větší než počet cestovatelů?