Rovnice s odmocninou

Na tomto portále již vyšlo několik článku zabývajících se problematikou rovnic (přejít na Rovnice). Tento článek se bude zabývat rovnicemi s neznámou pod odmocninou, neboli iracionálními rovnicemi.

Začneme lehkou rovnicí - vyřešte rovnici . Té odmocniny se pochopitelně musíme nějakým způsobem zbavit. Tento způosb je umocnění - umocníme obě strany rovnice na druhou → → . Hotovo, máme výsledek. Toto byla jednoduchá rovnice, kterou by většina z vás jistě vyřešila z hlavy. Ale další rovnice nemusí být tak jednoduché a proto je několik věcí, které se musí při řešení udělat. Na začátku musíme určit definiční obor - jak je vám jistě známo, pod odmocninou nesmí být záporné číslo. V tomto případě by tedy byl definiční obor <0, ∞). Dále si musíme uvědomit, že umocňování není ekvivalentní úprava. To znamená, že na konci musíme provést zkoušku.

Zkusíme trochu složitější příklad. Vyřešte rovnici . Začneme tím, že umocníme celou rovnici. Na levé straně neuděláme skoro žádné úpravy, stačí když škrtneme odmocninu. Ale pravá strana není tak jednoduchá. Je třeba si uvědomit, že pravá strana nebude vypadat . Musíme postupovat podle vzorce . Pravá strana tedy vypadat . Nyní to je jednoduchá kvadratická rovnice, kterou by měl každý z vás bez problémů vyřešit.

Výsledky jsou v definičním oboru této rovnice, ale stejně musíme udělat zkoušku:

Za x dosadíme 7

Tento výsledek souhlasí, ale musíme ještě zkontrolovat druhý výsledek:

Jasně vidíme, že tento výsledek není správný. Řešením této rovnice je proto pouze číslo 7.

Vyřešte rovnici . Definiční obor je <-2.5, ∞). Než začneme umocňovat, musíme udělat jednu věc, která nám zlehčí práci. Kdybychom teď rovnici umocnili, odmocniny bychom se nezbavili, protože levá strana by se musela upravit podle vzorce . Proto musíme od celé rovnice odečíst x a díky tomu nám na levé straně zůstane pouze odmocnina. Poté, co toto uděláme, můžeme rovnici umocnit a pak vznikne jednoduchá kvadratická rovnice.

V tomto případě jsme ani nemuseli pracovat s diskriminantem. Výsledek je v definičním oboru, ale stejně musíme ověřit výsledek zkouškou.

Otestujeme výsledek -2:

Otestujeme výsledek 2:

Zkouškou prošel pouze výsledek .

Trochu složitější případ nastane, pokud máme v rovnici víc odmocnin. Zkuste vyřešit rovnici . Některým čtenářům určitě došlo, že problém bude v již stokrát opakovaném vzorci . Podle tohoto vzorce totiž budeme muset roznásobit levou stanu rovnice. Prvním krokem je tedy umocnění: . Jak vidíte, odmocnin jsme se ještě úplně nezbavili. Nyní tedy musíme převést odmocniny na jednu stranu a zbytek na druhou stranu rovnice: . Opět celou rovnici umocníme: . Toto již je celkem jednoduchá kvadratická rovnice.

Krásně se nám vyrušilo x² a z rovnice se stala jednoduchá lineární rovnice. Výsledek je

Vyřešte rovnici .

Po provedení zkoušky dojdeme k závěru, že pouze výsledek je správný.