Články » SŠ Matematika » Rovnice

Rovnice s odmocninou

Vydáno dne v kategorii Rovnice; Autor: ; Počet přečtení: 46 087

Naučíme se počítat rovnice s neznámou pod odmocninou.


Na tomto portále již vyšlo několik článku zabývajících se problematikou rovnic (přejít na Rovnice). Tento článek se bude zabývat rovnicemi s neznámou pod odmocninou, neboli iracionálními rovnicemi.

Začneme lehkou rovnicí - vyřešte rovnici . Té odmocniny se pochopitelně musíme nějakým způsobem zbavit. Tento způosb je umocnění - umocníme obě strany rovnice na druhou → . Hotovo, máme výsledek. Toto byla jednoduchá rovnice, kterou by většina z vás jistě vyřešila z hlavy. Ale další rovnice nemusí být tak jednoduché a proto je několik věcí, které se musí při řešení udělat. Na začátku musíme určit definiční obor - jak je vám jistě známo, pod odmocninou nesmí být záporné číslo. V tomto případě by tedy byl definiční obor <0, ∞). Dále si musíme uvědomit, že umocňování není ekvivalentní úprava. To znamená, že na konci musíme provést zkoušku.

Zkusíme trochu složitější příklad. Vyřešte rovnici . Začneme tím, že umocníme celou rovnici. Na levé straně neuděláme skoro žádné úpravy, stačí když škrtneme odmocninu. Ale pravá strana není tak jednoduchá. Je třeba si uvědomit, že pravá strana nebude vypadat . Musíme postupovat podle vzorce . Pravá strana tedy vypadat . Nyní to je jednoduchá kvadratická rovnice, kterou by měl každý z vás bez problémů vyřešit.


Výsledky jsou v definičním oboru této rovnice, ale stejně musíme udělat zkoušku:

Za x dosadíme 7

Tento výsledek souhlasí, ale musíme ještě zkontrolovat druhý výsledek:


Jasně vidíme, že tento výsledek není správný. Řešením této rovnice je proto pouze číslo 7.

Vyřešte rovnici . Definiční obor je <-2.5, ∞). Než začneme umocňovat, musíme udělat jednu věc, která nám zlehčí práci. Kdybychom teď rovnici umocnili, odmocniny bychom se nezbavili, protože levá strana by se musela upravit podle vzorce . Proto musíme od celé rovnice odečíst x a díky tomu nám na levé straně zůstane pouze odmocnina. Poté, co toto uděláme, můžeme rovnici umocnit a pak vznikne jednoduchá kvadratická rovnice.


V tomto případě jsme ani nemuseli pracovat s diskriminantem. Výsledek je v definičním oboru, ale stejně musíme ověřit výsledek zkouškou.

Otestujeme výsledek -2:

Otestujeme výsledek 2:

Zkouškou prošel pouze výsledek .

Trochu složitější případ nastane, pokud máme v rovnici víc odmocnin. Zkuste vyřešit rovnici . Některým čtenářům určitě došlo, že problém bude v již stokrát opakovaném vzorci . Podle tohoto vzorce totiž budeme muset roznásobit levou stanu rovnice. Prvním krokem je tedy umocnění: . Jak vidíte, odmocnin jsme se ještě úplně nezbavili. Nyní tedy musíme převést odmocniny na jednu stranu a zbytek na druhou stranu rovnice: . Opět celou rovnici umocníme: . Toto již je celkem jednoduchá kvadratická rovnice.


Krásně se nám vyrušilo x2 a z rovnice se stala jednoduchá lineární rovnice. Výsledek je

Vyřešte rovnici .


Po provedení zkoušky dojdeme k závěru, že pouze výsledek je správný.


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Limita funkce , když x se blíží k 9 je rovna:


Hlavolam

Byl jednou jeden mladý kouzelník a ten se šíleně zamiloval do jediné dcery krále, kterému sloužil. Ta ho taky hrozně milovala (dokázal jí kdykoliv vykouzlit květiny :-). Ale otec král tomu vůbec nepřál. Chtěl pro svou dceru nějakého urozeného a bohatého ženicha a ne takového nekňubu, jako byl kouzelník (jak si myslel). Intrikami, se mu ho podařilo křivě obvinit z krádeže a uvrhnout do žaláře. Ale kouzelník byl moc populární mezi lidem a tak ho nemohl dát jen tak jednoduše popravit, jak by rád. Vymyslel tedy na něj lest: u soudu mu dal možnost losování vlastní smrti. Řekl: "Zde v klobouku jsou dvě kuličky: černá a bílá. Vylosuješ-li si bílou, budeš žít. Ale vytáhneš-li z klobouku černou, zemřeš." Vypadalo to jako férová šance, ale král, který nechtěl nic riskovat, mu tam dal obě kuličky černé. Kouzelník naštěstí nebyl hloupý a dovtípil se to. Jak to jenom navléct, aby přežil ...