Přejít na matematické fórum Připravili jsme pro Vás zbrusu nové fórum a jsme připravení odpovídat na Vaše otázky!


Články » SŠ Matematika » Goniometrie

Funkce sinus a kosekans

Vydáno dne v kategorii Goniometrie; Autor: ; Počet přečtení: 58 876

Popíšeme si vlastnosti trigonometrických funkcí sinus, kosekans a naučíme se rýsovat jejich grafy.


Pokud pracujeme s trigonometrickými funkcemi, chtělo by to znát jednotkou kružnici (přejít na článek Jednotková kružnice).

Sinus

Funkce sinus bývá definována jako poměr protilehlé strany a přepony v pravoúhlém trojúhelníku. Grafem této funkce je sinusoida a jak vypadá vidíte na následujícím obrázku:

Vlastnosti funkce sinus:

  • Definiční obor:
  • Obor hodnot: <-1, 1>
  • Rostoucí v intervalu:
  • Klesající v intervalu:
  • Lichá funkce
  • Omezená shora i zdola
  • Periodická funkce s periodou

Rýsování grafu funkce sinus

Funkce sinus může mít následující podobu: . Proměnná a určuje amplitudu funkce. Pokud amplituda není dána, je automaticky rovna 1. Proměnná b určuje periodu funkce a proměnná c je posun funkce na ose x (doleva, doprava). Poslední proměnná, tedy proměnná d určuje posun na ose y (dolů, nahoru).

1) Narýsujte graf funkce sin x.

Funkce sinus standardně začíná v počátku a směřuje směrem nahoru. Amplituda je 1 a proto výška funkce je 1. Perioda funkce je .

2) Narýsujte graf funkce 2sin(x)+2.

Nyní už to začíná být trochu složitější → máme zadanou amplitudu 2 a vertikální posun je 2. Musíme začít tím, že vytvoříme novou osu x ve výšce 2 (na obrázku to je červená osa):

Perioda funkce je opět . Akorát amplituda je 2 - proto bude funkce dvakrát vyšší:

3) Narýsujte funkci .

Tentokrát je amplituda -1, vertikální posun +1 a změnila se i perioda funkce. Periodu vypočítáme pomocí vzorce: . V tomto případě je to tedy .

Jelikož je amplituda záporná, začíná funkce sinus klesáním. Perioda je větší než obvykle a proto je sinusoida roztáhlejší.

4) Narýsujte graf funkce :

Toto je již relativně složitý příklad, protože musíme sinusoidu posunout (posun je kladný a proto posuneme funkce doleva). Jsou dva možná způsoby jak narýsovat tuto funkci. Buď můžeme narýsovat funkci bez posunu a nakonec všechny body posunout o danou vzdálenost, nebo si můžeme vytvořit novou osu y (v tomto případě by byla v bodě ).

Ony dvě červené přímky na obrázku značí, jak jsme posunuli souřadný systém (vertikální i horizontální posun).

5) Narýsujte graf funkce sin(4x+π):

Než začneme rýsovat, musíme upravit vzorec dané funkce - Pokud je hodnota proměnné b jiná než jedna a vzorec funkce obsahuje horizontální posun, musíme proměnnou b vytknout: . Nyní už můžeme postupovat standardním postupem; graf tedy bude vypadat následovně:

Kosekans

Funkce kosekans je definována jako poměr přepony a protilehlé strany v pravoúhlém trojúhelníku. Platí tedy . Graf vypadá následovně:

Vlastnosti funkce kosekans:

  • Definiční obor:
  • Obor hodnot: (-∞ -1) ∪ (1, ∞)
  • Lichá funkce
  • Periodická funkce: perioda je

Rýsování grafu:

Pokud umíte rýsovat graf funkce sinus, umíte rýsovat graf funkce kosekans. Na následujícím obrázku je graf funkce sin x a graf funkce csc x:

Existují dvě možnosti jak narýsovat graf funkce kosekans. Buď si můžete narýsovat danou funkci nejdříve jako sinus a pak lehce doplnit kosekans. Druhá možnost je rýsovat rovnou kosekans, což je obtížnější. Narýsujeme tedy funkci sin x. V těch bodech, kde sinusoida protíná osu x jsou hluché body → v těchto bodech není funkce kosekans definována. V těchto bodech vztyčíme kolmice (na obrázku to jsou přerušované čáry). V těch bodech, kde funkce sinus dosáhla maxima bude počátek paraboly, která bude pouze v jednom sektoru daném kolmicemi.

1) Narýsujte graf funkce 2csc(x)+1:

Nejprve narýsujeme graf funkce 2sin(x)+1 a vztyčíme kolmice v těch bodech, kde sinusoida protíná novou osu x:

Nyní můžeme lehce narýsovat graf 2csc(x)+1:

Stejné pravidlo platí pro všechny tvary funkce kosekans.


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Určete intervaly monotónnosti funkce


Hlavolam

Představte si, že máte chodbu, jejíž stěny tvoří zrcadla. Zkuste v ní rozmístit osm stejně velkých zrcadlových tabulí tak, aby z pohledu pozorovatele byla chodba prázdná (aby viděl to co by viděl bez umístěných zrcadel) a v chodbě se mohl skrývat člověk (obestavěn zrcadly) naprosto neviděn. Uvažujte jenom půdorysné řešení.
Neviditelný