Jednotková kružnice

V matematice je jednotková kružnice obvykle kružnice s poloměrem 1 se středem v bodě S[0; 0] kartézského souřadného systému.

Pokud je bod X se souřadnicemi (x; y) na jednotkové kružnici v prvním kvadrantu, tak proměnné x, y jsou odvěsny pravoúhlého trojúhelníku, jehož přepona je 1. Platí tedy:

x2+y2=1

Jelikož platí, že x2=(-x)2 a jelikož promítnutím bodu X podle osy y, nebo podle osy x získáme opět bod na jednotkové kružnici, platí předchozí vztah pro všechny body na jednotkové kružnici (ne jenom pro ty body, které jsou v prvním kvadrantu).

Jednotková kružnice má velký význam pro trigonometrii - na jednotkovou kružnici můžeme zvýraznit funkce - sinus, cosinus, tangens, kotangens, sekans a kosekans. Pokud máme na jednotkové kružnici bod X[x; y], který svírá se středem úhel t, tak platí:

Z předchozího příkladu vyplývá . Na následujícím obrázku naleznete zvýrazněné funkce na jednotkové kružnici:

Kompletní jednotkou kružnici naleznete na následujícím obrázku:

Tabulku všech hodnot funkcí sinus, kosinus, tangens, kosekans, sekans a kotangens pro všechny hodnoty jednotkové kružnice naleznete v článku Úvod do Goniometrie/Trigonometrie.

Memorizace jednotkové kružnice

Většina učitelů vyžaduje, aby se žáci naučili jednotkovou kružnici nazpaměť. Není to takový problém jaký se zdá. Kružnici můžeme rozdělit na čtyři kvadranty tak, jako je to vyznačeno na následujícím obrázku.

Všímavější lidé si jistě všimli jedné zajímavosti na jednotkové kružnici - hodnoty funkcí pro dané úhly jsou v každém kvadrantu stejné. Stačí tedy, pokud si zapamatujeme první kvadrant a umíme celou kružnici (musíme si dát pozor pouze na znamínka). K tomu, abychom toto dobře ovládali, musíme umět převádění na základní úhel, tj. úhel mezi 0° až 90° (popř. 0 až ). V podstatě si to můžete představit jako vzdálenost daného úhlu od osy x.

Ukážeme si několik příkladů, jak převádět na základní úhel:
120° → 180-120 → 60°
390° → 390-360 → 30°
315° → 360-315 → 45°
210° → 360-210 → 150 → 180-150 → 30°

1) Napište hodnoty funkcí pro úhel 210°.

Pokud se podíváte o několik řádek, zjistíte, že jsme již počítali základní úhel pro 210°. Je to 30°. Nyní se musíme podívat na první kvadrant jednotkové kružnice. Pro úhel 30° najdeme následující hodnoty:

Nalezené hodnoty budou stejné i pro úhel 210°. Lišit se může akorát znaménko. Znaménka jednotlivých hodnot zjistíme z následujícího nákresu:

All students take calculus. Všimněte si počátečních písmen této fráze. V prvním kvadrantu je počáteční písmeno A. To znamená all - všechny funkce v prvním kvadrantu jsou kladné. Ve druhé kvadrantu je první písmeno S, což znamená, že pouze funkce sinus je kladná. Ve třetím kvadrantu je první písmeno T, což znamená, že pouze funkce tangens je kladná a konečně ve čtvrtém kvadrantu je první první písmeno C, což znamená, že pouze funkce kosinus je kladná.

Takže znaménka by vypadaly následovně:

2) Určete hodnoty funkcí pro úhel .

Základní úhel je .

Úhel leží ve čtvrtém kvadrantu a proto pouze funkce kosinus bude kladná: