Přejít na matematické fórum Připravili jsme pro Vás zbrusu nové fórum a jsme připravení odpovídat na Vaše otázky!


Články » SŠ Matematika » Geometrie » Analytická geometrie

Analytická geometrie - Elipsa a přímka

Vydáno dne v kategorii Analytická geometrie; Autor: ; Počet přečtení: 41 610

Naučíme se, jak lze určit, zda je přímka tečnou, sečnou elipsy. Také se naučíme spočítat průsečík přímky a elipsy


Pokud tedy máme v nějaké rovině elipsu (přejít na článek Analytická geometrie - Elipsa) a přímku, mohou nastat tři situace:

  1. Mimoběžná přímka - přímka nemá s elipsou ani jeden společný bod.
  2. Přímka je tečnou elipsy - přímka má s elipsou jeden společný bod.
  3. Přímka je sečnou elipsy - přímka má s elipsou dva společné body.

Tečna elipsy s rovnicí (střed elipsy je tedy v počátku) v nějakém bodě X[x0; y0] má rovnici: .

1) Určete průsečík přímky dané rovnicí p: 4x+5y=140 s elipsou .

V podstatě se nejedná o těžký příklad. Jsou to dvě rovnice o dvou neznámých. Nicméně jejich vyřešení není úplně jednoduché a tak si řešení soustavy pro jistotu rozepíšeme.

4x+5y=140

Pro kořeny y1 a y2 musíme samozřejmě vypočítat odpovídající hodnotu souřadnice x. Pokud to uděláme, získáme body X1[15; 16] a X2[20; 12].

2) Napište rovnice tečen elipsy z předchozího příkladu.

Je to pouze dosazení patřičných hodnot do rovnice tečny :

Pro bod X1[15; 16]:

Pro bod X2[20; 12]:


Doteď jsme pracovali s elipsou, která měla svůj střed umístěný v počátku. Nyní si ukážeme, jak by vypadala rovnice tečny elipsy s rovnicí v bodě X[x0, y0]:


3) Dokažte, že bod X[6; -2] je bodem elipsy a napište rovnici tečny v daném bodě.

Důkaz provedeme tak, že dosadíme souřadnice bodu X do rovnice elipsy.


Napsání rovnice tečny v bodě X je triviální záležitost:

Procvičování

Vše důležité jsme si již řekli. Nyní si nově nabyté znalosti vyzkoušíme na několika příkladech.

4) Napište průsečíky elipsy x2+5y2-12x-50y+141=0 s přímkou y=x:

x2+5y2-12x-50y+141=0
y=x
x2+5x2-12x-50x+141=0
6x2-62x+141=0

Pokud dopočítáme patřičné hodnoty souřadnic y, získáme body a .

Napište rovnice tečen elipsy v jejích průsečících s přímkou y=-2x.

Nejprve musíme určit souřadnice průsečíku dané přímky a elipsy. Nejedná se o nic jiného, než o vyřešení dvou rovnic o dvou neznámých.


2x2-4x+1=0

Našli jsme patřičné x-ové souřadnice. Dopočítat y-ové není problém, takže rovnou napíšu souřadnice průsečíků: . Nyní, když známe souřadnice, můžeme lehce napsat obecné rovnice tečen elipsy:

Začneme tečnou procházející bodem X1:
 

Toto je rovnice tečny procházející bodem X1. Postup k nalezení druhé tečny by byl naprosto identický, akorát musíme změnit hodnotu proměnných x0 a y0. Rovnice druhé tečny je: .

5) Bodem X[-6;-2] veďte tečny k elipse 4x2+92=36.

Nastala pro nás nová situace. Musíme najít rovnice dvou tečen z daného bodu k dané elipse. Budeme postupovat stejně, jako když jsme řešili stejnou úlohu u kružnice. Nejprve tedy najdeme poláru, pak najdeme průsečíky elipsy a poláry a těmito průsečíky povedeme tečny. Pokud tedy máme bod X[x0; y0] a elipsu , bude rovnice poláry vypadat následnovně: .

Nejprve vypočítáme rovnici poláry:

Nyní určíme průsečíky poláry a elipsy:



Nyní máme průsečíky poláry a elipsy. Poslední krok je jednoduchý. Nalezenými průsečíky prostě povedeme tečny k elipse. Jelikož toto tu již bylo procvičováno, nebudu celý postup rozepisovat a uvedu pouze rovnice tečen:

t1: 8x-9y+30
t2: y+2

Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Najděte asymptotu se směrnicí funkce


Hlavolam

Na kterou stranu jede autobus? (Tato hádanka není vůbec tak hloupá, jak se na první pohled tváří.)
Autobus