Přejít na matematické fórum Připravili jsme pro Vás zbrusu nové fórum a jsme připravení odpovídat na Vaše otázky!


Články » SŠ Matematika » Geometrie » Analytická geometrie

Analytická geometrie - Elipsa a přímka

Vydáno dne v kategorii Analytická geometrie; Autor: ; Počet přečtení: 38 194

Naučíme se, jak lze určit, zda je přímka tečnou, sečnou elipsy. Také se naučíme spočítat průsečík přímky a elipsy


Pokud tedy máme v nějaké rovině elipsu (přejít na článek Analytická geometrie - Elipsa) a přímku, mohou nastat tři situace:

  1. Mimoběžná přímka - přímka nemá s elipsou ani jeden společný bod.
  2. Přímka je tečnou elipsy - přímka má s elipsou jeden společný bod.
  3. Přímka je sečnou elipsy - přímka má s elipsou dva společné body.

Tečna elipsy s rovnicí (střed elipsy je tedy v počátku) v nějakém bodě X[x0; y0] má rovnici: .

1) Určete průsečík přímky dané rovnicí p: 4x+5y=140 s elipsou .

V podstatě se nejedná o těžký příklad. Jsou to dvě rovnice o dvou neznámých. Nicméně jejich vyřešení není úplně jednoduché a tak si řešení soustavy pro jistotu rozepíšeme.

4x+5y=140

Pro kořeny y1 a y2 musíme samozřejmě vypočítat odpovídající hodnotu souřadnice x. Pokud to uděláme, získáme body X1[15; 16] a X2[20; 12].

2) Napište rovnice tečen elipsy z předchozího příkladu.

Je to pouze dosazení patřičných hodnot do rovnice tečny :

Pro bod X1[15; 16]:

Pro bod X2[20; 12]:


Doteď jsme pracovali s elipsou, která měla svůj střed umístěný v počátku. Nyní si ukážeme, jak by vypadala rovnice tečny elipsy s rovnicí v bodě X[x0, y0]:


3) Dokažte, že bod X[6; -2] je bodem elipsy a napište rovnici tečny v daném bodě.

Důkaz provedeme tak, že dosadíme souřadnice bodu X do rovnice elipsy.


Napsání rovnice tečny v bodě X je triviální záležitost:

Procvičování

Vše důležité jsme si již řekli. Nyní si nově nabyté znalosti vyzkoušíme na několika příkladech.

4) Napište průsečíky elipsy x2+5y2-12x-50y+141=0 s přímkou y=x:

x2+5y2-12x-50y+141=0
y=x
x2+5x2-12x-50x+141=0
6x2-62x+141=0

Pokud dopočítáme patřičné hodnoty souřadnic y, získáme body a .

Napište rovnice tečen elipsy v jejích průsečících s přímkou y=-2x.

Nejprve musíme určit souřadnice průsečíku dané přímky a elipsy. Nejedná se o nic jiného, než o vyřešení dvou rovnic o dvou neznámých.


2x2-4x+1=0

Našli jsme patřičné x-ové souřadnice. Dopočítat y-ové není problém, takže rovnou napíšu souřadnice průsečíků: . Nyní, když známe souřadnice, můžeme lehce napsat obecné rovnice tečen elipsy:

Začneme tečnou procházející bodem X1:
 

Toto je rovnice tečny procházející bodem X1. Postup k nalezení druhé tečny by byl naprosto identický, akorát musíme změnit hodnotu proměnných x0 a y0. Rovnice druhé tečny je: .

5) Bodem X[-6;-2] veďte tečny k elipse 4x2+92=36.

Nastala pro nás nová situace. Musíme najít rovnice dvou tečen z daného bodu k dané elipse. Budeme postupovat stejně, jako když jsme řešili stejnou úlohu u kružnice. Nejprve tedy najdeme poláru, pak najdeme průsečíky elipsy a poláry a těmito průsečíky povedeme tečny. Pokud tedy máme bod X[x0; y0] a elipsu , bude rovnice poláry vypadat následnovně: .

Nejprve vypočítáme rovnici poláry:

Nyní určíme průsečíky poláry a elipsy:



Nyní máme průsečíky poláry a elipsy. Poslední krok je jednoduchý. Nalezenými průsečíky prostě povedeme tečny k elipse. Jelikož toto tu již bylo procvičováno, nebudu celý postup rozepisovat a uvedu pouze rovnice tečen:

t1: 8x-9y+30
t2: y+2

Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Určete definiční obor funkce


Hlavolam

Zadání je jednoduché: úhelník na obrázku rozdělte na čtyři stejné části.
Úhelník