Analytická geometrie - Kružnice a přímka

Nejprve bychom si měli objasnit, jaké situace mohou nastat, pracujeme-li v rovině s přímkou a kružnicí (přejít na článek Analytická geometrie - Kružnice. Tyto případy jsou tři:

1. sečna - přímka protíná kružnici ve dvou bodech. Vzdálenost přímky od kružnice je menší než poloměr dané kružnice.
2. tečna - přímka má s kružnicí jeden společný bod. Přímka je kolmá na poloměr a vzdálenost přímky od středu je rovna poloměru.
3. vnější přímka - přímka nemá s kružnicí žádný společný bod. Vzdálenost středu od přímky je větší než poloměr.

Určování vzájemné polohy

Nejprve se naučíme určit vzájemnou polohu (popř. průsečíky nebo bod dotyku) kružnice a přímky.

1) Určete vzájemnou polohu kružnice dané rovnicí x2+y2-2x+6y=0 s přímkou 2x-y=0.

V tomto příkladě se pokusíme nalézt nějaké takové hodnoty pro x a y, aby vyhovovaly oběma rovnicím. Jedná se tedy o řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých. V závislosti na počtu řešení určíme vzájemnou polohu těchto objektů.

x2+y2-2x+6y=0
2x-y=0

Po vypočtení této soustavy dostaneme dva výsledky: T1[0;0] a T2[-2;-4]. Z tohoto výsledky můžeme již určit vzájemnou polohu dané přímky s danou kružnici → přímka je sečnou kružnice.

2) Určete vzájemnou polohu kružnice x2+y2-2x+6y=0 s přímkou p: 2x-y+d na základě hodnoty parametru d.

Toto je již podstatně těžší příklad než ten předchozí, nicméně postup bude alespoň ze začátku podobný.

x2+y2-2x+6y=0
2x-y+d=0 → y=2x+d
Zkusíme vyřešit tuto soustavu:
x2+4x2+4xd+d2-2x+12x+6d=0
5x2+10x+4xd+d2+6d=0
5x2+x*(10+4d)+d2+6d=0
Jedná se o kvadratickou rovnici → určíme diskriminant:
D=b2-4ac

Vzájemná poloha přímky a kružnice se určuje na základě počtu řešení a počet řešení se určuje na základě hodnoty diskriminantu.

1. D = 0 → tečna
2. D > 0 → sečna
3. D < 0 → vnější přímka

Začneme tím, že určíme poloměr r. Tato hodnota se dá určit z obecné rovnice kružnice (více v článku Analytická geometrie - Kružnice) a je rovna .

Nyní zkusíme zjisti, pro jaké hodnoty d je přímka p tečnou kružnice.

Přímka je tečnou kružnice právě tehdy, když parametr d nabývá jedné z hodnot .

Přímka je sečnou kružnice právě tehdy, když .

Přímka je vnější přímkou kružnice ve všech ostatních případech: .

Tečna ke kružnici

Je na čase ukázat, jak nalézt rovnici tečny ke kružnici se středem S[m,n], pokud známe bod dotyku X0[x0,y0].

Tečnu se budeme snažit pomocí obecné rovnice. K tomu, abychom určili obecnou rovnici přímky potřebujeme znát jeden bod X0 a normálový vektor n.

n=(x0-m, y0-n)

Přímka má tedy rovnici:

(x0-m)x+(y0-n)y+d=0

Hodnotu proměnné d určíme, dosadíme-li do rovnice bod X0.

(x0-m)x0+(y0-n)y0+d=0
(x0-m)x+(y0-n)-(x0-m)x0-(y0-n)y0=0

K této rovnici můžeme přičíst rovnici x02+y02-2mx0-2ny0+m2+n2=r2:

Tato rovnice je rovnice tečny.

3) Napište rovnici tečny kružnice x2+y2-5 v bodě T[1,2]:

Jedná se pouze o dosazení do rovnice tečny. K tomu musíme určit ještě střed kružnice a poloměr. Střed je v tomto případě S[0,0] a poloměr je r=2.24:

(x0-m)*(x-m)+(y0-n)*(y-n)=r2
(1-0)*(x-0)+(2-0)*(y-0)=2.242
x+2y=5
t: x+2y-5=0

4) Napište rovnice tečen kružnice dané rovnicí x2+y2+4x-10y-140=0 v jejich průsečících s přímkou p: x=3. Určete odchylku tečen.

Tento příklad se relativně často objevuje v různých písemkách, protože se na něm otestuje hned několik znalostí. V první řadě musíme pochopitelně spočítat průsečík přímky a kružnice. Pak musíme nalezenými body vést tečny a nakonec ještě určit jejich odchylku.

x2+y2+4x-10y-140=0
x=3
      

Nalezli jsme body dotyku T1, T2. Nyní musíme těmito body vést tečny t1, t2.

r=13 → r2 = 169
T[3,17]
(x0-m)*(x-m)+(y0-n)*(y-n)=r2
t1: 5x+12y-219=0
T[3,-7]
(x0-m)*(x-m)+(y0-n)*(y-n)=r2
t2: 5x-12y-99=0

Zbývá dopočítat poslední část příkladu. Určit odchylku nalezených tečen.

u=(5,12)
v=(5,-12)
|u| = 13
|v| = 13

α = 45.239°

Odchylka tečen je přibližně 45°.

Polára

Doposud jsme rovnic tečen počítali pouze v případech, kdy známe bod dotyku. Ale příklad může být i zadán tak, že mimo kružnici se nachází bod a my tímto musíme vést dvě těžice ke kružnici.

Z jednoho bodu mimo kružnici můžeme vždy najít dvě tečny k dané kružnici. Přímka určená body dotyku přímky a tečen se nazývá polára. Podobný způsobem jakým jsme si našli rovnici tečny bychom nalezli i rovnici poláry, ale myslím, že není nutné to zde rozepisovat.

5) Veďte bodem M[2;1] tečny ke kružnici s rovnicí (x-5)2+(y-10)2=9.

Postup je celkem jednoduchý. Nalezneme rovnici poláry, určíme průsečíky kružnice a poláry a povedeme tečny nalezenými body.

(x1-m)*(x-m)+(y1-n)*(y-n)=r2
(2-5)*(x-5)+(1-10)*(y-10)=9
polára: -3x-9y+96 → x+3y-32
Najdeme průsečík:

Povedeme těmito body tečny:
(x0-m)*(x-m)+(y0-n)*(y-n)=r2
t1: x-2
t2: 4x-3y-5