Přejít na matematické fórum Připravili jsme pro Vás zbrusu nové fórum a jsme připravení odpovídat na Vaše otázky!


Články » SŠ Matematika » Geometrie » Analytická geometrie

Analytická geometrie - Kružnice a přímka

Vydáno dne v kategorii Analytická geometrie; Autor: ; Počet přečtení: 104 158

V dnešním článku se naučíme určit vzájemnou polohu přímky a kružnice. Ukážeme si také, jak lze nalézt tečna ke kružnici.


Nejprve bychom si měli objasnit, jaké situace mohou nastat, pracujeme-li v rovině s přímkou a kružnicí (přejít na článek Analytická geometrie - Kružnice. Tyto případy jsou tři:

  1. sečna - přímka protíná kružnici ve dvou bodech. Vzdálenost přímky od kružnice je menší než poloměr dané kružnice.
  2. tečna - přímka má s kružnicí jeden společný bod. Přímka je kolmá na poloměr a vzdálenost přímky od středu je rovna poloměru.
  3. vnější přímka - přímka nemá s kružnicí žádný společný bod. Vzdálenost středu od přímky je větší než poloměr.

Určování vzájemné polohy

Nejprve se naučíme určit vzájemnou polohu (popř. průsečíky nebo bod dotyku) kružnice a přímky.

1) Určete vzájemnou polohu kružnice dané rovnicí x2+y2-2x+6y=0 s přímkou 2x-y=0.

V tomto příkladě se pokusíme nalézt nějaké takové hodnoty pro x a y, aby vyhovovaly oběma rovnicím. Jedná se tedy o řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých. V závislosti na počtu řešení určíme vzájemnou polohu těchto objektů.

x2+y2-2x+6y=0
2x-y=0

Po vypočtení této soustavy dostaneme dva výsledky: T1[0;0] a T2[-2;-4]. Z tohoto výsledky můžeme již určit vzájemnou polohu dané přímky s danou kružnici → přímka je sečnou kružnice.

2) Určete vzájemnou polohu kružnice x2+y2-2x+6y=0 s přímkou p: 2x-y+d na základě hodnoty parametru d.

Toto je již podstatně těžší příklad než ten předchozí, nicméně postup bude alespoň ze začátku podobný.

x2+y2-2x+6y=0
2x-y+d=0 → y=2x+d
Zkusíme vyřešit tuto soustavu:
x2+4x2+4xd+d2-2x+12x+6d=0
5x2+10x+4xd+d2+6d=0
5x2+x*(10+4d)+d2+6d=0
Jedná se o kvadratickou rovnici → určíme diskriminant:
D=b2-4ac

Vzájemná poloha přímky a kružnice se určuje na základě počtu řešení a počet řešení se určuje na základě hodnoty diskriminantu.

  1. D = 0 → tečna
  2. D > 0 → sečna
  3. D < 0 → vnější přímka

Začneme tím, že určíme poloměr r. Tato hodnota se dá určit z obecné rovnice kružnice (více v článku Analytická geometrie - Kružnice) a je rovna .

Nyní zkusíme zjisti, pro jaké hodnoty d je přímka p tečnou kružnice.


Přímka je tečnou kružnice právě tehdy, když parametr d nabývá jedné z hodnot .

Přímka je sečnou kružnice právě tehdy, když .

Přímka je vnější přímkou kružnice ve všech ostatních případech: .

Tečna ke kružnici

Je na čase ukázat, jak nalézt rovnici tečny ke kružnici se středem S[m,n], pokud známe bod dotyku X0[x0,y0].

Kružnice

Tečnu se budeme snažit pomocí obecné rovnice. K tomu, abychom určili obecnou rovnici přímky potřebujeme znát jeden bod X0 a normálový vektor n.

n=(x0-m, y0-n)

Přímka má tedy rovnici:

(x0-m)x+(y0-n)y+d=0

Hodnotu proměnné d určíme, dosadíme-li do rovnice bod X0.

(x0-m)x0+(y0-n)y0+d=0
(x0-m)x+(y0-n)-(x0-m)x0-(y0-n)y0=0

K této rovnici můžeme přičíst rovnici x02+y02-2mx0-2ny0+m2+n2=r2:


Tato rovnice je rovnice tečny.

3) Napište rovnici tečny kružnice x2+y2-5 v bodě T[1,2]:

Jedná se pouze o dosazení do rovnice tečny. K tomu musíme určit ještě střed kružnice a poloměr. Střed je v tomto případě S[0,0] a poloměr je r=2.24:

(x0-m)*(x-m)+(y0-n)*(y-n)=r2
(1-0)*(x-0)+(2-0)*(y-0)=2.242
x+2y=5
t: x+2y-5=0

4) Napište rovnice tečen kružnice dané rovnicí x2+y2+4x-10y-140=0 v jejich průsečících s přímkou p: x=3. Určete odchylku tečen.

Tento příklad se relativně často objevuje v různých písemkách, protože se na něm otestuje hned několik znalostí. V první řadě musíme pochopitelně spočítat průsečík přímky a kružnice. Pak musíme nalezenými body vést tečny a nakonec ještě určit jejich odchylku.

x2+y2+4x-10y-140=0
x=3
      

Nalezli jsme body dotyku T1, T2. Nyní musíme těmito body vést tečny t1, t2.

r=13 → r2 = 169
T[3,17]
(x0-m)*(x-m)+(y0-n)*(y-n)=r2
t1: 5x+12y-219=0
T[3,-7]
(x0-m)*(x-m)+(y0-n)*(y-n)=r2
t2: 5x-12y-99=0

Zbývá dopočítat poslední část příkladu. Určit odchylku nalezených tečen.

u=(5,12)
v=(5,-12)
|u| = 13
|v| = 13

α = 45.239°

Odchylka tečen je přibližně 45°.

Polára

Doposud jsme rovnic tečen počítali pouze v případech, kdy známe bod dotyku. Ale příklad může být i zadán tak, že mimo kružnici se nachází bod a my tímto musíme vést dvě těžice ke kružnici.

polára

Z jednoho bodu mimo kružnici můžeme vždy najít dvě tečny k dané kružnici. Přímka určená body dotyku přímky a tečen se nazývá polára. Podobný způsobem jakým jsme si našli rovnici tečny bychom nalezli i rovnici poláry, ale myslím, že není nutné to zde rozepisovat.


5) Veďte bodem M[2;1] tečny ke kružnici s rovnicí (x-5)2+(y-10)2=9.

Postup je celkem jednoduchý. Nalezneme rovnici poláry, určíme průsečíky kružnice a poláry a povedeme tečny nalezenými body.

(x1-m)*(x-m)+(y1-n)*(y-n)=r2
(2-5)*(x-5)+(1-10)*(y-10)=9
polára: -3x-9y+96 → x+3y-32
Najdeme průsečík:

Povedeme těmito body tečny:
(x0-m)*(x-m)+(y0-n)*(y-n)=r2
t1: x-2
t2: 4x-3y-5

Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Vypočítejte limitu funkce


Hlavolam

Jak to tak bývá, zlý čaroděj uvěznil mudrce. A kdo by to čekal, dal mu šanci se zachránit, pokud splní úkol. Na stole je kulatý tác, kterým lze volně otáčet, a na něm čtyři mince do čtverce. Mudrc má zavázané oči, nic nevidí. Jeho úkolem je otočit mince tak, že bude na všech panna. Nemá to však jednoduché. Otočí jistý počet mincí, pak černokněžník tácem zatočí. Opět otočí nějaké mince a znovu se tácem náhodně otočí. Toto se opakuje, dokud nejsou všechny mince správně. V tu chvíli je hra zlotřilým čarodějem ukončena. Mudrc nepozná podle hmatu pannu od orla. Musí vždy mince nechat na svém místě, ve čtverci. A hlavně - kvůli zlé magii - má strašnou smůlu a pokud bude spoléhat jen na náhodu, tak úkol nikdy nesplní.