Analytická geometrie - Úseková rovnice přímky

Takže, jak už bylo řečeno v úvodu, naučíme se jak zapsat přímku pomocí úsekového tvaru. Tento tvar má relativně hodně omezení a mnoho přímek podle něj nelze zapsat.

Mějme v rovině body P[p; 0] a Q[0; q], kde p, q jsou různé od nuly, potom bude mít přímka PQ rovnici:

Nyní, když jsme si nadefinovali úsekovou rovnice přímky, musíme si říci, kdy lze tento tvar použít. Ono by se to dalo logicky odvodit z předchozího odstave. Body P, Q musí ležet na osách x, y. Proto pokud přímka povede počátkem nelze ji zapsat pomocí úsekového tvaru. Zároveň nelze zapsat přímky rovnoběžné se souřadnicovými osami.

1) Zapište rovnice přímky AB, je-li A[0; 3], B[1; 0].

Nejedná se o nic jiného, než o přiřazení proměnným p, q správnou hodnotu. Tuto hodnotu nalezneme v souřadnicích zadaných bodů A, B. Obecně můžeme zapsat první bod jako P[p; 0]. Tomuto tvaru odpovídá bod B a proto bude mít proměnná p hodnotu 1. Logicky pro q zbývá hodnota z bodu A a proto q = 1. Rovnice tedy bude vypadat takto:

2) Napište úsekový tvar přímky AB, kde A[3;0], B[0; -2].

K úsekovému tvaru přímky potřebujeme body zadané způsobem P[p; 0], Q[0; q], ale většinou takto pěkně zadané body nedostaneme. Pokud tedy dostaneme body zadané například A[-1; 3], B[2; 1], tak úsekovou rovnici můžeme zapsat pouze tehdy, určíme-li si body na souřadnicových osách.

Najdeme obecnou rovnici přímky AB:
u = (B-A) = (3; -2)
n = (2; 3)
2x + 3y + c = 0
c = -7
p: 2x + 3y -7 = 0
Nyní dosadíme za y = 0:
2x + 3*0 -7 =0
Dostáváme bod P[]
Nyní dosadíme za x = 0:
2*0 + 3y - 7 = 0
Dostáváme bod Q[]

Máme-li body P, Q, není žádný problém napsat úsekovou rovnici přímky p:

Tato rovnice se dá ještě upravit:

Na úsekovém tvaru přímky doopravdy není nic složitého a proto přikročíme k procvičování. Oblíbeným námětem na písemky je napsání jedné přímky ve všech možných tvarech (obecný, parametrický a úsekový) a právě to si za chvíli vyzkoušíme.

Procvičování

Napište všechny tvary přímky AB, kde A[3; 0], B[0; -2].

Úseková rovnice: [br] [br] Parametrická rovnice

Určíme směrový vektor u přímky AB.

u = B-A = (-3; -2) = (3; 2)
X = A + t*u
x = 3 + 3t
y = 0 + 2t

Obecná rovnice

Nejprve určíme normálový vektor u.

n = (2; -3)
2x - 3y + c = 0
c = -6
p: 2x - 3y - 6 = 0

Směrnicová rovnice

Tento tvar se dá lehce vyjádřit z obecné rovnice přímky.

3y = 2x - 6