Články » SŠ Matematika » Rovnice

Odvození vztahu pro výpočet kvadratické rovnice

Vydáno dne v kategorii Rovnice; Autor: ; Počet přečtení: 31 336

Pro ty zvídavější tu máme malé rozšíření nedávno vydaného článku o kvadratické rovnici. Odvodíme si, jak vznikl vztah pro výpočet kvadratické rovnice.


Jak již bylo řečeno v minulém článku (přejít na článek Kvadratická rovnice), kvadratická rovnice je taková rovnice, kde se neznámá nachází v druhé mocnině. V kvadratické rovnici se také nachází čísla a, b, c. Číslo a se nazývá kvadratický člen a platí pro něj, že se nesmí rovnat nule, v opačném případě se nebude jednat o kvadratickou rovnici. Číslo b se nazývá lineární člen a číslo c absolutní člen, pro tato dvě čísla platí, že mohou nabývat jakýchkoliv hodnot. Obecný tvar kvadratické rovnice tedy je:


A nyní přejděme k hlavní náplni tohoto článku a tj. již zmíněné odvození známého vzorce pro výpočet kvadratické rovnice:

Začneme tím, že vytkneme číslo a a poté jím vydělíme, toto si můžeme dovolit právě proto, že číslo a musí být nenulové, protože se jedná o kvadratický člen:



V dalším kroku našeho odvozování je doplnění na čtverec, tzn. Budeme chtít, aby nám vznikl vzoreček k2+2kl+l2=(k+l)2, toho docílíme tak, že druhý člen rovnice rozšíříme číslem 2 a přičteme a odečteme člen b2/(42) . Po těchto úpravách dostaneme vztah:


Po doplnění na čtverec, již můžeme závorku upravit do tvaru (a+b)2. Mimo závorku nám zbyly dva členy, které převedeme na společný jmenovatel. To provedeme tak, že druhý zlomek rozšíříme číslem 4a. Nyní tato čísla můžeme sečíst, dále pak vytkneme v čitateli -1 před závorku:


Další jednoduchou úpravou docílíme toho, že dostaneme z obou závorek vztah k2-l2=(k-l)(k+l). První závorka již vyhovuje, druhou upravíme tak, že ji celou umocníme na druhou a celý „vnitřek“ druhé závorky odmocníme:


Teď už jen stačí použít vztah, kvůli kterému jsme prováděli poslední úpravu:


Tato rovnice má řešení právě tehdy, když je alespoň jedna závorka rovna nule tj. když:



a



a toto jsou již známé vztahy pro výpočet kořenů kvadratické rovnice.


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Najděte definiční obor funkce


Hlavolam

Představte si, že máte kovový zvon jako na obrázku, který je připojen na čerpadlo. Uzávěry na trubkách 1, 2 a 3 jsou zavřené. Hlavní uzávěr je otevřen, zvon je ponořen do vody a čerpadlo je spuštěno. Čerpadlo vytváří ve zvonu podtlak, který dovnitř nasává vodu. Když je zvon plný vody, hlavní uzávěr se uzavře a čerpadlo vypne. Nyní se naráz otevřou uzávěry trubek 1 až 3 a na vás je určit, z které trubky bude voda stříkat nejdál.