Přejít na matematické fórum Připravili jsme pro Vás zbrusu nové fórum a jsme připravení odpovídat na Vaše otázky!


Články » SŠ Matematika » Rovnice

Odvození vztahu pro výpočet kvadratické rovnice

Vydáno dne v kategorii Rovnice; Autor: ; Počet přečtení: 33 546

Pro ty zvídavější tu máme malé rozšíření nedávno vydaného článku o kvadratické rovnici. Odvodíme si, jak vznikl vztah pro výpočet kvadratické rovnice.


Jak již bylo řečeno v minulém článku (přejít na článek Kvadratická rovnice), kvadratická rovnice je taková rovnice, kde se neznámá nachází v druhé mocnině. V kvadratické rovnici se také nachází čísla a, b, c. Číslo a se nazývá kvadratický člen a platí pro něj, že se nesmí rovnat nule, v opačném případě se nebude jednat o kvadratickou rovnici. Číslo b se nazývá lineární člen a číslo c absolutní člen, pro tato dvě čísla platí, že mohou nabývat jakýchkoliv hodnot. Obecný tvar kvadratické rovnice tedy je:


A nyní přejděme k hlavní náplni tohoto článku a tj. již zmíněné odvození známého vzorce pro výpočet kvadratické rovnice:

Začneme tím, že vytkneme číslo a a poté jím vydělíme, toto si můžeme dovolit právě proto, že číslo a musí být nenulové, protože se jedná o kvadratický člen:



V dalším kroku našeho odvozování je doplnění na čtverec, tzn. Budeme chtít, aby nám vznikl vzoreček k2+2kl+l2=(k+l)2, toho docílíme tak, že druhý člen rovnice rozšíříme číslem 2 a přičteme a odečteme člen b2/(42) . Po těchto úpravách dostaneme vztah:


Po doplnění na čtverec, již můžeme závorku upravit do tvaru (a+b)2. Mimo závorku nám zbyly dva členy, které převedeme na společný jmenovatel. To provedeme tak, že druhý zlomek rozšíříme číslem 4a. Nyní tato čísla můžeme sečíst, dále pak vytkneme v čitateli -1 před závorku:


Další jednoduchou úpravou docílíme toho, že dostaneme z obou závorek vztah k2-l2=(k-l)(k+l). První závorka již vyhovuje, druhou upravíme tak, že ji celou umocníme na druhou a celý „vnitřek“ druhé závorky odmocníme:


Teď už jen stačí použít vztah, kvůli kterému jsme prováděli poslední úpravu:


Tato rovnice má řešení právě tehdy, když je alespoň jedna závorka rovna nule tj. když:



a



a toto jsou již známé vztahy pro výpočet kořenů kvadratické rovnice.


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Určete lokální extrémy funkce


Hlavolam

Dvě města A a B jsou od sebe vzdálena 90km. Z města A do města B vyjede vlak rychlostí 60km/h. V tu samou chvíli vyjede z města B vlak do města A po té samé koleji (na ty nádražáky už vážně není vůbec spolehnutí) stejnou rychlostí. Ve chvíli, kdy se vlaky rozjedou vstříc jisté zkáze, z předního okna (u strojvůdce) vlaku jedoucího z A do B vystartuje moucha cestovatelka rychlostí 100km/h a letí vstříc druhému vlaku. Ve chvíli, kdy k němu doletí, dotkne se nožkou jeho předního skla a letí zpátky. Takto moucha lítá mezi vlaky než jí rozmáčknou na placku. Úkolem je zjistit (samozřejmě z hlavy), kolik kilometrů moucha celkem nalétala.