Články » SŠ Matematika » Geometrie

Osová souměrnost

Vydáno dne v kategorii Geometrie; Autor: ; Počet přečtení: 116 271

Osová souměrnost patří do kategorie shodných zobrazení.


Osová souměrnost je vlastně zobrazení nějakého bodu podle osy. Původní bod má od osy stejnou vzdálenost jako jeho odraz. Oba tyto body leží na přímce, která je kolmá na osu.

Při operaci osové souměrnosti zachováváme velikosti úhlů a délky úseček. Proto se jedná o shodné zobrazení.

V prvním odstavci jsem se pokusil slovně vysvětlit osovou souměrnost. Může to vypadat celkem složitě, ale opravdu tomu tak není. Snad to pochopíte na následujícím příkladu: Najděte bod A', který bude osově souměrný k bodu A podle osy o.

Osová souměrnost

Začneme tedy tím, že uděláme kolmici k ose o, která by procházela bodem A.

Osová souměrnost

Nyní stačí udělat bod A' ve stejné vzdálenosti od osy o jako je bod A. Pokud to rýsujete, použijte kružítko (zapíchněte ho do průsečíku osy a kolmice a udělejte kružnici procházející bodem A).

Osová souměrnost

Pokud označíme průsečík osy o a kolmice q jako S, tak musí platit |AS| = |A'S|. Vidíte, není to nic těžkého:-)

V podstatě již umíte osovou souměrnost, ale pro jistotu zde uvedu několik dalších příkladů. Zobrazte trojúhelník ABC osově souměrný podle osy o.

Osová souměrnost

Nejedná se o nic jiného než to, co jsme řešili v předchozím příkladě. Akorát máme teď tři body, které musíme osově zobrazit. Budeme tedy postupovat stejně jako před chvíli, tj. uděláme kolmice k ose o procházející postupně body A, B, C.

Osová souměrnost

Abychom dokončili příklad stačí najít body A', B', C', aby platilo |CS1| = |C'S1|, |AS2| = |A'S2|, |BS3| = |B'S3|. K tomu použijeme opět kružítko.

Osová souměrnost

Příklad je vlastně již hotový; akorát bychom ještě měli spojit body A', B', C'.

Osová souměrnost

Samodružný bod

V osové souměrnosti můžeme nalézt jeden speciální případ zobrazení. Jedná se o takzvaný samodružný bod. Takovýto bod se v osové souměrnosti zobrazí sám na sebe, takže A=A'. Takovýto případ nastane pouze tehdy, leží-li bod A na ose o.

Osová souměrnost

Osově souměrné útvary

Spousta různých geometrických těles má alespoň jednu osu souměrnosti. Rovnostranný trojúhelník má tři osy souměrnosti, rovnoramenný jednu. Vlastně se dá říci, že každý pravidelný mnohoúhelník má osu souměrnosti (má tolik os souměrnosti jako má vrcholů).

Osová souměrnost

Těleso, které má nekonečně mnoho os souměrnosti je kruh, protože jakákoliv přímka vedená středem je osa souměrnosti. Osu souměrnosti můžeme nalézt i u prostorových útvarů (kužel, válec).

Nalezení osy souměrnosti

V předchozích příkladech jsme zobrazovali objekty osově souměrné podle osy o. Další typ příkladu, který můžeme dostat je nalezení osy souměrnosti, pokud známe původní i osově souměrný útvar. Nalezněte osu souměrnosti bodů A, A'.

Osová souměrnost

Nejdříve musíme oba body spojit a najít střed S vzniknuvší úsečky AA'. Pokud nyní povedeme kolmici bodem S na úsečku AA', nalezneme osu souměrnosti:

Osová souměrnost

Do kategorie shodných zobrazení patří i Středová souměrnost


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Napište rovnici tečny grafu funkce v bodě


Hlavolam

V krabičce jsou dvě ozubená kolečka. Větší z nich má 24 zubů a je napevno (netočí se, nepohybuje se) uprostřed krabičky. Menší z nich má 8 zubů a obíha kolem většího. Kolikrát se menší kolečko otočí vůči krabičce, než jednou oběhne kolem většího?
Ozubená kolečka