Přejít na matematické fórum Připravili jsme pro Vás zbrusu nové fórum a jsme připravení odpovídat na Vaše otázky!


Články » SŠ Matematika » Geometrie » Analytická geometrie

Analytická geometrie - Vektorový součin

Vydáno dne v kategorii Analytická geometrie; Autor: ; Počet přečtení: 80 663

Už umíme skalární součin vektorů, jehož výsledkem je jedno číslo. U vektorového součinu je výsledkem vektor.


Jak už jste si mohli přečíst v úvodu tohoto článku, výsledkem vektorového součinu je třetí vektor, který je kolmý na oba předešlé vektory.

Vektorový součin vektorů u, v se značí: u × v.

a × b = (a2b3-a3b2; a3b1-a1b3; a1b2-a2b1)

Jsou dány vektory a=(1;3;-1), b=(2;4;5). Určete jejich vektorový součin.

Je to vlastně jenom dosazení do vzorce:

a × b = (3*5-(-1)*4;(-1)*2-1*5;1*4-3*2)
a × b = (19;-7;-2)

Význam vektorového součinu

Kromě toho, že pomocí vektorového součinu určíte vektor kolmý na oba původní vektory (čehož využijeme například přu určování obecné rovnice roviny), můžeme také spočítat obsah rovnoběžníku daného původními vektory:

Rovnoběžník

Obsah rovnoběžníku ABCD z předchozího obrázku by se spočítal jako velikost vektorového součinu:

S=|u × v|

Určete obsah rovnoběžníku ABCD, jsou-li dány body A[2;3;-5], B[4;1;4], C[-8;-2;-3].

Nejprve určíme vektory u, v a pak vektorový součin z:

u=B-A
u=(2;-2;9)
v=C-A
v=(-10;-5;2)
z = u × v
z = (-4+45;-90-4;-10-20)
z = (41;-94;-30)

Obsah se vypočítá jako velikost vektorového součinu, tedy:

S=√(z12+z22+z32)
S=√(412+(-942)+(-302))
S=√11417
S ≈ 106.8

Tento výsledek si můžeme relativně lehce ověřit vypočítáním pomocí standardního vzorečku pro výpočet obsahu rovnoběžníku:

S=a*va

My stranu a můžeme určit jako velikost vektoru u, ale výšku musíme dopočítat.

Rovnoběžník

Jak jste mohli vidět na předchozím obrázku, výška rovnoběžníku se spočítá jako |v|*sin(&aplha;). Takže musíme určit velikosti vektorů u, v a úhel který svírají:

|u|2 = 4+4+81
|u| ≈ 9.4
|v|2 = 100+25+4
|v| ≈ 11.3
cos α = (u*v)/(|u|*|v|)
cos α = (-20+10+18)/(9.4*11.3)
cos α = 8/106.22
α = 85°40'

Nyní, když máme všechny hodnoty vypočítané, můžeme je dosadit do vzorce pro výpočet obsahu rovnoběžníku:

S=|u|*|v|*sin α
S=9.4*11.4*sin(85°40')
S ≈ 106.91

Z toho plyne: |a × b| = |a|*|b|*sin(α).

Vypočtěte obsah trojúhelníka A[1;3;1], B[4;1;3], C[1;4;-1].

Nastala trochu jiná situace. Vektorovým součinem dokážeme spočítat obsah rovnoběžníku, ale nyní musíme spočítat obsah trojúhelníku. Naštěstí pro nás to není těžký příklad. Pokud totiž složíme dva trojúhelníky ze zadání vedle sebe, vznikne rovnoběžník.

Rovnoběžník

Pokud tedy spočítáme obsah rovnoběžníku daného vektory u, v a vydělíme ho dvěma, získáme obsah trojúhelníku ABC.

u=B-A
u=(3;-2;2)
v=C-A
v=(0;1;-2)
z = u × v
z=(4-2;6;3)
z=(2;6;3)
S=√(22+62+32)
S=√49
S=7

Obsah rovnoběžníku ABCD je 7. My ale potřebujeme pouze obsah trojúhelníku ABC.

SABC=S/2
SABC = 3.5

Vektorový součin lze sice aplikovat pouze na vektoru ve prostoru, ale stejně můžeme zjistit obsah rovnoběžníku/trojúhelníku v rovině.

Vypočítejte obsah trojúhelníku A[-1;-1], B[2;0], C[1;3].

u=B-A
u=(3;1)
v=C-A 
v=(2;4)

Schází z-ová souřadnice. Jenomže to není problém, protože stačí jako třetí souřadnici dosadit 0.

z = u × v
z = (0;0;12-2)
z = (0;0;10)
SABCD = 10
SABC = 10/2 = 5

Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Vypočítejte


Hlavolam

Byl jednou jeden mladý kouzelník a ten se šíleně zamiloval do jediné dcery krále, kterému sloužil. Ta ho taky hrozně milovala (dokázal jí kdykoliv vykouzlit květiny :-). Ale otec král tomu vůbec nepřál. Chtěl pro svou dceru nějakého urozeného a bohatého ženicha a ne takového nekňubu, jako byl kouzelník (jak si myslel). Intrikami, se mu ho podařilo křivě obvinit z krádeže a uvrhnout do žaláře. Ale kouzelník byl moc populární mezi lidem a tak ho nemohl dát jen tak jednoduše popravit, jak by rád. Vymyslel tedy na něj lest: u soudu mu dal možnost losování vlastní smrti. Řekl: "Zde v klobouku jsou dvě kuličky: černá a bílá. Vylosuješ-li si bílou, budeš žít. Ale vytáhneš-li z klobouku černou, zemřeš." Vypadalo to jako férová šance, ale král, který nechtěl nic riskovat, mu tam dal obě kuličky černé. Kouzelník naštěstí nebyl hloupý a dovtípil se to. Jak to jenom navléct, aby přežil ...