Články » SŠ Matematika » Geometrie » Analytická geometrie

Analytická geometrie - Vektorový součin

Vydáno dne v kategorii Analytická geometrie; Autor: ; Počet přečtení: 81 107

Už umíme skalární součin vektorů, jehož výsledkem je jedno číslo. U vektorového součinu je výsledkem vektor.


Jak už jste si mohli přečíst v úvodu tohoto článku, výsledkem vektorového součinu je třetí vektor, který je kolmý na oba předešlé vektory.

Vektorový součin vektorů u, v se značí: u × v.

a × b = (a2b3-a3b2; a3b1-a1b3; a1b2-a2b1)

Jsou dány vektory a=(1;3;-1), b=(2;4;5). Určete jejich vektorový součin.

Je to vlastně jenom dosazení do vzorce:

a × b = (3*5-(-1)*4;(-1)*2-1*5;1*4-3*2)
a × b = (19;-7;-2)

Význam vektorového součinu

Kromě toho, že pomocí vektorového součinu určíte vektor kolmý na oba původní vektory (čehož využijeme například přu určování obecné rovnice roviny), můžeme také spočítat obsah rovnoběžníku daného původními vektory:

Rovnoběžník

Obsah rovnoběžníku ABCD z předchozího obrázku by se spočítal jako velikost vektorového součinu:

S=|u × v|

Určete obsah rovnoběžníku ABCD, jsou-li dány body A[2;3;-5], B[4;1;4], C[-8;-2;-3].

Nejprve určíme vektory u, v a pak vektorový součin z:

u=B-A
u=(2;-2;9)
v=C-A
v=(-10;-5;2)
z = u × v
z = (-4+45;-90-4;-10-20)
z = (41;-94;-30)

Obsah se vypočítá jako velikost vektorového součinu, tedy:

S=√(z12+z22+z32)
S=√(412+(-942)+(-302))
S=√11417
S ≈ 106.8

Tento výsledek si můžeme relativně lehce ověřit vypočítáním pomocí standardního vzorečku pro výpočet obsahu rovnoběžníku:

S=a*va

My stranu a můžeme určit jako velikost vektoru u, ale výšku musíme dopočítat.

Rovnoběžník

Jak jste mohli vidět na předchozím obrázku, výška rovnoběžníku se spočítá jako |v|*sin(&aplha;). Takže musíme určit velikosti vektorů u, v a úhel který svírají:

|u|2 = 4+4+81
|u| ≈ 9.4
|v|2 = 100+25+4
|v| ≈ 11.3
cos α = (u*v)/(|u|*|v|)
cos α = (-20+10+18)/(9.4*11.3)
cos α = 8/106.22
α = 85°40'

Nyní, když máme všechny hodnoty vypočítané, můžeme je dosadit do vzorce pro výpočet obsahu rovnoběžníku:

S=|u|*|v|*sin α
S=9.4*11.4*sin(85°40')
S ≈ 106.91

Z toho plyne: |a × b| = |a|*|b|*sin(α).

Vypočtěte obsah trojúhelníka A[1;3;1], B[4;1;3], C[1;4;-1].

Nastala trochu jiná situace. Vektorovým součinem dokážeme spočítat obsah rovnoběžníku, ale nyní musíme spočítat obsah trojúhelníku. Naštěstí pro nás to není těžký příklad. Pokud totiž složíme dva trojúhelníky ze zadání vedle sebe, vznikne rovnoběžník.

Rovnoběžník

Pokud tedy spočítáme obsah rovnoběžníku daného vektory u, v a vydělíme ho dvěma, získáme obsah trojúhelníku ABC.

u=B-A
u=(3;-2;2)
v=C-A
v=(0;1;-2)
z = u × v
z=(4-2;6;3)
z=(2;6;3)
S=√(22+62+32)
S=√49
S=7

Obsah rovnoběžníku ABCD je 7. My ale potřebujeme pouze obsah trojúhelníku ABC.

SABC=S/2
SABC = 3.5

Vektorový součin lze sice aplikovat pouze na vektoru ve prostoru, ale stejně můžeme zjistit obsah rovnoběžníku/trojúhelníku v rovině.

Vypočítejte obsah trojúhelníku A[-1;-1], B[2;0], C[1;3].

u=B-A
u=(3;1)
v=C-A 
v=(2;4)

Schází z-ová souřadnice. Jenomže to není problém, protože stačí jako třetí souřadnici dosadit 0.

z = u × v
z = (0;0;12-2)
z = (0;0;10)
SABCD = 10
SABC = 10/2 = 5

Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Vypočtěte


Hlavolam

Představte si, že máte kovový zvon jako na obrázku, který je připojen na čerpadlo. Uzávěry na trubkách 1, 2 a 3 jsou zavřené. Hlavní uzávěr je otevřen, zvon je ponořen do vody a čerpadlo je spuštěno. Čerpadlo vytváří ve zvonu podtlak, který dovnitř nasává vodu. Když je zvon plný vody, hlavní uzávěr se uzavře a čerpadlo vypne. Nyní se naráz otevřou uzávěry trubek 1 až 3 a na vás je určit, z které trubky bude voda stříkat nejdál.