První příklad
V prostoru jsou dány body A[0;4;0], B[4;4;0], C[?;0;0], E'[?;?;4]. Určete zbývající souřadnice krychle ABCDEFGH. Určete vzdálenost bodů AP, kde bod P je středem hrany CG.
Pokud má někdo dobrou představivost, mohl by určit souřadnice zbývajících bodů určit zpaměti, ale ostatním doporučuji nakreslit obrázek.
Nyní, když se na obrázek dobře podíváte by neměl být problém určit souřadnice ostatních vrcholů. Začneme podstavou. V podstavě musíme doplnit x-ovou souřadnici bodu C a souřadnice bodu D. Jelikož délka hrany krychle je a = 4, má bod C souřadnice [4;0;0] a bod D[0;0;0]. Nyní už tedy máme určeny všechny body podstavy. A jelikož se všechny čtyři body nachází ve stejné rovině určené osami x, y, stačí přičíst ke z-ovým souřadnicím délku hrany a máme vypočítané i souřadnice horní stěny. Takže bod E má souřadnice [0;4;4], F[4;4;4], G[4;0;4] a H[0;0;4].
Nyní můžeme přikročit k druhé části příkladu a to spočítat vzdálenost bodů AP. Bod P je střed úsečky CG a my už umíme spočítat střed úsečky (i když v tomto případě by to bylo rychlejší spočítat z hlavy):
P = [(c1 + g1)/2; (c2 + g2)/2; (c3 + g3)/2] P = [4;0;2]
A vzdálenost dvou bodů, pokud známe souřadnice už jsme se také učili, takže pouze dosadíme do vzorce:
|AP|2 = (a1 - p1)2 + (a2 - p2)2 + (a3 - p3)2 |AP|2 = 16 + 16 + 4 = 36 |AP| = 6
Druhý příklad
V prostoru je dán bod S[-5; 4; 1]. Určete souřadnice bodu A, jestliže bod S je středem úsečky AB.
Tento příklad je trochu jiný, než většina příkladů co jsme zatím počítali. Nejsou pevně zadány všechny body a proto musíme najít obecné řešení.
Výpočet souřadnic bodu A odvodíme ze vzorečku pro výpočet středu úsečky:
s1 = (a1 + b1)/2 a1 = 2*s1 - b1
A proto můžeme bod A vyjádřit takto:
A = [2*s1 - b1; 2*s2 - b2; 2*s3 - b3] A = [-10 - b1;8 - b2;2 - b3]
Tím ale příklad nekončí. Přidáme bod C, který má souřadnice [4;7;1]. Určete souřadnice bodu D, tak aby bod C byl středem úsečky DA. Opět budeme vycházet ze vzorečku pro výpočet středu úsečky.
d1 = 2*c1 - a1 D = [2*c1 - a1; 2*c2 - a2; 2*c3 - a3] D = [8 + 10 - b1; 14 - 8 - b2; 2 - 2 - b3] D = [18 - b1; 6 - b2; -b3]
Třetí příklad
Sestrojte libovolný trojúhelník ABC. V tomto trojúhelníku vyznačte těžiště T. Sestrojte součet vektorů (A-T)+(B-T)+(C-T).
Grafický součet je celkem lehký, horší to bude s numerickým výpočtem.
Nyní, když jsme si graficky dokázali, že součet vektorů je nulový vektor, pojďme se pokusit dokázat totéž jinak než graficky. Označme si body M, N, O středy stran AB, BC, AC.
Naše úvaha bude založená na tom co víme o těžnicích a těžišti. Totiž, těžiště dělí těžnici v poměru 2:1 a toho využijeme abychom se zbavili bodu T a nahradili ho něčím jiným. Těžnice v tomto trojúhelníku můžeme vyjádřit jako CM, BO a AN, popř. C-M, B-O, A-N. Jak už jsme si řekli, těžiště dělí těžnici v poměru 2:1, stačí těžnici A-N vynásobit 2/3 a máme velikost vektoru A-T.
Určit souřadnice bodů M, N, O je hračka:
M = [(a1+b1)/2;(a2+b2)/2] N = [(c1+b1)/2;(c2+b2)/2] O = [(a1+c1)/2;(a2+c2)/2]
Stejně lehce můžeme vyjádřit vektory C-M, B-O, A-N:
C-M = (c1 - (a1+b1)/2; c2 - (a2+b2)/2) C-M = ((2c1 - a1-b1)/2;(2c2 - a2-b2)/2) B-O = (b1 - (a1+c1)/2; b2 - (a2+c2)/2) B-O = ((2b1 - a1-c1)/2;(2b2 - a2-c2)/2) A-N = (a1 - (b1+c1)/2; a2 - (b2+c2)/2) A-N = ((2a1 - b1-c1)/2;(2a2 - b2-c2)/2)
Nyní můžeme vektory C-M, B-O, A-N vynásobit 2/3 a vlastně tak získat vektory C-T, B-T, A-T:
C-T = 2/3 * (C - M) C-T = 2/3*((2c1 - a1-b1)/2;(2c2 - a2-b2)/2) C-T = ((2c1 - a1-b1)/3;(2c2 - a2-b2)/3) B-T = 2/3 * (B - O) B-T = 2/3 * ((2b1 - a1-c1)/2;(2b2 - a2-c2)/2) B-T = ((2b1 - a1-c1)/3;(2b2 - a2-c2)/3) A-T = 2/3 * (A - N) A-T = 2/3 * ((2a1 - b1-c1)/2;(2a2 - b2-c2)/2) A-T = ((2a1 - b1-c1)/3;(2a2 - b2-c2)/3)
Teď můžeme konečně dosadit do prvotního vzorce (A-T)+(B-T)+(C-T) naše výsledky:
o = (A-T)+(B-T)+(C-T) o = ((2a1 - b1-c1)/3;(2a2 - b2-c2)/3) + ((2b1 - a1-c1)/3;(2b2 - a2-c2)/3) + ((2c1 - a1-b1)/3;(2c2 - a2-b2)/3) o = ((2a1 - b1-c1)/3 + (2b1 - a1-c1)/3 + (2c1 - a1-b1)/3; (2a2 - b2-c2)/3 + (2c2 - a2-b2)/3 + (2c2 - a2-b2)/3) Můžeme vše vynásobit trojkou, zbavit se tak zlomků a po sečtení dostaneme: o = (0;0)
Čtvrtý příklad
Mějme trojúhelník ABC. V tomto trojúhelníku označme bod P jako střed strany BC. Dokažte, že platí: (B-A) + 2*(C-B)+3*(A-C) = 2*(A-P).
Bod P můžeme vyjádřit jako střed úsečky BC následovně:
P = [(b1+c1)/2; (b2+c2)/2]
Úpravou prvního vzorečku dostáváme:
(B-A) + 2*(C-B)+3*(A-C) = 2*(A-P) B-A + 2C-2B + 3A-3C = 2A - 2P
Pokud do toho vzorečku dosadíme naši vypočítanou souřadnici bodu P dostaneme:
B-A + 2C-2B + 3A-3C = 2A - 2P B-A + 2C-2B + 3A-3C = 2A - 2*[(b1+c1)/2; (b2+c2)/2] -B + 2A - C = 2A - [b1+c1; b2+c2] Pokud z obou stran vyjádříme výsledné vektory: (-b1+2a1-c1;-b2+2a2-c2) = (2a1-b1-c1;2a2-b2-c2)
Důkazem jsme dokázali pravdivost věty (B-A) + 2*(C-B)+3*(A-C) = 2*(A-P).
Pátý příklad
Určete velikosti vnitřních úhlů v trojúhelníku ABC s vnitřními úhly α, β a γ, jestliže: A[0;1], B[-1;2], C[1;3].
V minulém článku jsme se naučili počítat odchylku vektorů a toho právě využijeme při řešení tohoto příkladu.
cos α = (u*v)/(|u|*|v|)
Začneme úhlem u vrcholu A, teda α. Abychom tento úhel mohli určit, musíme určit vektory u=B-A a v=C-A. Zároveň musíme určit velikosti těchto vektorů:
u=B-A u=(-1;1) v=C-A v=(1;2) |u|2 = u12 + u22 |u| = 1.4 |v|2 = v12 + v22 |v| = 2.2 cos α = (u*v)/(|u|*|v|) cos α ≈ (-1+2)/(1.4*2.2) cos α ≈ 1/3.08 α ≈ 71°
Naprosto obdobně bychom postupovali i při počítání dalších úhlů, takže již to rozepisovat nebudu. Pokud by byli jakékoliv nejasnosti, ptejte se v komentářích.
Velikost úhlu β ≈ 71° a γ ≈ 38°.
