Články » SŠ Matematika » Geometrie » Analytická geometrie

Analytická geometrie - Vektory

Vydáno dne v kategorii Analytická geometrie; Autor: ; Počet přečtení: 48 309

Vektory, neboli orientované úsečky. V tomto článku si tyto pojmy vysvětlíme.


Ve fyzice jste se možná dozvěděli, že veličiny se dělí na skalární a vektorové. U skalárních veličin počítáme jenom velikost, zatímco u vektorových počítáme mimo jejich velikosti i jejich směr. Tento směr znázorňujeme právě vektory.

Orientovanou úsečku pojmenováváme obvykle podle jejího počátečního a koncového bodu (např AB.

Vektor

Ale pozor, dvě orientované úsečky mohou znázorňovat stejný vektor, ale musí splňovat dvě podmínky: 1) budou stejně velké 2)budou mít stejný směr.

Vektory

Z předchozího obrázku je jasné, že orientované úsečky AB a CD určují stejný vektor.

Měli bychom si také říci, že existuje takzvané nulové orientované úsečky. U těchto úseček je počáteční bod totožný s koncovým bodem.

Nyní si rozebereme další případ. Máme dvě orientované úsečky a my máme určit, zda určují stejný vektor.

Vektory

Tyto dvě orientované úsečky zřejmě určují stejný vektor, ale jak to dokázat? Řešením je doplnění na rovnoběžník a v rovnoběžníku, jak všichni víme, se úhlopříčky půlí. Takže pokud vytvořený útvar bude rovnoběžník, obě orientované úsečky určují stejný vektor.

Vektor

Pokud se úhlopříčky nepůlí, nejedná se o orientované úsečky, které by určovaly stejný vektor:

Vektor

Může nastat speciální případ, kdy není úplně jasné, zda se úhlopříčky půlí a přesto úsečky určují jeden vektor. Tento případ nastane pokud druhá orientovaná úsečka vznikla posunutím té první.

Vektor

Pokud máme dvě orientované úsečky AB a CD, které určují jeden vektor, můžeme zapsat rovnicemi:

(a1+d1)/2 =(b1+c1)/2
(a2+d2)/2 =(b2+c2)/2
Pokud pracujeme v prostoru ještě:(a3+d3)/2 =(b3+c3)/2

Tyto rovnice můžeme ještě upravit:

b1 - a1 = d1 - c1
b2 - a2 = d2 - c2
b3 - a3 = d3 - c3

Nyní nastal čas, abychom si definovali souřadnice vektoru u.

u=(u1;u2;u3)
u=(b1 - a1;b2 - a2;b3 - a3)

Samozřejmě, pokud pracujeme v rovině, vynecháváme třetí souřadnici.

Tento vzorec vede k tomu, že tuto orientovanou úsečku zapisujeme symbolicky ve tvaru u = B - A. Tedy pokud známe bod A a vektoru u, bod B dopočítáme jako B = A + u.

Nově nabité zkušenosti si také hned procvičíme na několika příkladech. V prostoru je dán bod A[1;3;7] a bod B[-1;1;2]. Určete souřadnice vektoru u=B-A.

u=(b1 - a1;b2 - a2;b3 - a3)
u=(-1-1;1-3;2-7)
u=(-2;-2;-5)

Je dán bod A[1;2;3] a vektor u = (5;-4;2). Určete souřadnice bodu B=A+u:

b1 = u1+a1
b2 = u2+a2
b3 = u3+a3
b1 = 6
b2 = -2
b3 = 5
B[6;-2;5]

To by pro dnešek stačilo. V dalším díle si řekneme něco o počítání s vektory.


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Funkce :


Hlavolam

Jak to tak bývá, zlý čaroděj uvěznil mudrce. A kdo by to čekal, dal mu šanci se zachránit, pokud splní úkol. Na stole je kulatý tác, kterým lze volně otáčet, a na něm čtyři mince do čtverce. Mudrc má zavázané oči, nic nevidí. Jeho úkolem je otočit mince tak, že bude na všech panna. Nemá to však jednoduché. Otočí jistý počet mincí, pak černokněžník tácem zatočí. Opět otočí nějaké mince a znovu se tácem náhodně otočí. Toto se opakuje, dokud nejsou všechny mince správně. V tu chvíli je hra zlotřilým čarodějem ukončena. Mudrc nepozná podle hmatu pannu od orla. Musí vždy mince nechat na svém místě, ve čtverci. A hlavně - kvůli zlé magii - má strašnou smůlu a pokud bude spoléhat jen na náhodu, tak úkol nikdy nesplní.