Články » SŠ Matematika » Geometrie » Analytická geometrie

Analytická geometrie - Vektory

Vydáno dne v kategorii Analytická geometrie; Autor: ; Počet přečtení: 42 677

Vektory, neboli orientované úsečky. V tomto článku si tyto pojmy vysvětlíme.


Ve fyzice jste se možná dozvěděli, že veličiny se dělí na skalární a vektorové. U skalárních veličin počítáme jenom velikost, zatímco u vektorových počítáme mimo jejich velikosti i jejich směr. Tento směr znázorňujeme právě vektory.

Orientovanou úsečku pojmenováváme obvykle podle jejího počátečního a koncového bodu (např AB.

Vektor

Ale pozor, dvě orientované úsečky mohou znázorňovat stejný vektor, ale musí splňovat dvě podmínky: 1) budou stejně velké 2)budou mít stejný směr.

Vektory

Z předchozího obrázku je jasné, že orientované úsečky AB a CD určují stejný vektor.

Měli bychom si také říci, že existuje takzvané nulové orientované úsečky. U těchto úseček je počáteční bod totožný s koncovým bodem.

Nyní si rozebereme další případ. Máme dvě orientované úsečky a my máme určit, zda určují stejný vektor.

Vektory

Tyto dvě orientované úsečky zřejmě určují stejný vektor, ale jak to dokázat? Řešením je doplnění na rovnoběžník a v rovnoběžníku, jak všichni víme, se úhlopříčky půlí. Takže pokud vytvořený útvar bude rovnoběžník, obě orientované úsečky určují stejný vektor.

Vektor

Pokud se úhlopříčky nepůlí, nejedná se o orientované úsečky, které by určovaly stejný vektor:

Vektor

Může nastat speciální případ, kdy není úplně jasné, zda se úhlopříčky půlí a přesto úsečky určují jeden vektor. Tento případ nastane pokud druhá orientovaná úsečka vznikla posunutím té první.

Vektor

Pokud máme dvě orientované úsečky AB a CD, které určují jeden vektor, můžeme zapsat rovnicemi:

(a1+d1)/2 =(b1+c1)/2
(a2+d2)/2 =(b2+c2)/2
Pokud pracujeme v prostoru ještě:(a3+d3)/2 =(b3+c3)/2

Tyto rovnice můžeme ještě upravit:

b1 - a1 = d1 - c1
b2 - a2 = d2 - c2
b3 - a3 = d3 - c3

Nyní nastal čas, abychom si definovali souřadnice vektoru u.

u=(u1;u2;u3)
u=(b1 - a1;b2 - a2;b3 - a3)

Samozřejmě, pokud pracujeme v rovině, vynecháváme třetí souřadnici.

Tento vzorec vede k tomu, že tuto orientovanou úsečku zapisujeme symbolicky ve tvaru u = B - A. Tedy pokud známe bod A a vektoru u, bod B dopočítáme jako B = A + u.

Nově nabité zkušenosti si také hned procvičíme na několika příkladech. V prostoru je dán bod A[1;3;7] a bod B[-1;1;2]. Určete souřadnice vektoru u=B-A.

u=(b1 - a1;b2 - a2;b3 - a3)
u=(-1-1;1-3;2-7)
u=(-2;-2;-5)

Je dán bod A[1;2;3] a vektor u = (5;-4;2). Určete souřadnice bodu B=A+u:

b1 = u1+a1
b2 = u2+a2
b3 = u3+a3
b1 = 6
b2 = -2
b3 = 5
B[6;-2;5]

To by pro dnešek stačilo. V dalším díle si řekneme něco o počítání s vektory.


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Derivace je rovna:


Hlavolam

Tři cestovatelé a tři jejich sluhové byli na výpravě po Indii. Jedno dne večer se šel ještě jeden z cestovatelů projít ven, když zaslechl, jak se sluhové radí, že své pány přepadnou zabijí a okradou. Jen musí počkat, až se nějakou náhodou cestovatelé rozdělí, aby sluhů na ně bylo víc. Cestovatelé totiž byli dobře ozbrojeni. Když to vyslechl, vrátil se zpět a než aby tropil rozruch, nechal si to pro sebe a dával jen pozor, aby se nikdy nerozdělili. Jenže druhého dne došli k řece, kterou bylo nutné překonat. Do pramice, jenž byla přivázána u břehu se však vešli jen dvě osoby. Jak to jen zařídit, aby ani na chvíli nebyl počet sluhů na kterémkoliv z břehů větší než počet cestovatelů?