Články » SŠ Matematika » Geometrie

Euklidova věta

Vydáno dne v kategorii Geometrie; Autor: ; Počet přečtení: 35 761

Euklidova věta je označení pro geometrická tvrzení o vlastnostech trojúhelníka pojmenovaná po svém objeviteli, řeckém matematikovi Euklidovi.


Euklidova věta funguje pouze na pravoúhlém trojúhelníku.

Pravoúhlý trojúhelník

Euklidova věta o výšce

Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka sestrojeného z obou úseků přepony.

vc2 = a2 - ca2
vc2 = b2 - cb2

Tato vzorce vycházejí z Pythagorovi věty a jejich důkaz není až zas tak složitý:

vc2 = a2 - ca2
vc2 = b2 - cb2
#Nyní oba vzorce sečteme
2*vc2 = a2 + b2- ca2 - cb2
2*vc2 = c2 - cb2 - (c-cb)2
2*vc2 = c2 - cb2 - (c2-2*c*cb+cb2)
2*vc2 = c2 - cb2 -c2+2*c*cb-cb2
2*vc2 = -2*cb2+2*c*cb
2*vc2 = 2*cb*(c-cb)
vc2 = cb*(c-cb)
#(c-cb) = ca
vc2 = cb*ca

Euklidova věta o odvěsně

Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka sestrojeného z přepony a úseku přepony k této odvěsně přilehlé.

a2 = c * ca
b2 = c * cb

Důkaz je ještě jednodušší, než důkaz Euklidovy věty o výšce.

a2 = vc2 + ca2
a2 = cb*ca + ca2
a2 = ca * (ca + cb)
a2 = ca * c

Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Vypočtěte


Hlavolam

Byl jednou jeden mladý kouzelník a ten se šíleně zamiloval do jediné dcery krále, kterému sloužil. Ta ho taky hrozně milovala (dokázal jí kdykoliv vykouzlit květiny :-). Ale otec král tomu vůbec nepřál. Chtěl pro svou dceru nějakého urozeného a bohatého ženicha a ne takového nekňubu, jako byl kouzelník (jak si myslel). Intrikami, se mu ho podařilo křivě obvinit z krádeže a uvrhnout do žaláře. Ale kouzelník byl moc populární mezi lidem a tak ho nemohl dát jen tak jednoduše popravit, jak by rád. Vymyslel tedy na něj lest: u soudu mu dal možnost losování vlastní smrti. Řekl: "Zde v klobouku jsou dvě kuličky: černá a bílá. Vylosuješ-li si bílou, budeš žít. Ale vytáhneš-li z klobouku černou, zemřeš." Vypadalo to jako férová šance, ale král, který nechtěl nic riskovat, mu tam dal obě kuličky černé. Kouzelník naštěstí nebyl hloupý a dovtípil se to. Jak to jenom navléct, aby přežil ...