Články » SŠ Matematika » Geometrie

Euklidova věta

Vydáno dne v kategorii Geometrie; Autor: ; Počet přečtení: 42 303

Euklidova věta je označení pro geometrická tvrzení o vlastnostech trojúhelníka pojmenovaná po svém objeviteli, řeckém matematikovi Euklidovi.


Euklidova věta funguje pouze na pravoúhlém trojúhelníku.

Pravoúhlý trojúhelník

Euklidova věta o výšce

Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka sestrojeného z obou úseků přepony.

vc2 = a2 - ca2
vc2 = b2 - cb2

Tato vzorce vycházejí z Pythagorovi věty a jejich důkaz není až zas tak složitý:

vc2 = a2 - ca2
vc2 = b2 - cb2
#Nyní oba vzorce sečteme
2*vc2 = a2 + b2- ca2 - cb2
2*vc2 = c2 - cb2 - (c-cb)2
2*vc2 = c2 - cb2 - (c2-2*c*cb+cb2)
2*vc2 = c2 - cb2 -c2+2*c*cb-cb2
2*vc2 = -2*cb2+2*c*cb
2*vc2 = 2*cb*(c-cb)
vc2 = cb*(c-cb)
#(c-cb) = ca
vc2 = cb*ca

Euklidova věta o odvěsně

Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka sestrojeného z přepony a úseku přepony k této odvěsně přilehlé.

a2 = c * ca
b2 = c * cb

Důkaz je ještě jednodušší, než důkaz Euklidovy věty o výšce.

a2 = vc2 + ca2
a2 = cb*ca + ca2
a2 = ca * (ca + cb)
a2 = ca * c

Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Vypočtěte


Hlavolam

Tři cestovatelé a tři jejich sluhové byli na výpravě po Indii. Jedno dne večer se šel ještě jeden z cestovatelů projít ven, když zaslechl, jak se sluhové radí, že své pány přepadnou zabijí a okradou. Jen musí počkat, až se nějakou náhodou cestovatelé rozdělí, aby sluhů na ně bylo víc. Cestovatelé totiž byli dobře ozbrojeni. Když to vyslechl, vrátil se zpět a než aby tropil rozruch, nechal si to pro sebe a dával jen pozor, aby se nikdy nerozdělili. Jenže druhého dne došli k řece, kterou bylo nutné překonat. Do pramice, jenž byla přivázána u břehu se však vešli jen dvě osoby. Jak to jen zařídit, aby ani na chvíli nebyl počet sluhů na kterémkoliv z břehů větší než počet cestovatelů?