Geometrická posloupnost a geometrická řada

Vydáno dne 24. 7. 2010 v kategorii SŠ Matematika; Autor: Jakub Vojáček; Počet přečtení: 129 252

Vysvětlíme si pojem geometrická posloupnost a geometrická řada a naučíme se s nimi pracovat.

Geometrická posloupnost je posloupnost čísel, jejíž poměr mezi dvěma po sobě jdoucích členech je konstantní.

Předchozí posloupnost je geometrická, protože každý následující člen získáme tak, že vynásobíme předchozí člen $frac{1}{2}$ . V podstatě lze tedy říci, že geometrická posloupnost by se dala zapsat ve tvaru:

Vyjádření členů geometrické posloupnosti

N-tý člen: $a_n = a_1 cdot q^{n - 1}$ , popř. $a_s = a_rq^{s - r}$
Rekurentní zadání: $a_n = a_{n - 1} cdot q$

Chování posloupnosti na základě kvocientu

Hodnota kvocientu () určuje, jakým způsobem se bude posloupnost chovat:

Kvocient je kladný → všechny členy posloupnosti budou mít stejné znamínko jako první člen.
Kvocient je záporný → znamínko dalších členů se bude střídat ze záporného na kladné a naopak.
Kvocient větší než jedna → členy posloupnosti se postupně budou blížit k nekonečnu.
Kvocient rovný jedné → všechny členy posloupnosti budou stejné
Kvocient mezi -1 a 1 ale ne rovný nule → členy posloupnosti se budou postupně blížit k nule.
Kvocient rovný mínus jedné → Všechny členy budou stejné, akorát jejich znamínka budou alternovat.
Kvocient menší než mínus jedna → Znamínka opět alternují; Hodnoty se blíží k mínus nekonečnu a plus nekonečnu.

1) Určete první pět členů geometrické posloupnosti, když a_1 = 2 a q = 4

Předpis pro n-tý člen geometrické posloupnosti jsme si už řekli → $a_n = a_1 cdot q^{n - 1}$ a proto prvních pět členů vypočítáme pouhým dosazením do tohoto vzorce:

2) V geometrické posloupnosti platí: $a_1+a_3\ =\ 5$ , $a_2+a_4\ =\ 10$ . Určete a_1 a

3) V geometrické posloupnosti je $a_1\ =\ \frac{1}{16}$ a $q\ =\ 2$ . Pro který člen platí $a_n\ +\ a_{n+3}\ =\ 2304$ ?

4) Dokažte, že čísla $\sqrt{5}\ -\ \sqrt{2},\ \sqrt{3},\ \sqrt{5}\ +\ \sqrt{2}$ jsou prvními třemi členy geometrické posloupnosti.

Nekonečná geometrická posloupnost

O několik odstavců výše jsme si vysvětlili, jak se chová geometrická posloupnost pro různého hodnoty kvocientu. Nás teď bude zajímat taková posloupnost, kde |q| lt 1 a budeme zkoumat, jak se budou členy posloupnosti chovat, budeme-li se blížit k nekonečnu. Budeme tedy počítat limitu posloupnosti (více o práci a počítání s limitami v článku Limity funkcí).


lim n*(1) / ( n*(1+n)) = lim n / n * lim 1 / ( 1 + 1/n) = 1*1 = 1
{lim}limits_{n 	o pminfty} frac{n}{n + 1} = {lim}limits_{n	o pminfty}frac{n}{n(1+frac{1}{n}} =  {lim}limits_{n 	o pminfty} frac{n}{n} cdot {lim}limits_{n 	o pminfty} frac{1}{1+frac{1}{n}} = 1 cdot 1 = 1

O tom, že jsme limitu určili správně se můžete přesvědčit na následujícím obrázku, kde je graf funkce $f(x): y = frac{x}{x + 1}$ . Jak vidíte, v plus i mínus nekonečnu se graf opravdu blíží k jedničce.

Geometrická řada

Součet členů geometrické posloupnosti se obvykle označuje jako geometrická řada.

Součet prvních n-členů geometrické řady lze vypočítat podle vzorce:

5) Určete součet prvních pěti členů geometrické řady, kde a_1 = 1 a q=2 .

6) V geometrické posloupnosti je $a_1\ =\ 7,\ q\ =\ 5$ . Určete n tak, aby platilo $S_n\ =\ 217$

7) Součet čtyř po sobě jdoucích členů geometrické posloupnosti je $S_n\ =\ 80$ . Určete je, víte-li, že poslední člen je devětkrát větší než druhý člen.

Nekonečná geometrická řada

Už jsme se setkali s nekonečnou geometrickou posloupností, kde jsme určovali limity jednotlivých posloupností. Ale proč bychom se měli zabývat nekonečnou geometrickou řadou, protože přece když sečtu nekonečně mnoho členů dostanu vždy nekonečnu. Ale pozor, není tomu tak, protože některé nekonečné geometrické řady konvergují ke konečnému číslu.

Geometrická řada je konvergentní pouze tehdy, je-li absolutní hodnota kvocientu menší jedné. Jinými slovy musí platit |q| lt 1 . Odvodíme si vzoreček pro určení sumy takové nekonečné geometrické řady:

My se snažíme určit S_n , když n o infty .

Rozložíme výraz na rozdíl dvou limit:

Jestliže víme, že |q| lt 1 , tak můžeme říct, že ${lim}limits_{n o infty}frac{a_1q^n}{1-q} = 0$ . Tím pádem získáváme vzoreček pro nekonečnou geometrickou řadu:

8) Je dána geometrická řada $8,\ 2,\ \frac{1}{2},\ \cdots$ . Určete její součet.

9) Je zadán rovnostranný trojúhelník ABC o délce strany a = 2. Do tohoto trojúhelníku je vepsán další trojúhelník tak, že jeho vrcholy jsou ve středu stran trojúhelníka ABC a podobně je do tohoto trojúhelníku vepsán další trojúhelník atd. Určete součet obvodů a obsahů těchto trojúhelníků.

10) Vyjádřete číslo $0.7777\ldots$ jako zlomek.