Hornerovo schéma je tabulka, ve které se rychle spočítá hodnota mnohočlenu `P(x)` v daném čísle `c` a zároveň se mnohočlen vydělí dvojčlenem `x-c`. Do horního řádku se napíšou koeficienty mnohočlenu, první z nich se opíše dolů a pak se pořád dokola opakuje jediný krok:

`\text{nové}=\text{koeficient}+c\cdot\text{předchozí}`

Poslední číslo spodního řádku je hodnota `P(c)`, a tedy i zbytek po dělení dvojčlenem `x-c`. Čísla před ním jsou koeficienty podílu. Když poslední číslo vyjde nula, je `c` kořen mnohočlenu. Postupu se také říká Hornerova metoda nebo syntetické dělení.

Hodí se proto na tři věci, které se v 1. a 2. ročníku střední školy počítají pořád dokola:

  • hodnota mnohočlenu v čísle `c`, bez počítání mocnin,
  • dělení mnohočlenu dvojčlenem `x-c` nebo `ax+b`, rychleji než klasické dělení pod sebou,
  • hledání kořenů a rozklad na součin, tedy řešení rovnic třetího a vyššího stupně.

Celé se to počítá jen násobením a sčítáním. Hotovou tabulku pro vlastní zadání vyplní kalkulačka Hornerova schématu, i s každým mezivýsledkem, takže se podle ní dá zkontrolovat ruční výpočet.

Postup krok za krokem

Příklad 1

Vydělte `(x^3+3x^2-5):(x+1)`.

1. Koeficienty. Mnohočlen se seřadí od nejvyšší mocniny a opíšou se všechny koeficienty, i nulové. Člen s `x` tu chybí, takže koeficienty jsou `1,\ 3,\ 0,\ {-5}`. Bez té nuly by vyšel nesmysl.

2. Číslo c. Dělí se dvojčlenem `x+1=x-(-1)`, takže `c=-1`. Je to kořen dělitele, tedy číslo, pro které je `x+1=0`. Znaménko se otáčí.

3. Počítání. První koeficient 1 se opíše dolů. Pak se spodní číslo vynásobí číslem `-1`, výsledek se zapíše do prostředního řádku o sloupec dál a sloupec se sečte. Tak pořád dokola až do konce:

−1130−5−1−2212−2−3

Modré šipky jsou násobení číslem `-1`, sčítá se vždy svisle ve sloupci. Postupně: `1\cdot(-1)=-1` a `3+(-1)=2`, pak `2\cdot(-1)=-2` a `0+(-2)=-2`, nakonec `-2\cdot(-1)=2` a `-5+2=-3`. V zápisu, jaký se píše do sešitu, je zbytek v rámečku:

`\begin{array}{r|rrrr} & 1 & 3 & 0 & -5 \\
-1 &  & -1 & -2 & 2 \\ \hline
 & 1 & 2 & -2 & \boxed{-3}\end{array}`

4. Výsledek. Spodní řádek `1,\ 2,\ {-2}` jsou koeficienty podílu, který má stupeň o jedna menší než dělenec, a poslední číslo `-3` je zbytek:

`\begin{gathered}(x^3+3x^2-5):(x+1)=x^2+2x-2\\[4pt]\text{zbytek}\ {-3}\\[4pt]x^3+3x^2-5=(x+1)(x^2+2x-2)-3\end{gathered}`

Zkouška roznásobením: `(x+1)(x^2+2x-2)` je `x^3+2x^2-2x+x^2+2x-2`, tedy `x^3+3x^2-2`, a když se odečtou 3, vyjde `x^3+3x^2-5`. Sedí. Zároveň `P(-1)=-1+3-5=-3`, to je ten zbytek.

V některých učebnicích se prostřední řádek nepíše a násobí se z hlavy. Počítá se úplně stejně, jen se do sešitu píšou dva řádky místo tří.

Proč to funguje

Mnohočlen se dá postupně uzávorkovat tak, že se z něj vytýká `x`:

`\begin{aligned}P(x)&=x^3+3x^2+0x-5\\ &=\big((1\cdot x+3)\cdot x+0\big)\cdot x-5\end{aligned}`

Tomu se říká Hornerův tvar mnohočlenu. Když se do něj dosadí `x=-1` a počítá se od vnitřní závorky ven, vycházejí přesně čísla spodního řádku: `1`, pak `1\cdot(-1)+3=2`, pak `2\cdot(-1)+0=-2` a nakonec `-2\cdot(-1)-5=-3`. Schéma tedy není žádný trik, jen úhledný zápis tohoto výpočtu.

Proč je poslední číslo zároveň zbytek? Po vydělení dvojčlenem `x-c` platí pro každé `x`

`P(x)=(x-c)\cdot Q(x)+r`

a po dosazení `x=c` první člen zmizí, protože `c-c=0`. Zbude `P(c)=r`. Zbytek po dělení dvojčlenem `x-c` je tedy vždy hodnota mnohočlenu v čísle `c` (tomu se říká věta o zbytku). A když je `P(c)=0`, dělení vyjde beze zbytku a `P(x)=(x-c)\cdot Q(x)`. Dvojčlenu `x-c` se pak říká kořenový činitel.

Úspora je znát hlavně u vyšších stupňů. Mnohočlen stupně `n` se schématem spočítá na `n` násobení a `n` sčítání a žádná mocnina se nepočítá. Proto takhle počítají hodnotu mnohočlenu i počítače.

Hodnota mnohočlenu v bodě

Příklad 2

Spočítejte hodnotu mnohočlenu `P(x)=-5x^4+4x^2-3x+4` pro `x=3`.

Koeficienty jsou `-5,\ 0,\ 4,\ {-3},\ 4` (nula za chybějící `x^3`) a `c=3`:

`\begin{array}{r|rrrrr} & -5 & 0 & 4 & -3 & 4 \\
3 &  & -15 & -45 & -123 & -378 \\ \hline
 & -5 & -15 & -41 & -126 & \boxed{-374}\end{array}`

Tedy `P(3)=-374`. Mocniny se počítat nemusely, stačila čtyři násobení trojkou.

Kontrola dosazením: `-5\cdot 81+4\cdot 9-3\cdot 3+4` je `-405+36-9+4=-374`. Stejné číslo, jen s mocninou `3^4` a víc příležitostmi splést se.

Ze stejné tabulky vyšlo zadarmo i dělení: podíl `(-5x^4+4x^2-3x+4):(x-3)` je `-5x^3-15x^2-41x-126` a zbytek `-374`.

Dvě hodnoty se dají zkontrolovat úplně bez počítání: `P(0)` je absolutní člen a `P(1)` je součet všech koeficientů. Tady `P(0)=4` a `P(1)=-5+0+4-3+4=0`, takže 1 je kořen tohoto mnohočlenu. Dosazování si můžete natrénovat v procvičování hodnoty mnohočlenu.

Hledání kořenů a rozklad na součin

Rovnice třetího a vyššího stupně se ve škole řeší tak, že se jeden kořen uhodne, Hornerovým schématem se jím mnohočlen vydělí a zbude rovnice o stupeň nižší. Hádá se ale chytře:

  • Má-li mnohočlen celočíselné koeficienty a vedoucí koeficient 1, jsou jeho celočíselné kořeny dělitelé absolutního členu, kladní i záporní.
  • Obecně je racionální kořen zlomek `\dfrac{p}{q}` v základním tvaru, kde `p` dělí absolutní člen a `q` dělí vedoucí koeficient.

Kandidáty stačí po jednom zkoušet ve schématu. Vyjde-li na konci nula, kořen je nalezený a spodní řádek je rovnou mnohočlen, se kterým se pokračuje.

Příklad 3

Vyřešte rovnici `x^3-2x^2-5x+6=0` a rozložte levou stranu na součin.

Absolutní člen je 6, kandidáti jsou `\pm 1,\ {\pm 2},\ {\pm 3},\ {\pm 6}`. Zkusíme `-1`:

`\begin{array}{r|rrrr} & 1 & -2 & -5 & 6 \\
-1 &  & -1 & 3 & 2 \\ \hline
 & 1 & -3 & -2 & \boxed{8}\end{array}`

Zbytek 8, takže `-1` kořen není. Zkusíme `1`:

`\begin{array}{r|rrrr} & 1 & -2 & -5 & 6 \\
1 &  & 1 & -1 & -6 \\ \hline
 & 1 & -1 & -6 & \boxed{0}\end{array}`

Nula, `x_1=1` je kořen. Spodní řádek `1,\ {-1},\ {-6}` je podíl `x^2-x-6`, takže

`x^3-2x^2-5x+6=(x-1)(x^2-x-6)`

Zbylou kvadratickou rovnici `x^2-x-6=0` vyřeší diskriminant nebo rozklad: `x^2-x-6=(x-3)(x+2)`. Schéma se ale dá stejně dobře použít i na ni, rovnou pod první tabulkou (kořen 3):

`\begin{array}{r|rrrr} & 1 & -2 & -5 & 6 \\
1 &  & 1 & -1 & -6 \\ \hline
 & 1 & -1 & -6 & \boxed{0} \\
3 &  & 3 & 6 &  \\ \hline
 & 1 & 2 & \boxed{0} &\end{array}`

Zůstal řádek `1,\ 2`, tedy `x+2`, a poslední kořen je `-2`. Výsledek:

`\begin{gathered}x^3-2x^2-5x+6=(x-1)(x-3)(x+2)\\[4pt]K=\{-2;\ 1;\ 3\}\end{gathered}`

Zkouška obrázkem: graf funkce `y=x^3-2x^2-5x+6` protíná osu `x` právě v bodech `-2`, `1` a `3`. Osu `y` protíná v bodě `[0;\ 6]`, což je absolutní člen.

−6−4−224824 −213[0; 6]y = x³ − 2x² − 5x + 6

Příklad 4: dvojnásobný kořen

Rozložte na součin `x^3-3x+2`.

Koeficienty `1,\ 0,\ {-3},\ 2`, kandidáti `\pm 1,\ {\pm 2}`. Jednička vyjde, a když se na podíl zkusí znovu, vyjde zase:

`\begin{array}{r|rrrr} & 1 & 0 & -3 & 2 \\
1 &  & 1 & 1 & -2 \\ \hline
 & 1 & 1 & -2 & \boxed{0} \\
1 &  & 1 & 2 &  \\ \hline
 & 1 & 2 & \boxed{0} &\end{array}`

Kořen 1 je dvojnásobný a zbyl dvojčlen `x+2`. Rozklad je tedy

`x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)`

Proto se nalezený kořen vyplatí zkusit ještě jednou, než se přejde na další kandidáty. Rovnice `x^3-3x+2=0` má jen dva různé kořeny, 1 a `-2`. Kořeny i s násobností najde kalkulačka kořenů mnohočlenu, která mnohočlen rovnou rozloží na součin.

Dělení dvojčlenem ax + b

Schéma umí jen dělitele tvaru `x-c`. Když má `x` v děliteli jiný koeficient než 1, spočítá se nejdřív schéma s kořenem dělitele `c` (tedy dělení dvojčlenem `x-c`) a koeficienty podílu se pak vydělí číslem a. Zbytek se nedělí.

Příklad 5

Vydělte `(4x^3+2x^2+4x-2):(2x-1)`.

Kořen dělitele: `2x-1=0`, tedy `c=\frac{1}{2}`.

`\begin{array}{r|rrrr} & 4 & 2 & 4 & -2 \\
\frac{1}{2} &  & 2 & 2 & 3 \\ \hline
 & 4 & 4 & 6 & \boxed{1}\end{array}`

To je dělení dvojčlenem `x-\frac{1}{2}`: podíl `4x^2+4x+6`, zbytek 1. Protože `2x-1=2\left(x-\frac{1}{2}\right)`, dvojka se přesune do podílu:

`\begin{gathered}4x^3+2x^2+4x-2=\left(x-\tfrac{1}{2}\right)(4x^2+4x+6)+1\\[10pt]4x^3+2x^2+4x-2=(2x-1)(2x^2+2x+3)+1\end{gathered}`

Podíl je tedy `2x^2+2x+3` a zbytek zůstal `1`. Zkouška: součin `(2x-1)(2x^2+2x+3)` je `4x^3+2x^2+4x-3` a po přičtení zbytku 1 vyjde původní dělenec.

Pro dělitele stupně dva a víc, třeba `x^2+1`, schéma nestačí. Tam se dělí klasicky pod sebou, jak to popisuje článek Dělení mnohočlenů, nebo v kalkulačce dělení mnohočlenů.

Časté chyby

  • Chybí nula za chybějící mocninu. U `x^3-5` jsou koeficienty `1,\ 0,\ 0,\ {-5}`, ne `1,\ {-5}`. Kontrola: koeficientů musí být o jeden víc, než je stupeň.
  • Špatné znaménko čísla c. Při dělení `x+3` je `c=-3`, při dělení `x-3` je `c=3`. Do schématu patří kořen dělitele, ne číslo, které je v závorce vidět.
  • Odčítání místo sčítání. Při dělení pod sebou se odčítá, v Hornerově schématu se sčítá. Znaménko už je schované v čísle `c`.
  • Zbytek jako koeficient podílu. Poslední číslo je zbytek, podíl má o jeden člen méně. Z `1,\ 2,\ {-2},\ {-3}` je podíl `x^2+2x-2`, ne `x^3+2x^2-2x-3`.
  • Dělení ax + b bez vydělení číslem a, nebo naopak vydělený i zbytek. Ověří se to snadno zkouškou: podíl krát dělitel plus zbytek musí dát dělenec.
  • Zkoušení kandidátů bez systému. Kořen celočíselného mnohočlenu s vedoucím koeficientem 1 musí dělit absolutní člen. Číslo, které ho nedělí, nemá smysl zkoušet.

Odkud má schéma jméno

Metodu popsal anglický matematik William George Horner v roce 1819 a už na začátku 19. století Ital Paolo Ruffini, proto se jí v některých zemích říká Ruffiniho pravidlo. Známá byla ale mnohem dřív: používal ji Isaac Newton kolem roku 1669 a podobným postupem počítali už perský matematik Šaraf ad-Dín at-Túsí ve 12. století a čínský matematik Čchin Ťiou-šao ve 13. století.

Příklady k procvičení

1. Hornerovým schématem spočítejte `P(2)` pro `P(x)=x^4-3x^3+2x-5`.

2. Vydělte `(x^3-4x+7):(x+3)` a výsledek zapište ve tvaru dělitel krát podíl plus zbytek.

3. Je číslo `-2` kořenem mnohočlenu `x^4+2x^3-x-2`? Pokud ano, napište podíl.

4. Vyřešte rovnici `x^3-7x+6=0`.

5. Rozložte na součin `2x^3-3x^2-11x+6`.

6. Hrany kvádru jsou tři po sobě jdoucí celá čísla v centimetrech a jeho objem je `60\ \mathrm{cm^3}`. Jak dlouhé jsou hrany?

Kam dál