Přejít na matematické fórum Připravili jsme pro Vás zbrusu nové fórum a jsme připravení odpovídat na Vaše otázky!


Články » SŠ Matematika

Hornerovo schéma

Vydáno dne v kategorii SŠ Matematika; Autor: ; Počet přečtení: 53 973

Efektivní metoda jak vyhodnotit mnohočlen v jejich mónické formě.


V podstatě se jedná o velmi jednoduchou metodu Dělení mnohočlenů s tím rozdílem, že je možné dělit pouze lineárními mnohočleny - tedy mnohočleny s nejvyšším stupněm jedna.

Možná si říkáte, k čemu je užitečné dělení pouze lineárními mnohočleny. Odpověď je jednoduchá. Pokud chcete určit funkční hodnotu f(x) v bodě z a nemáte po ruce kalkulátor, stačí, když vydělíte a zbytek bude funkční hodnota v bodě z. Díky tomuto můžete zjistit, je-li z řešením rovnice f(x)=0. Pokud je, bude funkční hodnota rovna nule a tím pádem bude i zbytek roven nule.

Tento algoritmus je pojmenován po William Hornerovi, který ho popsal v roce 1819. Tato metoda ale již byla známá v roce 1669 Issacu Newtonovi. Existují dokonce záznamy z 12 a 13 století, kdy se touto metodou zabývali čínský matematik Qin Jiushao a matematika z Persie Sharaf Dīn al-Tūsī.

1) Postup si vysvětlíme na příkladu .


Do prvního políčka tabulky patří hodnota proměnné x po vypočítání rovnice dělitel = 0. Dělitel je x+1 a proto x=-1. Za tímto číslem vždy uděláme čáru, abychom ho oddělili od ostatních čísel. Ty další čísla jsou koeficienty jednotlivých členů dělence seřazeného podle stupně proměnné x. Všimněte si, že v dělence není člen ax. Tedy on tam je, ale koeficient je roven nule a proto ho ani nepíšeme. Ale pokud dělíme mnohočleny syntetickým dělením, nesmíme tam tu nulu zapomenout napsat. Další krok je vynechání jednoho řádku a opsání prvního koeficientu dělence na třetí řádek:


Nyní vynásobte opsané číslo tím číslem před lomenou čárou (v našem případě -1) a výsledek napište do druhého řádku do dalšího sloupce:


Sečtěte čísla v tom sloupci, do kterého jste napsali poslední číslo a výsledek napište pod tyto čísla do třetího řádku:


Jeden cyklus dokončen. Opakováním tohoto postupu brzy získáte výsledek.


Další cyklus:

Již není co počítat, tudíž jsme hotovi! Ve třetím řádku je výsledek dělení. Stačí když za každé číslo dopíšeme proměnnou x patřičného stupně. Pokud nejvyšší stupeň dělence byl xn tak první člen výsledku bude xn-1. Výsledek tedy je:


Poslední číslo ve třetím řádku je vždy zbytek. Další způsob jak zapsat výsledek by mohl být .

2) Přestože se vám může zdát moje vysvětlování trochu krkolomné, brzy poznáte, že tento způsob je daleko jednodušší a hlavně rychlejší. Procvičit si to můžete na více příkladech - vypočítejte .


Výsledek je .

3) Určete funkční hodnotu funkce v bodě x=1. Vydělíme tedy mnohočleny .


Zbytek je -4 funkční hodnota tedy je f(1) = -4. Dokazuje to i následující graf:

4) Otestujte, zda je 1 řešením rovnice .



Zbytek je 0 a proto je 1 řešením dané rovnice.

5) Vydělte mnohočlen mnohočlenem (2x-1).

Trochu se nám zkomplikovala situace, ale nevadí. I toto se dá velmi lehce vyřešit. Začneme úplně stejně,, jako vždy.


Jelikož jsme ale nepočítali s celým číslem, ale se zlomkem, ještě nejsme hotovi. Nyní musíme každý člen výsledky vydělit jmenovatelem čísla, kterým jsme dělili, tedy 2:


Všimněte si, že zbytek dvěma nedělíme

Výsledek tedy je

6) Vydělte mnohočlen mnohočlenem (3x+2).


Výsledek tedy je .


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Jsou dány vektory , a . Najděte vektor .


Hlavolam

Jak to tak bývá, zlý čaroděj uvěznil mudrce. A kdo by to čekal, dal mu šanci se zachránit, pokud splní úkol. Na stole je kulatý tác, kterým lze volně otáčet, a na něm čtyři mince do čtverce. Mudrc má zavázané oči, nic nevidí. Jeho úkolem je otočit mince tak, že bude na všech panna. Nemá to však jednoduché. Otočí jistý počet mincí, pak černokněžník tácem zatočí. Opět otočí nějaké mince a znovu se tácem náhodně otočí. Toto se opakuje, dokud nejsou všechny mince správně. V tu chvíli je hra zlotřilým čarodějem ukončena. Mudrc nepozná podle hmatu pannu od orla. Musí vždy mince nechat na svém místě, ve čtverci. A hlavně - kvůli zlé magii - má strašnou smůlu a pokud bude spoléhat jen na náhodu, tak úkol nikdy nesplní.