Články » SŠ Matematika » Geometrie » Analytická geometrie

Souřadnice vrcholů trojúhelníka ABC

Vydáno dne v kategorii Analytická geometrie; Autor: ; Počet přečtení: 9 170

Návod, jak se vypočítají vrcholy trojúhelníka, známe-li středy stran.


Známe středy trojúhelníku ABC:

As=[1; 6]
Bs=[4; 5]
Cs=[0; 3]

Najděte souřadnice vrcholů tohoto trojúhelníka.

Řešení

Začneme tím, že vyřešíme xové souřadnice bodů ABC a to tak, že si sestavíme soustavu tří rovnic:

Naše úvaha vychází z toho, že střed nalezneme: 
pro bod As → `1=\frac{C_x+B_x}{2}\`
pro bod Bs → `4=\frac{C_x+A_x}{2}\`
pro bod Cs → `0=\frac{A_x+B_x}{2}\`

Po dosazení a vynásobení levých stran rovnic dvěma dostaneme tyto jednoduché tři rovnice :

2=Cx+Bx
8=Cx+Ax
0=Ax+Bx

Dalšími úpravami získáme: Cx=5, Bx=-3 a Ax=3. Zbývá tedy vyřešit yové souřadnice vrcholů.

Abychom tyto souřadnice získali, budeme postupovat stejným postupem.

pro bod As → `6=\frac{C_y+B_y}{2}`
pro bod Bs → `5=\frac{C_y+A_y}{2}`
pro bod Cs → `3=\frac{A_y+B_y}{2}`

Po dosazení a vynásobení levých stran rovnic dvěma dostaneme tyto jednoduché tři rovnice :

12=Cy+By
-10=-Cy-Ay
6=Ay+By

Dalšími úpravami získáme:

Ay = 2
By = 4
Cy = 8

Výsledek

Jelikož už známe x-ové a y-ové souřadnice vrcholů, můžeme tyto body zapsat:

A=[3;2]; B=[-3;4]; C=[5;8]

Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Spočítejte


Hlavolam

Dvě města A a B jsou od sebe vzdálena 90km. Z města A do města B vyjede vlak rychlostí 60km/h. V tu samou chvíli vyjede z města B vlak do města A po té samé koleji (na ty nádražáky už vážně není vůbec spolehnutí) stejnou rychlostí. Ve chvíli, kdy se vlaky rozjedou vstříc jisté zkáze, z předního okna (u strojvůdce) vlaku jedoucího z A do B vystartuje moucha cestovatelka rychlostí 100km/h a letí vstříc druhému vlaku. Ve chvíli, kdy k němu doletí, dotkne se nožkou jeho předního skla a letí zpátky. Takto moucha lítá mezi vlaky než jí rozmáčknou na placku. Úkolem je zjistit (samozřejmě z hlavy), kolik kilometrů moucha celkem nalétala.