Přejít na matematické fórum Připravili jsme pro Vás zbrusu nové fórum a jsme připravení odpovídat na Vaše otázky!


Články » SŠ Matematika » Funkce

Vlastnosti funkcí

Vydáno dne v kategorii Funkce; Autor: ; Počet přečtení: 32 840

Ještě než se pustíte do lineárních, kvadratických či jiných funkcí, vyjmenuji vám a vysvětlím vlastnosti těchto funcí, jak je zjistíte a jak zapíšete.


V článku Funkce a jejich grafy jsem hovořil o dvou základních vlastnostech funkce - o definičním oboru a oboru hodnot. O těchto dvou prvcích už nebudu mluvit a přejdu rovnou k dalšímu bodu v plánu.

Rostoucí, klesající a prosté funkce

Základ je jednoduchý - rostoucí funkce je tam kde se zvyšuje její hodnota v oboru hodnot a klesající kde se její hodnota v oboru hodnot snižuje. Prostá funkce není omezená, tudíž se nedá říct, kde je rostoucí a kde klesající. Když není funkce prostá, je v určitém úseku (na ose x) rostoucí nebo klesající nebo někde rostoucí a někde klesající.

Rostoucí funkce:

- každé x náleží definičnímu oboru funkce

a - má v definičním oboru i v oboru hodnot nižší hodnotu než

Rostoucí funkce

Klesající funkce:

- každé x náleží definičnímu oboru funkce

a - má v definičním oboru nižší hodnotu než , ale v oboru hodnot je tomu naopak

Klesající funkce

Z příkladu je patrné, že funkce je rostoucí i klesající. Klesající je v intervalu a rostoucí v intervalu a tyto hodnoty jsou výsledky, kde je funkce klesající a kde rostoucí. Základním předpokladem rostoucích/klesajících funkcí je, že funkce není přímka (pak by byla funkcí prostou), ale že je v některém místě řekněme laicky zlomená nebo ohnutá a nebo také omezená (o omezenosti níže).

Prostá funkce:

- každé x náleží definičnímu oboru funkce

a - mezi dvěma body na grafu a jejich hodnotami v definičním oboru a oboru hodnot není žádný vztah

Prostá funkce

Sudost a lichost funkcí

Sudost a lichost funkce se určuje podle hodnoty určitého bodu v definičním oboru i oboru hodnot. Přejdu rovnou k věci.

Sudá funkce:

platí - pro každé v definičním oboru platí, že jeho záporná i kladná hodnota v definičním oboru má stejnou hodnotu v oboru hodnot => graf je osově souměrný podle osy y

 Sudá funkce

Lichá funkce

platí - pro každé v definičním oboru platí, že jeho hodnota v definičním oboru je rovna hodnotě v oboru hodnot => graf je souměrný podle počátku

Lichá funkce

Omezenost funkcí

Omezenost se určuje podle hodnoty v oboru hodnot (podle hodnoty na ose y). Funkce může být omezená shora nebo zdola podle toho, jak je "otočená".

V grafech níže je funkce omezená zdola pětkou (nahoře) a funkce omezená shora čtyřkou (dole).

Funkce omezená zdola
Funkce omezená zhora

Doufám, že je smysl omezenosti z obrázků dobře patrný a není ho třeba dále rozvádět.

Minima a maxima

Určuje hodnotu z definičního oboru, kde je nabývá funkce nejnižší/nejvyšší hodnoty. Ale ne až tak úplně - lépe řečeno jsou to body, kde se funkce mění v rostoucí na klesající (pak je to maximum) nebo z klesající na rostoucí (pak je to minimum).

Minima a maxima funkce

Tato funkce má minima v hodnotách -3, -1 , 1, 3 a maxima v hodnotách -2, 1, 2. Teď doufám, že je vše kolem vlastností funkcí jasné a těším se s vámi na příští část věnovanou lineárním funkcím.


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Nalezněte asymptoty se směrnicí funkce


Hlavolam

Tři lidé byli zajati divochy na opuštěném ostrově. Přivazali je ke kůlům v řadě za sebou, takže ten poslední viděl ty dva před sebou, prostřední viděl jen jednoho a první neviděl nic. Náčelník jim chtěl dát možnost na přežití, tak jim řekl: - Jste přivázáni ke třem kůlům, přičemž dva jsou bílé a jeden černý nebo dva černé a jeden bílý. Jestli kdokoliv z vás uhodne, k jakému sloupu je přivázán, všechny vás pustíme. Jak se dostat na svobodu? Není to zase tak těžké ...