Přejít na matematické fórum Připravili jsme pro Vás zbrusu nové fórum a jsme připravení odpovídat na Vaše otázky!


Články » SŠ Matematika » Funkce

Vlastnosti funkcí

Vydáno dne v kategorii Funkce; Autor: ; Počet přečtení: 29 526

Ještě než se pustíte do lineárních, kvadratických či jiných funkcí, vyjmenuji vám a vysvětlím vlastnosti těchto funcí, jak je zjistíte a jak zapíšete.


V článku Funkce a jejich grafy jsem hovořil o dvou základních vlastnostech funkce - o definičním oboru a oboru hodnot. O těchto dvou prvcích už nebudu mluvit a přejdu rovnou k dalšímu bodu v plánu.

Rostoucí, klesající a prosté funkce

Základ je jednoduchý - rostoucí funkce je tam kde se zvyšuje její hodnota v oboru hodnot a klesající kde se její hodnota v oboru hodnot snižuje. Prostá funkce není omezená, tudíž se nedá říct, kde je rostoucí a kde klesající. Když není funkce prostá, je v určitém úseku (na ose x) rostoucí nebo klesající nebo někde rostoucí a někde klesající.

Rostoucí funkce:

- každé x náleží definičnímu oboru funkce

a - má v definičním oboru i v oboru hodnot nižší hodnotu než

Rostoucí funkce

Klesající funkce:

- každé x náleží definičnímu oboru funkce

a - má v definičním oboru nižší hodnotu než , ale v oboru hodnot je tomu naopak

Klesající funkce

Z příkladu je patrné, že funkce je rostoucí i klesající. Klesající je v intervalu a rostoucí v intervalu a tyto hodnoty jsou výsledky, kde je funkce klesající a kde rostoucí. Základním předpokladem rostoucích/klesajících funkcí je, že funkce není přímka (pak by byla funkcí prostou), ale že je v některém místě řekněme laicky zlomená nebo ohnutá a nebo také omezená (o omezenosti níže).

Prostá funkce:

- každé x náleží definičnímu oboru funkce

a - mezi dvěma body na grafu a jejich hodnotami v definičním oboru a oboru hodnot není žádný vztah

Prostá funkce

Sudost a lichost funkcí

Sudost a lichost funkce se určuje podle hodnoty určitého bodu v definičním oboru i oboru hodnot. Přejdu rovnou k věci.

Sudá funkce:

platí - pro každé v definičním oboru platí, že jeho záporná i kladná hodnota v definičním oboru má stejnou hodnotu v oboru hodnot => graf je osově souměrný podle osy y

 Sudá funkce

Lichá funkce

platí - pro každé v definičním oboru platí, že jeho hodnota v definičním oboru je rovna hodnotě v oboru hodnot => graf je souměrný podle počátku

Lichá funkce

Omezenost funkcí

Omezenost se určuje podle hodnoty v oboru hodnot (podle hodnoty na ose y). Funkce může být omezená shora nebo zdola podle toho, jak je "otočená".

V grafech níže je funkce omezená zdola pětkou (nahoře) a funkce omezená shora čtyřkou (dole).

Funkce omezená zdola
Funkce omezená zhora

Doufám, že je smysl omezenosti z obrázků dobře patrný a není ho třeba dále rozvádět.

Minima a maxima

Určuje hodnotu z definičního oboru, kde je nabývá funkce nejnižší/nejvyšší hodnoty. Ale ne až tak úplně - lépe řečeno jsou to body, kde se funkce mění v rostoucí na klesající (pak je to maximum) nebo z klesající na rostoucí (pak je to minimum).

Minima a maxima funkce

Tato funkce má minima v hodnotách -3, -1 , 1, 3 a maxima v hodnotách -2, 1, 2. Teď doufám, že je vše kolem vlastností funkcí jasné a těším se s vámi na příští část věnovanou lineárním funkcím.


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Maximum funkce na intervalu <-3, 0> je:


Hlavolam

Zkuste zjistit, jak pokračuje tato posloupná řada: J, D, T, Č, P, Š, S, ... PS: je to tak trošku chyták, s prostou logikou tady asi nevystačíte. Ale má to řešení a to docela vtipně jednoduché. Opravdu.