Analytická geometrie - Metrické úlohy v prostoru

Vzdálenost bodu od přímky

Podobnou úlohu jsme řešili už v rovině a proto by neměl být problém se naučit něco podobného v prostoru. Určete vzdálenost bodu Q[7;1;9] od přímky p(P, u), kde P[1;3;-1], u=(4;1;3).

V rovině jsme postupovali, tak že jsme nalezli přímku kolmou na původní, určili jejich průsečík a určili vzdálenost vzniknuvšího průsečíku od daného bodu. V prostoru budeme postupovat vlastně celkem obdobně. Nejprve určíme parametrickou rovnici zadané přímky, pak z podmínky (X-Q)*u=0 určíme hodnotu parametru t a dosazením toho parametru do parametrické rovnice přímky t získáme hledaný bod X. Pak stačí spočítat vzdálenost bodu X od bodu Q a je to.

Parametrická rovnice přímky p:
x=1+4t
y=3+t
z=-1+3t
w=X-Q
w=(1+4t-7;3+t-1;-1+3t-9)
w=(4t-6;2+t;3t-10)

Vektor w musí být kolmý na vektor u a proto jejich skalární součin musí být roven nule:

u*w=0
(4t-6)*4+(2+t)*1+(3t-10)*3 = 0
t=2

Získali jsme hodnotu parametru t. Jeho dosazením do parametrické rovnice přímky p získáme souřadnice bodu X.

x=1+4*2
y=3+2
z=-1+3*2
X[9;5;5]

Výsledek je vzdálenost bodů X, Q.

|QX| = 6

2) Určete vzdálenost bodu P[1;9;5] od přímky p(A[1;2;4], B[0;5;5]).

Je to případ velmi podobný tomu předchozímu, akorát s jinými čísly. Abych tady nepsal vlastně stejný postup, ukážeme si ještě jednu možnost jak se dá určit vzdálenost bodu od přímky. Daným bodem P povedeme rovinu ρ kolmou na přímku p. Určíme průsečík přímky a roviny ρ. Výsledek bude roven vzdálenosti bodu P a vzniknuvšího průsečíku.

Nejprve tedy musíme určit směrový vektor u přímky p. O tomto vektoru se dá zároveň také říci, že je normálovým vektorem roviny ρ.

u=B-A
u=(-1;3;1)
Parametrická rovnice přímky p:
x=1-t
y=2+3t
z=4+t
Obecná rovnice roviny ρ:
-x+3y+z+d=0
-1+3*9+5+d=0
d=-31
ρ: -x+3y+z-31=0

Určení průsečíku přímky bylo náplní předchozích lekcí a proto pouze stručně:

-1*(1-t)+3*(2+3t)+1*(4+t)-31=0
-1+t+6+9t+4+t-31=0
11t-22=0
t=2

Abychom získali souřadnice průsečíku X dosadíme hodnotu parametru t do parametrické rovnice přímky p:

x=1-2
y=2+3*2
z=4+2
X[-1;8;6]

Výsledek je vzdálenost bodů X, P:

|PX| = √(22+12-12)
|PX| = √(4+1+1)
|PX| = √6

Vzdálenost bodu od roviny

Není na tom nic těžkého. Vlastně to je velmi podobný postup jakým určujeme vzdálenost bodu od přímky. Určete vzdálenost bodu Q[-3;-2;3] od roviny ρ: 2x-y-2z+1=0.

Nejprve určíme parametrickou rovnici přímky p kolmé na rovinu ρ a kerá prochází bodem Q. Poté určíme průsečík přímky p a roviny ρ. Vznikne bod X. Výsledkem příkladu je vzdálenost bodu X od bodu Q.

Parametrická rovnice přímky p:
x=-3+2t
y=-2-t
z=3-2t
Průsečík přímky p a roviny ρ:
ρ: 2x-y-2z+1=0
2*(-3+2t)-1*(-2-t)-2*(3-2t)+1=0
-6+4t+2+t-6+4t+1=0
-9+9t=0
t=1

Dosadíme hodnotu parametru t=1 do parametrické rovnice přímky p:

x=-3+2*1
y=-2-1
z=3-2*1
X[-1;-3;1]
|QX| = √(22-12-22)
|QX| = √(4+1+4)
|QX| = 3

Odchylka dvou přímek

Možná to už zní ohraně, ale toto už také vlastně umíte. Není žádný rozdíl, když určujete odchylku přímek v prostoru nebo v rovině. Pokaždé totiž použije vzoreček pro výpočet odchylky vektorů:

1) Určete odchylku přímky p(A[1;0;5], B[2;1;6]) a přímky q: x=1-t;y=2+t;z=3-t.

Musíme určit jejich směrové vektory:
u=B-A
u=(1;1;1)
v=(-1;1;-1)

|u| = √3
|v| = √3

cos α = (|-1|)/3
cos α = 1/3
α ≈ 70°31'

Odchylka přímky a roviny

Opět použijeme známý vzoreček pro výpočet odchylky vektorů. Vektor u je směrový vektor přímky p a vektor v je normálový vektor roviny ρ. Pokud spočítáme odchylku těchto vektorů, dostaneme úhel α. Nás ale, jak vidíte na následujícím obrázku, zajímá úhel &beta=90-α.

1) Určete odchylku přímky p: x=t, y=1+2t, z=-t a roviny ρ: 8x-y+3z=0.

u=(1;2;-1)
v=(8;-1;3)

|u| = √6
|v| = √74
u*v = 8-2-3 = 3
cos α ≈ 3/21
α ≈ 81°47'
β = 90-α 
β = 8°13'

Odchylka dvou rovin

Odchylka dvou rovin je odchylka jejich normálových vektorů, takže to opět není nic těžkého.

Určete odchylku roviny ρ: -x+2y+z+5=0 a roviny π: x+y+2z+7=0.

Normálové vektory rovin:
u=(-1;2;1)
v=(1;1;2)

|u| = √6
|v| = √6
u*v=-1+2+2
cos α = 3/6
α = 60°

Procvičování

1) Určete souřadnice bodu A souměrného podle roviny ρ: 2x-y+z-1=0 s bodem B[5;1;4].

1. Najdeme přímku p kolmou na rovinu ρ a procházející bodem B.
2. Určíme průsečík X přímky p a roviny ρ.
3. Dopočítáme souřadnice bodu A pomocí vzorečku pro výpočet středu úsečky (bod X je středem úsečky AB).

Parametrické vyjádření přímky p:
x=5+2t
y=1-t
z=4+t
Průsečík přímky p s rovinou ρ:
ρ: 2x-y+z-1=0
2*(5+2t)-1*(1-t)+1*(4+t)-1=0
10+4t-1+t+4+t-1=0
12+6t=0
t=-2

Vypočítali jsme hodnotu parametru t=-2. Dosazením této hodnoty do parametrické rovnice přímky p získáme souřadnice průsečíku X.

x=5+2*(-2)
y=1+2
z=4-2
X[1;3;2]

Určíme souřadnice bodu A. Body AB tvoří úsečku, jejímž středem je bod X.

X[(a1+b1)/2; (a2+b2)/2; (a3+b3)/2]
A[-3;5;0]

2) Určete bod M souměrný k bodu N[5;3;-1] podle přímky p(A,B), kde A[0;0;-3], B[-6;-2;1].

1. Určíme rovinou ρ kolmou na přímku p. Tato rovina musí také procházet bodem N.
2. Určíme průsečík X přímky p a roviny ρ.
3. Souřadnice bodu M určíme pomocí vzorečku na střed úsečky (bod X je středem úsečky MN).

Obecná rovnice roviny ρ:
u=B-A
u=(-6;-2;4)
ρ: -6x-2y+4z+d=0
-6*5-2*3+4*(-1)+d=0
d=40
ρ: -6x-2y+4z+40=0
Parametrická rovnice přímky p:
x=-6-6t
y=-2-2t
z=1+4t
Průsečík přímky p a roviny ρ:
-6*(-6-6t)-2*(-2-2t)+4*(1+4t)+40=0
36+36t+4+4t+4+16t+40=0
56t+84=0
t=-1.5
Určení průsečíku X:
x=-6-6t
y=-2-2t
z=1+4t
X[3;1;-5]
Určení souřadnic bodu M:
X[(m1+n1)/2; (m2+n2)/2; (m3+n3)/2]
M[1;-1;-9]