Přejít na matematické fórum Připravili jsme pro Vás zbrusu nové fórum a jsme připravení odpovídat na Vaše otázky!


Články » SŠ Matematika » Geometrie » Analytická geometrie

Analytická geometrie - Metrické úlohy v prostoru

Vydáno dne v kategorii Analytická geometrie; Autor: ; Počet přečtení: 74 488

Naučíme se, jak spočítat vzdálenost bodu o roviny, odchylku dvou rovin, odchylku roviny a přímky a mnoho dalších věcí.


Vzdálenost bodu od přímky

Podobnou úlohu jsme řešili už v rovině a proto by neměl být problém se naučit něco podobného v prostoru. Určete vzdálenost bodu Q[7;1;9] od přímky p(P, u), kde P[1;3;-1], u=(4;1;3).

V rovině jsme postupovali, tak že jsme nalezli přímku kolmou na původní, určili jejich průsečík a určili vzdálenost vzniknuvšího průsečíku od daného bodu. V prostoru budeme postupovat vlastně celkem obdobně. Nejprve určíme parametrickou rovnici zadané přímky, pak z podmínky (X-Q)*u=0 určíme hodnotu parametru t a dosazením toho parametru do parametrické rovnice přímky t získáme hledaný bod X. Pak stačí spočítat vzdálenost bodu X od bodu Q a je to.

Parametrická rovnice přímky p:
x=1+4t
y=3+t
z=-1+3t
w=X-Q
w=(1+4t-7;3+t-1;-1+3t-9)
w=(4t-6;2+t;3t-10)

Vektor w musí být kolmý na vektor u a proto jejich skalární součin musí být roven nule:

u*w=0
(4t-6)*4+(2+t)*1+(3t-10)*3 = 0
t=2

Získali jsme hodnotu parametru t. Jeho dosazením do parametrické rovnice přímky p získáme souřadnice bodu X.

x=1+4*2
y=3+2
z=-1+3*2
X[9;5;5]

Výsledek je vzdálenost bodů X, Q.


|QX| = 6

2) Určete vzdálenost bodu P[1;9;5] od přímky p(A[1;2;4], B[0;5;5]).

Je to případ velmi podobný tomu předchozímu, akorát s jinými čísly. Abych tady nepsal vlastně stejný postup, ukážeme si ještě jednu možnost jak se dá určit vzdálenost bodu od přímky. Daným bodem P povedeme rovinu ρ kolmou na přímku p. Určíme průsečík přímky a roviny ρ. Výsledek bude roven vzdálenosti bodu P a vzniknuvšího průsečíku.

Nejprve tedy musíme určit směrový vektor u přímky p. O tomto vektoru se dá zároveň také říci, že je normálovým vektorem roviny ρ.

u=B-A
u=(-1;3;1)
Parametrická rovnice přímky p:
x=1-t
y=2+3t
z=4+t
Obecná rovnice roviny ρ:
-x+3y+z+d=0
-1+3*9+5+d=0
d=-31
ρ: -x+3y+z-31=0

Určení průsečíku přímky bylo náplní předchozích lekcí a proto pouze stručně:

-1*(1-t)+3*(2+3t)+1*(4+t)-31=0
-1+t+6+9t+4+t-31=0
11t-22=0
t=2

Abychom získali souřadnice průsečíku X dosadíme hodnotu parametru t do parametrické rovnice přímky p:

x=1-2
y=2+3*2
z=4+2
X[-1;8;6]

Výsledek je vzdálenost bodů X, P:

|PX| = √(22+12-12)
|PX| = √(4+1+1)
|PX| = √6

Vzdálenost bodu od roviny

Není na tom nic těžkého. Vlastně to je velmi podobný postup jakým určujeme vzdálenost bodu od přímky. Určete vzdálenost bodu Q[-3;-2;3] od roviny ρ: 2x-y-2z+1=0.

Nejprve určíme parametrickou rovnici přímky p kolmé na rovinu ρ a kerá prochází bodem Q. Poté určíme průsečík přímky p a roviny ρ. Vznikne bod X. Výsledkem příkladu je vzdálenost bodu X od bodu Q.

Parametrická rovnice přímky p:
x=-3+2t
y=-2-t
z=3-2t
Průsečík přímky p a roviny ρ:
ρ: 2x-y-2z+1=0
2*(-3+2t)-1*(-2-t)-2*(3-2t)+1=0
-6+4t+2+t-6+4t+1=0
-9+9t=0
t=1

Dosadíme hodnotu parametru t=1 do parametrické rovnice přímky p:

x=-3+2*1
y=-2-1
z=3-2*1
X[-1;-3;1]
|QX| = √(22-12-22)
|QX| = √(4+1+4)
|QX| = 3

Odchylka dvou přímek

Možná to už zní ohraně, ale toto už také vlastně umíte. Není žádný rozdíl, když určujete odchylku přímek v prostoru nebo v rovině. Pokaždé totiž použije vzoreček pro výpočet odchylky vektorů:


1) Určete odchylku přímky p(A[1;0;5], B[2;1;6]) a přímky q: x=1-t;y=2+t;z=3-t.

Musíme určit jejich směrové vektory:
u=B-A
u=(1;1;1)
v=(-1;1;-1)

|u| = √3
|v| = √3

cos α = (|-1|)/3
cos α = 1/3
α ≈ 70°31'

Odchylka přímky a roviny

Opět použijeme známý vzoreček pro výpočet odchylky vektorů. Vektor u je směrový vektor přímky p a vektor v je normálový vektor roviny ρ. Pokud spočítáme odchylku těchto vektorů, dostaneme úhel α. Nás ale, jak vidíte na následujícím obrázku, zajímá úhel &beta=90-α.

Rovina a přímka

1) Určete odchylku přímky p: x=t, y=1+2t, z=-t a roviny ρ: 8x-y+3z=0.

u=(1;2;-1)
v=(8;-1;3)

|u| = √6
|v| = √74
u*v = 8-2-3 = 3
cos α ≈ 3/21
α ≈ 81°47'
β = 90-α 
β = 8°13'

Odchylka dvou rovin

Odchylka dvou rovin je odchylka jejich normálových vektorů, takže to opět není nic těžkého.

Určete odchylku roviny ρ: -x+2y+z+5=0 a roviny π: x+y+2z+7=0.

Normálové vektory rovin:
u=(-1;2;1)
v=(1;1;2)

|u| = √6
|v| = √6
u*v=-1+2+2
cos α = 3/6
α = 60°

Procvičování

1) Určete souřadnice bodu A souměrného podle roviny ρ: 2x-y+z-1=0 s bodem B[5;1;4].

  1. Najdeme přímku p kolmou na rovinu ρ a procházející bodem B.
  2. Určíme průsečík X přímky p a roviny ρ.
  3. Dopočítáme souřadnice bodu A pomocí vzorečku pro výpočet středu úsečky (bod X je středem úsečky AB).
Parametrické vyjádření přímky p:
x=5+2t
y=1-t
z=4+t
Průsečík přímky p s rovinou ρ:
ρ: 2x-y+z-1=0
2*(5+2t)-1*(1-t)+1*(4+t)-1=0
10+4t-1+t+4+t-1=0
12+6t=0
t=-2

Vypočítali jsme hodnotu parametru t=-2. Dosazením této hodnoty do parametrické rovnice přímky p získáme souřadnice průsečíku X.

x=5+2*(-2)
y=1+2
z=4-2
X[1;3;2]

Určíme souřadnice bodu A. Body AB tvoří úsečku, jejímž středem je bod X.

X[(a1+b1)/2; (a2+b2)/2; (a3+b3)/2]
A[-3;5;0]

2) Určete bod M souměrný k bodu N[5;3;-1] podle přímky p(A,B), kde A[0;0;-3], B[-6;-2;1].

  1. Určíme rovinou ρ kolmou na přímku p. Tato rovina musí také procházet bodem N.
  2. Určíme průsečík X přímky p a roviny ρ.
  3. Souřadnice bodu M určíme pomocí vzorečku na střed úsečky (bod X je středem úsečky MN).
Obecná rovnice roviny ρ:
u=B-A
u=(-6;-2;4)
ρ: -6x-2y+4z+d=0
-6*5-2*3+4*(-1)+d=0
d=40
ρ: -6x-2y+4z+40=0
Parametrická rovnice přímky p:
x=-6-6t
y=-2-2t
z=1+4t
Průsečík přímky p a roviny ρ:
-6*(-6-6t)-2*(-2-2t)+4*(1+4t)+40=0
36+36t+4+4t+4+16t+40=0
56t+84=0
t=-1.5
Určení průsečíku X:
x=-6-6t
y=-2-2t
z=1+4t
X[3;1;-5]
Určení souřadnic bodu M:
X[(m1+n1)/2; (m2+n2)/2; (m3+n3)/2]
M[1;-1;-9]

Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Určete limitu :


Hlavolam

Jak to tak bývá, zlý čaroděj uvěznil mudrce. A kdo by to čekal, dal mu šanci se zachránit, pokud splní úkol. Na stole je kulatý tác, kterým lze volně otáčet, a na něm čtyři mince do čtverce. Mudrc má zavázané oči, nic nevidí. Jeho úkolem je otočit mince tak, že bude na všech panna. Nemá to však jednoduché. Otočí jistý počet mincí, pak černokněžník tácem zatočí. Opět otočí nějaké mince a znovu se tácem náhodně otočí. Toto se opakuje, dokud nejsou všechny mince správně. V tu chvíli je hra zlotřilým čarodějem ukončena. Mudrc nepozná podle hmatu pannu od orla. Musí vždy mince nechat na svém místě, ve čtverci. A hlavně - kvůli zlé magii - má strašnou smůlu a pokud bude spoléhat jen na náhodu, tak úkol nikdy nesplní.