Přejít na matematické fórum Připravili jsme pro Vás zbrusu nové fórum a jsme připravení odpovídat na Vaše otázky!


Články » SŠ Matematika » Geometrie » Analytická geometrie

Analytická geometrie - Vzájemná poloha dvou přímek a přímky s rovinou

Vydáno dne v kategorii Analytická geometrie; Autor: ; Počet přečtení: 95 249

V předchozím díle jsme se naučíli počítat vzájemnou polohu rovin. Nyní si ukážeme jak se vypořádat se dvěma přímkami a s rovinou a přímkou. To vše samozřejmě v prostroru


Vzájemná poloha dvou přímek

Stejně jako jsme tento problém řešili v rovině, naučíme se ho nyní řešit i v prostoru. Ve stereometrii jsme se naučili, jaké situace mohou nastat, když mám dvě přímky v prostoru:

  1. Totožné - Nekonečně mnoho společných bodů.
  2. Rovnoběžné - Žádný společný bod. Přímky leží v jedné rovině.
  3. Různoběžné - Jeden společný bod. Přímky opět leží v jedné rovině.
  4. Mimoběžné - Žádný společný bod - Přímky neleží v jedné rovině.

Řešení se dá rozdělit do několika fází. Nejprve otestujeme, zda je vektor u násobkem vektoru v. Pokud je, musíme otestovat, zda bod P leží na přímce v. Pokud ano, přímky jsou totožné, v opačném případě jsou rovnoběžné. Pokud vektor v není násobkem vektoru u, tak zkusíme najít jejich průsečík. Pokud průsečík nalezneme, přímky jsou různoběžné, v opačném případě se jedná o mimoběžky.

Předchozí odstavec může někomu připadat trochu složitě, ale nic složitého v tom opravdu není. Možná to lépe pochopíte z příkladů.

1) Určete vzájemnou polohu přímek p(P,u), v(Q,v), když P[1;1;3], u=(2;3;-1), Q[2;1;-2], v=(1;1;-2).

Testujeme, zda vektor v je násobkem vektoru v:

2=1*k
3=1*k
-1=-2*k

Vektory očividně nejsou násobky a proto zkusíme najít průsečík přímek. Proto napíšeme jejich parametrické rovnice:

Pro přímku p:
x=1+2t
y=1+3t
z=3-t
Pro přímku q:
x=2+s
y=1+s
z=-2-2s
Nyní stačí dát obě parametrické rovnice do jedné soustavy rovnic:
1+2t=2+s
1+3t=1+s
3-t=-2-2s

Z prvních dvou rovnic dostaneme výsledek [t; s]=[-1; -3]. Tyto čísla pasují i do třetí rovnice, takže přímky jsou různoběžné. Tím pádem se dá spočítat i jejich průsečík. Stačí dosadit t=-1 do parametrické rovnice přímky p, popřípadě můžeme dosadit s=-3 do parametrické rovnice přímky q.

x=1+2*(-1)
y=1+3*(-1)
z=3-(-1)

Pro průsečík X[x;y;z] tedy získáváme výsledek X[-1;-2;4].

2) Určete vzájemnou polohu přímek AB a CD, když A[3;1;1], B[1;2;2], C[5;0;0], D[-1;3;3].

u=B-A
u=(-2;1;1)
v=D-C
v=(-6;3;3)

Poté, co jsme určili směrové vektory, musíme otestovat, zda je vektor u násobkem vektoru v.

-6=-2*k
3=1*k
3=1*k

Koeficient k vyšel ve všech třech rovnicích k=3. Pokud bod C leží na přímce AB, tak jsou přímky totožné, v opačném případě jsou rovnoběžné.

Parametrická rovnice přímky AB:
x=3-2t
y=1+t
z=1+t
Dosadíme souřadnice bodu C:
5=3-2t
0=1+t
0=1+t

Ve všech třech rovnicích modu dosadit t=-1 a proto bod C leží na přímce AB. Tím pádem se jedná o totožné přímky.

3) Určete vzájemnou polohu přímek AB, CD, když A[1;0;-1], B[2;1;1], C[1;2;-2], D[0;-1;2].

u=B-A
u=(1;1;2)
v=D-C
v=(-1;-3;4)

Otestujeme, zda je vektor v násobkem vektoru u:

-1=k
-3=k
4=2k

Vektor v očividně není násobkem vektoru u a proto zkusíme najít průsečík přímek:

Pro přímku AB:
x=1+t
y=t
z=-1+2t
Pro přímku CD:
x=1-s
y=2-3s
z=-2+4s

Dáme parametrické rovnice do rovnosti:

1+t=1-s
t=2-3s
-1+2t=-2+4s

Z prvních dvou rovnic dostáváme [t;s] = [-1;1]. Dosadíme-li tyto výsledky do třetí rovnice, získáme: -3=2, což pochopitelně neplatí a proto jsou přímky AB, CD mimoběžky.

Vzájemná poloha přímky a roviny

Pokud pracuji s přímkou v prostoru, mohou nastat tři situace:

  1. Přímka a rovina jsou rovnoběžné - Žádný společný bod.
  2. Přímka a rovina nejsou rovnoběžné - Jeden společný bod.
  3. Přímka leží v rovině - Nekonečně mnoho společných bodů.

Podobně jako u vzájemné situace dvou přímek si i nyní nastíníme, jak postupovat při řešení úloh o vzájemné poloze přímky a roviny. Nejprve musíme určit normálový vektor roviny. Pokud není normálový vektor roviny kolmý na směrový vektor přímky, tak je přímka různoběžná s rovinou. Jestliže je normálový vektor roviny kolmý na směrový vektor přímky a nějaký bod přímky leží v rovině, tak leží celá přímka v rovině. V opačném případě jsou přímka a rovina rovnoběžné.

1) Určete vzájemnou polohu roviny ρ: 2x+4y-3z+1 a přímky p(P,u), kde P[0;3;-1], u=(1;-1;2).

Normálový vektor roviny ρ
w=(2;4;-3)

Nyní otestujeme, zda je normálový vektor roviny ρ kolmý na směrový vektor přímky p:

1*2-1*4+2*(-3)=0

Vektory očividně nejsou kolmé a proto přímka a rovina jsou navzájem různoběžné. V tomto případě se dá spočítat průsečík přímky a roviny.

Nejprve určíme parametrickou rovnici přímky p. V této parametrické rovnici získáme souřadnice x,y,z. Pokud tyto proměnné dosadíme do obecné rovnice roviny ρ získáme hodnotu parametru t. Zpětným dosazením parametru t do parametrické rovnice roviny ρ získáme souřadnice průsečíku roviny a přímky.

Parametrická rovnice přímky p:
x=t
y=3-t
z=-1+2t
ρ: 2x+4y-3z+1=0
Dosadíme parametrickou rovnici dosadíme do obecné rovnice:
2*t+4*(3-t)-3*(-1+2t)+1=0
2t+12-4t+3-6t+1=0
t=2

Vypočítali jsme hodnotu parametru t=2. Nyní stačí dosadit tuto hodnotu do parametrické rovnice přímky p:

x=2
y=3-2
z=-1+4

Průsečík má souřadnice X[2;1;3].

2) Určete vzájemnou polohu přímky p:x=1-t,y=t,z=2-3t a roviny ρ: -x+2y+z-1=0.

Směrový vektor přímky p:
u=(-1;1;-3)
Normálový vektor roviny ρ:
v=(-1;2;1)

Otestujeme, zda je vektor u násobkem v:

-1*(-1)+1*2-3*1=0
1+2-3=0

Vektory jsou kolmé. Otestujeme tedy, zda bod P leží v rovině ρ:

P[1;0;2]
ρ: -1+2-1=0

Bod P leží v rovině ρ a proto i celá přímka p leží v rovině ρ.


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Maximum funkce na intervalu <-3, 0> je:


Hlavolam

Jak to tak bývá, zlý čaroděj uvěznil mudrce. A kdo by to čekal, dal mu šanci se zachránit, pokud splní úkol. Na stole je kulatý tác, kterým lze volně otáčet, a na něm čtyři mince do čtverce. Mudrc má zavázané oči, nic nevidí. Jeho úkolem je otočit mince tak, že bude na všech panna. Nemá to však jednoduché. Otočí jistý počet mincí, pak černokněžník tácem zatočí. Opět otočí nějaké mince a znovu se tácem náhodně otočí. Toto se opakuje, dokud nejsou všechny mince správně. V tu chvíli je hra zlotřilým čarodějem ukončena. Mudrc nepozná podle hmatu pannu od orla. Musí vždy mince nechat na svém místě, ve čtverci. A hlavně - kvůli zlé magii - má strašnou smůlu a pokud bude spoléhat jen na náhodu, tak úkol nikdy nesplní.