Přejít na matematické fórum Připravili jsme pro Vás zbrusu nové fórum a jsme připravení odpovídat na Vaše otázky!


Články » SŠ Matematika » Geometrie » Analytická geometrie

Analytická geometrie - Parametrické vyjádření roviny

Vydáno dne v kategorii Analytická geometrie; Autor: ; Počet přečtení: 26 358

Naučíme se parametricky popisovat rovinu


Z předchozích článků bychom již měli umět trochu pracovat s přímkou a právě díky parametrické rovnici přímky dokážeme vyjádřit parametrickou rovnici roviny.

Parametrické vyjádření roviny

Označme u=M-A a v=N-A. Každý bod přímky AM můžeme parametricky vyjádřit jako:

M=A+u*t

A každý bod přímky AN můžeme vyjádřit jako:

A=N+v*s

Spojíte-li tyto dvě rovnice dohromady, dostanete rovnici:

M=N+v*s+u*t

Toto je parametrická rovnice roviny. Ale většinou se zapisuje ve tvaru:

X=A+u*t+v*s
x=a1+u1*t+v1*s
y=a2+u2*t+v2*s
z=a3+u3*t+v3*s

Napište parametrickou rovnici roviny dané body A[1;2;-1], B[3;1;1], C[-1;1;0].

Nejprve musíme určit vektory u, v:

u=B-A
u=(2;-1;2)
v=C-A
v=(-2;-1;1)

Parametrické rovnice přímek určujících rovinu jsou:

B=A+u*t
A=C+v*s

Parametrická rovnice roviny ABC tedy je:

B=C+v*s+u*t
x=-1+2t-2s
y=1-t-s
z=2t+s

Určete, zda bod X[-1;-1;3] leží v rovině z předchozího příkladu.

Aby bod X mohl ležet v rovině ABC, muselo by platit:

-1=-1+2t-2s
-1=1-t-s
3=2t+s

Vypočtením prvních dvou rovnic dostaneme hodnoty t=1; s=1. Pokud tyto hodnoty dosadíme do třetí rovnice, dostaneme, že 3=3 a proto bod X leží v rovině ABC.

Jak lze vypozorovat z předchozího příkladu, rovinu je možné zadat i jinak než pomocí bodů. Rovinu lze zadat například pomocí dvou bodů a vektoru, bodu a dvou vektorů atd...

Procvičování

Následující příklady budou pouze obměny předchozího.

1) Zjistěte, zda bod M[3;0;1] leží v rovině ρzadané bodem A[1;1;3] a přímkou p(P, u), kde P[3;-1;-7] a u=(1;1;1).

Máme jednoznačně zadané dva body roviny (A, P) a jeden vektor(u), který také leží v zadané rovině. Do parametrické rovnice roviny potřebujeme určit ještě jeden vektor v:

v=P-A
v=(2;-2;-10)

Nyní by neměl být problém napsat parametrickou rovnici roviny:

X=A+u*t+v*s
x=1+t+2s
y=1+t-2s
z=3+t-10s

Aby bod M mohl ležet v rovině ρ, muselo by platit:

3=1+t+2s
0=1+t-2s
1=3+t-10s

Vypočtením prvních dvou rovnic dostaneme hodnoty s=3/4, t=1/2. Tyto hodnoty ale nepasují do třetí rovnice a proto bod M neleží v rovině ρ.

2) Určete poslední souřadnici bodu D[2;1;z], tak aby ležel v rovině ρ dané body A[1;1;0], B[3;1;-1], C[-1;1;2].

Opět musíme určit parametrickou rovnici roviny ρ:

u=B-A
u=(2;0;-1)
v=C-A
v=(-2;0;2)
X=A+u*t+v*s
x=1+2t-2s
y=1
z=-t+2s

Aby bod D ležel v rovině ρ, muselo by platit:

2=1+2t-2s
1=1
z=-t+2s

Vznikly nám dvě rovnice o třech neznámých. Z první rovnice si vyjádříme t=(1+2s)/2. Pokud tuto hodnotu dosadíme do třetí rovnice, dostaneme z=(-1+2s)/2 a proto můžeme z vybírat z intervalu všech reálných čísel.

3) Zkusíme si vypočítat obdobu předchozího příkladu. Určete třetí souřadnici bodu D[3;-2;z], tak aby ležel v rovině ρ dané body A[4;-1;2], B[5;2;0], C[0;1;-4].

Určíme parametrickou rovnici roviny ρ:

u=B-A=(1;3;-2)
v=C-A=(-4;2;-6)
X=A+u*t+v*s
x=4+t-4s
y=-1+3t+2s
z=2-2t-6s

Dosadíme souřadnice bodu D:

3=4+t-4s
-2=-1+3t+2s
z=2-2t-6s

Z prvních dvou rovnic dostaneme t=-3/7, s=1/7. Dosazením do třetí rovnice získáme výsledek z=2.


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Která z následujících funkcí nemá definiční obor ?


Hlavolam

Maminka je dnes o 21 let starší než její dítě. Za 6 let bude dítě 5x mladší než maminka. Otázka zní: kde je dnes tatínek? A ta otázka opravdu není neřešitelná ...