Přejít na matematické fórum Připravili jsme pro Vás zbrusu nové fórum a jsme připravení odpovídat na Vaše otázky!


Články » SŠ Matematika » Geometrie » Analytická geometrie

Analytická geometrie - Parametrické vyjádření roviny

Vydáno dne v kategorii Analytická geometrie; Autor: ; Počet přečtení: 25 967

Naučíme se parametricky popisovat rovinu


Z předchozích článků bychom již měli umět trochu pracovat s přímkou a právě díky parametrické rovnici přímky dokážeme vyjádřit parametrickou rovnici roviny.

Parametrické vyjádření roviny

Označme u=M-A a v=N-A. Každý bod přímky AM můžeme parametricky vyjádřit jako:

M=A+u*t

A každý bod přímky AN můžeme vyjádřit jako:

A=N+v*s

Spojíte-li tyto dvě rovnice dohromady, dostanete rovnici:

M=N+v*s+u*t

Toto je parametrická rovnice roviny. Ale většinou se zapisuje ve tvaru:

X=A+u*t+v*s
x=a1+u1*t+v1*s
y=a2+u2*t+v2*s
z=a3+u3*t+v3*s

Napište parametrickou rovnici roviny dané body A[1;2;-1], B[3;1;1], C[-1;1;0].

Nejprve musíme určit vektory u, v:

u=B-A
u=(2;-1;2)
v=C-A
v=(-2;-1;1)

Parametrické rovnice přímek určujících rovinu jsou:

B=A+u*t
A=C+v*s

Parametrická rovnice roviny ABC tedy je:

B=C+v*s+u*t
x=-1+2t-2s
y=1-t-s
z=2t+s

Určete, zda bod X[-1;-1;3] leží v rovině z předchozího příkladu.

Aby bod X mohl ležet v rovině ABC, muselo by platit:

-1=-1+2t-2s
-1=1-t-s
3=2t+s

Vypočtením prvních dvou rovnic dostaneme hodnoty t=1; s=1. Pokud tyto hodnoty dosadíme do třetí rovnice, dostaneme, že 3=3 a proto bod X leží v rovině ABC.

Jak lze vypozorovat z předchozího příkladu, rovinu je možné zadat i jinak než pomocí bodů. Rovinu lze zadat například pomocí dvou bodů a vektoru, bodu a dvou vektorů atd...

Procvičování

Následující příklady budou pouze obměny předchozího.

1) Zjistěte, zda bod M[3;0;1] leží v rovině ρzadané bodem A[1;1;3] a přímkou p(P, u), kde P[3;-1;-7] a u=(1;1;1).

Máme jednoznačně zadané dva body roviny (A, P) a jeden vektor(u), který také leží v zadané rovině. Do parametrické rovnice roviny potřebujeme určit ještě jeden vektor v:

v=P-A
v=(2;-2;-10)

Nyní by neměl být problém napsat parametrickou rovnici roviny:

X=A+u*t+v*s
x=1+t+2s
y=1+t-2s
z=3+t-10s

Aby bod M mohl ležet v rovině ρ, muselo by platit:

3=1+t+2s
0=1+t-2s
1=3+t-10s

Vypočtením prvních dvou rovnic dostaneme hodnoty s=3/4, t=1/2. Tyto hodnoty ale nepasují do třetí rovnice a proto bod M neleží v rovině ρ.

2) Určete poslední souřadnici bodu D[2;1;z], tak aby ležel v rovině ρ dané body A[1;1;0], B[3;1;-1], C[-1;1;2].

Opět musíme určit parametrickou rovnici roviny ρ:

u=B-A
u=(2;0;-1)
v=C-A
v=(-2;0;2)
X=A+u*t+v*s
x=1+2t-2s
y=1
z=-t+2s

Aby bod D ležel v rovině ρ, muselo by platit:

2=1+2t-2s
1=1
z=-t+2s

Vznikly nám dvě rovnice o třech neznámých. Z první rovnice si vyjádříme t=(1+2s)/2. Pokud tuto hodnotu dosadíme do třetí rovnice, dostaneme z=(-1+2s)/2 a proto můžeme z vybírat z intervalu všech reálných čísel.

3) Zkusíme si vypočítat obdobu předchozího příkladu. Určete třetí souřadnici bodu D[3;-2;z], tak aby ležel v rovině ρ dané body A[4;-1;2], B[5;2;0], C[0;1;-4].

Určíme parametrickou rovnici roviny ρ:

u=B-A=(1;3;-2)
v=C-A=(-4;2;-6)
X=A+u*t+v*s
x=4+t-4s
y=-1+3t+2s
z=2-2t-6s

Dosadíme souřadnice bodu D:

3=4+t-4s
-2=-1+3t+2s
z=2-2t-6s

Z prvních dvou rovnic dostaneme t=-3/7, s=1/7. Dosazením do třetí rovnice získáme výsledek z=2.


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Funkce :


Hlavolam

Jak to tak bývá, zlý čaroděj uvěznil mudrce. A kdo by to čekal, dal mu šanci se zachránit, pokud splní úkol. Na stole je kulatý tác, kterým lze volně otáčet, a na něm čtyři mince do čtverce. Mudrc má zavázané oči, nic nevidí. Jeho úkolem je otočit mince tak, že bude na všech panna. Nemá to však jednoduché. Otočí jistý počet mincí, pak černokněžník tácem zatočí. Opět otočí nějaké mince a znovu se tácem náhodně otočí. Toto se opakuje, dokud nejsou všechny mince správně. V tu chvíli je hra zlotřilým čarodějem ukončena. Mudrc nepozná podle hmatu pannu od orla. Musí vždy mince nechat na svém místě, ve čtverci. A hlavně - kvůli zlé magii - má strašnou smůlu a pokud bude spoléhat jen na náhodu, tak úkol nikdy nesplní.