Přejít na matematické fórum Připravili jsme pro Vás zbrusu nové fórum a jsme připravení odpovídat na Vaše otázky!


Články » SŠ Matematika » Geometrie » Analytická geometrie

Analytická geometrie - Parametrické vyjádření přímky v prostoru

Vydáno dne v kategorii Analytická geometrie; Autor: ; Počet přečtení: 31 136

Pomalu opouštíme rovinné objetky a začneme se zabývat i prostorem. Naučíme se parametricky vyjádřit přímku.


Vy bystě již měli umět parametrické vyjádření přímky v rovině. V prostoru je to velmi podobné. Podobně jako v rovině se přímka určuje buď dvěma body, nebo bodem a vektorem. Tento vektor se nazývá směrový vektor.

X=A+u*t

Toto je parametrická rovnice přímky. Proměnné X, A představují body, u je směrový vektor přímky a t je parametr.

Napište parametrickou rovnici přímky p dané body A[-3;8;-3], B[1;2;-1].

Směrový vektor je u=B-A, tedy:

u=B-A
u=(4;-6;2)

Parametrická rovnice je tedy:

X=A+u*t
x1 = -3 + 4t
x2 = 8 - 6t
x3 = -3 + 2t

Určete, zda se na přímce z následujícího příkladu nachází bod X[1;2;-1]. Aby na té přímce ležel, muselo by platit:

1 = -3 + 4t
2 = 8 - 6t
-1 = -3 + 2t

Vypočtením všech tří rovnic dojdeme k výsledku, že parametr t = 1. Proto bod X leží na přímce p.

Procvičování

Parametrické vyjádření přímky v prostoru je velmi jednoduché a proto můžeme přijít od teorie k příkladům.

1) Určete čísla p, q, tak aby bod C[p;q;1 ležel na přímce A[0;1;0], B[3;2;-1].

u=B-A
u=(3;1;-1)
X=A+u*t
x = 3t
y = 1 + t
z = -t

Nyní dosadíme za souřadnice bodu X souřadnice bodu C:

p = 3t
q = 1 + t
1 = -t

Z poslední rovnice vidíte, že t = -1. Dosazením této hodnoty do předchozích rovnic dostaneme:

t=1
p=-3
q=0

2) Najděte parametrické vyjádření těžnic trojúhelníku A[1;1;3], B[2;0;-1], C[1;3;2].

Body M, N, O budou středy stran AB, BC, AC. Na výpočet souřadnic těchto bodů použijeme známý vzorec pro střed úsečky:

M=[(a1+b1)/2; (a2+b2)/2; (a3+b3)/2]
M=[1.5;0.5;1]
N=[1.5;1.5;0.5]
O=[1;2;2.5]

Nyní stačí napsat parametrické rovnice přímek.

Těžnice ta:
u=A-N
u=(-0.5;-0.5;2.5)
X=A+u*t
x = 1 - 0.5t
y = 1 - 0.5t
z = 3 + 2.5t
Těžnice tb:
v=B-O
v=(1;-2;-3.5)
X=B+v*t
x = 2 + t
y = - 2t
z = -1 - 3.5t
Těžnice tc:
w=C-M
w=(-0.5;2.5;1)
X=C+w*t
x = 1 - 0.5t
y = 3 + 2.5t
z = 2 + t

Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Spočítejte


Hlavolam

Na kterou stranu jede autobus? (Tato hádanka není vůbec tak hloupá, jak se na první pohled tváří.)
Autobus