Přejít na matematické fórum Připravili jsme pro Vás zbrusu nové fórum a jsme připravení odpovídat na Vaše otázky!


Články » SŠ Matematika » Geometrie » Analytická geometrie

Analytická geometrie - Polohové úlohy v rovině

Vydáno dne v kategorii Analytická geometrie; Autor: ; Počet přečtení: 58 555

Naučíme se počítat odchylku dvou přímek, vzdálenost bodu od přímky a na závěr spočítáme několik příkladů


Kolmé přímky

Při určování kolmosti přímek a vektorů hraje velkou roli skalární součin. Protože když se skalární součin dvou vektorů rovná nule, jsou vektory kolmé.

u=(5;4)
v=(-4;5)
u*v=5*(-4)+5*4
u*v=0

Vektory jsou kolmé.

Kolmost přímek

Jsou přímky p: 2x+4y-2=0 a q: 4x-2y+4=0 kolmé?

Tyto přímky by byly kolmé pouze tehdy, kdyby skalární součin směrového (nebo normálového) vektoru první přímky a směrového (nebo normálového) vektoru druhé přímky byl roven nule, tedy:

Pro přímku p:
u=(2;4)
Pro přímku q:
v=(4;-2)
u*v=2*4-2*4
u*v=0

Skalární součin je 0 a proto jsou přímky kolmé.

Veďte bodem X[5;5] přímku q, která bude kolmá na přímku p: x+y+1=0.

Směrový vektor přímky q bude roven normálovému vektoru přímky p:

u=(1;1)
n=(-1;1)

Známe směrový vektor a bod kterým přímka prochází. Takovýto typ příkladu jsme již počítali a proto pouze stručně:

-x+y+c=0
Za x,y dosadíme souřadnice bodu X:
-5+5+c=0
c=0

Obecná rovnice kolmice je q: -x+y=0.

Vzdálenost bodu od přímky

Tento příklad se dá rozdělit do tří fází:

  1. Určení obecné rovnice přímky, která by procházela bodem X a kolmé na přímku p.
  2. Určení souřadnice průsečíku přímky a kolmice.
  3. Určení vzdálenosti bodu X a vzniknuvšího průsečíku.

Určete vzdálenost bodu X[2;3] od přímky p: 4x-2y+1=0.

Nejprve tedy musíme nalézt kolmici qna přímku p procházející bodem X.

Normálový vektor přímky p:
u=(4;2)
Normálový vektor kolmice q:
n=(2;4)
Obecná rovnice kolmice q:
2x+4y+c=0
2*2+4*3+c=0
c=-16
q: 2x+4y-16

Nyní musíme nalézt průsečíky přímky q a p:

2x+4y-16
4x-2y+1=0

Pokud soustavu vyřešíte, tak naleznete bod S[7/5;33/10]. Určíme vzdálenost bodu S od bodu X:

|SX|2 = (s1-x1)2 + (s2-x2)2
|SX|2 = 0.36+0.09
|SX| = √0.45
|SX| ≈ 0.67

Odchylka dvou přímek

Odchylka dvou přímek je vlastně odchylka jejich směrových vektorů.

Pro vektory u,v:
cos α = (u*v)/(|u|*|v|)

Určete odchylku přímek p:x=1+t; y=2+3t a q:2x+y-1=0:

Směrový vektor přímky p:
u=(1;3)
Normálový vektor přímky q:
n=(2;1)
Směrový vektor přímky q:
v=(-1;2)
cos α = (u*v)/(|u|*|v|)
cos α = 5/(√10*√5)
cos α = 0.7
α = 45°

Procvičování

1) Napište obecnou rovnici přímky q, která prochází bodem Q[2;5] a je kolmá k přímce p: x=2+t;y=3t.

Směrový vektor přímky p:
u=(1;3)
Normálový vektor přímky p:
n=(-3;1)
Obecná rovnice přímky p:
-3x+y+c=0
-3*2+5+c=0
c=1
-3x+y+1=0

Nyní určíme kolmici:

Normálový vektor přímky q:
v=(1;3)
Obecná rovnice přímky q:
x+3y+c=0
2+3*5+c=0
c=-17
x+3y-17

2) Určete vrchol C trojúhelníku ABC jsou-li dány body A[1;2], B[-1;0] a průsečík výšek V[1;-1].

Nákres situace

Využijeme toho, že výška je na odpovídající stranu kolmá a prochází protějším vrcholem. Příklad se dá rozdělit do několika fází:

  1. Určení obecné rovnice výšky va.
  2. Určení obecné rovnice výšky vb.
  3. Určení obecné rovnice přímky kolmé na výšku va a procházející bodem B (vlastně se jedná o přímku, která tvoří stranu BC).
  4. Určení obecné rovnice přímky kolmé na výšku vb a procházející bodem A (vlastně se jedná o přímku, která tvoří stranu AC).
  5. Průsečík přímek vzniknuvších v předešlých dvou krocích tvoří bod C.
Výška va:
ua=A-V
Směrový vektor: ua=(0;3)
Normálový vektor: na=(-3;0)
-3x+0y+c=0
-3*1+c=0
c=3
va: -3x+3=0
Výška vb:
ub=B-V
Směrový vektor: ub=(-2;1)
Normálový vektor: nb=(1;2)
x+2y+c=0
1*(-1)+2*0+c=0
c=1
vb: x+2y+1=0

Nyní určíme kolmice na výšky va a vb. Začneme přímkou b, která tvoří stranu b:

Normálový vektor přímky b: n=(-2;1)
-2x+y+c=0
-2*1+1*2+c=0
c=0
b: -2x+y=0

Obdobně pro stranu a:

Normálový vektor přímky a: n=(0;3)
0x+3y+c=0
0*(-1)+3*0+c=0
c=0
a: 3y=0

Známe obecné rovnice stran a, b. Na jejich průsečíku leží bod C:

3y=0
-2x+y=0
Řešení

Vyřešením této soustavy dostaneme souřadnice C[0;0].

3) Určete osu úsečky A[2;0], B[4;4].

Osa úsečky je kolmá na úsečku a dělí úsečku na dvě stejné části. Střed úsečky je tedy:

S=[(a1+b1)/2; (a2+b2)/2]
S=[3;2]

Dále musíme určit normálový vektor přímky kolmé na úsečku. Normálový vektor kolmice je roven směrovému vektoru u=B-A:

n=B-A
n=(2;4)

Nyní již lehce určíme obecnou rovnici:

2x+4y+c=0
Dosadíme souřadnice středu S:
2*3+4*2+c=0
c=-14
Obecná rovnice osy úsečky AB: 2x+4y-14=0

4) Jsou dány přímky p: 3x-4y+7=0, q: x+2y-1=0. Určete úhel, který tyto přímky svírají.

Určíme jejich normálové vektory, pak směrové a pomocí nich dopočítáme odchylku:

Normálový vektor přímky p: np=(3;-4)
Normálový vektor přímky q: nq=(1;2)
Směrový vektor přímky p: u=(4;3)
Směrový vektor přímky q: v=(-2;1)
cos α = (u*v)/(|u|*|v|)
cos α = 5/(5+√5)
α ≈ 63°53'

5) Určete souřadnice bodu A' souměrně sdruženého s bodem A[5;1] podle přímky p: 2x-y-4=0.

  1. Určení obecné rovnice přímky procházející bodem A a kolmé na přímku p.
  2. Určení průsečíku vzniknuvší kolmice a přímky p.
  3. Dopočítání souřadnic sdruženého bodu.

Nejprve určíme obecnou rovnici kolmice q:

Normálový vektor: n=(1;2)
x+2y+c=0
1*5+2*1+c=0
c=-7
q: x+2y-7=0

Určení průsečíku přímek p, q:

x+2y-7=0
2x-y-4=0

Výpočtem této soustavy dostanete souřadnice bodu S[3;2].

Osová souměrnost

Nyní stačí použít známý vzoreček na vypočítání středu úsečky:

S=[(a1+a'1)/2; (a2+a'2)/2]
Jenže my musíme spočítat souřadnice bodu A'
a'1 = 2*s1-a1
a'1 = 1
a'2 = 2*s2-a2
a'2 = 3

Souřadnice bodu A' tedy jsou A'[1;3].


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Vypočítejte


Hlavolam

Tři lidé byli zajati divochy na opuštěném ostrově. Přivazali je ke kůlům v řadě za sebou, takže ten poslední viděl ty dva před sebou, prostřední viděl jen jednoho a první neviděl nic. Náčelník jim chtěl dát možnost na přežití, tak jim řekl: - Jste přivázáni ke třem kůlům, přičemž dva jsou bílé a jeden černý nebo dva černé a jeden bílý. Jestli kdokoliv z vás uhodne, k jakému sloupu je přivázán, všechny vás pustíme. Jak se dostat na svobodu? Není to zase tak těžké ...