Kolmé přímky
Při určování kolmosti přímek a vektorů hraje velkou roli skalární součin. Protože když se skalární součin dvou vektorů rovná nule, jsou vektory kolmé.
u=(5;4) v=(-4;5) u*v=5*(-4)+5*4 u*v=0
Vektory jsou kolmé.
Jsou přímky p: 2x+4y-2=0 a q: 4x-2y+4=0 kolmé?
Tyto přímky by byly kolmé pouze tehdy, kdyby skalární součin směrového (nebo normálového) vektoru první přímky a směrového (nebo normálového) vektoru druhé přímky byl roven nule, tedy:
Pro přímku p: u=(2;4) Pro přímku q: v=(4;-2) u*v=2*4-2*4 u*v=0
Skalární součin je 0 a proto jsou přímky kolmé.
Veďte bodem X[5;5] přímku q, která bude kolmá na přímku p: x+y+1=0.
Směrový vektor přímky q bude roven normálovému vektoru přímky p:
u=(1;1) n=(-1;1)
Známe směrový vektor a bod kterým přímka prochází. Takovýto typ příkladu jsme již počítali a proto pouze stručně:
-x+y+c=0 Za x,y dosadíme souřadnice bodu X: -5+5+c=0 c=0
Obecná rovnice kolmice je q: -x+y=0.
Vzdálenost bodu od přímky
Tento příklad se dá rozdělit do tří fází:
- Určení obecné rovnice přímky, která by procházela bodem
Xa kolmé na přímkup. - Určení souřadnice průsečíku přímky a kolmice.
- Určení vzdálenosti bodu
Xa vzniknuvšího průsečíku.
Určete vzdálenost bodu X[2;3] od přímky p: 4x-2y+1=0.
Nejprve tedy musíme nalézt kolmici qna přímku p procházející bodem X.
Normálový vektor přímky p: u=(4;2) Normálový vektor kolmice q: n=(2;4) Obecná rovnice kolmice q: 2x+4y+c=0 2*2+4*3+c=0 c=-16 q: 2x+4y-16
Nyní musíme nalézt průsečíky přímky q a p:
2x+4y-16 4x-2y+1=0
Pokud soustavu vyřešíte, tak naleznete bod S[7/5;33/10]. Určíme vzdálenost bodu S od bodu X:
|SX|2 = (s1-x1)2 + (s2-x2)2 |SX|2 = 0.36+0.09 |SX| = √0.45 |SX| ≈ 0.67
Odchylka dvou přímek
Odchylka dvou přímek je vlastně odchylka jejich směrových vektorů.
Pro vektory u,v: cos α = (u*v)/(|u|*|v|)
Určete odchylku přímek p:x=1+t; y=2+3t a q:2x+y-1=0:
Směrový vektor přímky p: u=(1;3) Normálový vektor přímky q: n=(2;1) Směrový vektor přímky q: v=(-1;2) cos α = (u*v)/(|u|*|v|) cos α = 5/(√10*√5) cos α = 0.7 α = 45°
Procvičování
1) Napište obecnou rovnici přímky q, která prochází bodem Q[2;5] a je kolmá k přímce p: x=2+t;y=3t.
Směrový vektor přímky p: u=(1;3) Normálový vektor přímky p: n=(-3;1) Obecná rovnice přímky p: -3x+y+c=0 -3*2+5+c=0 c=1 -3x+y+1=0
Nyní určíme kolmici:
Normálový vektor přímky q: v=(1;3) Obecná rovnice přímky q: x+3y+c=0 2+3*5+c=0 c=-17 x+3y-17
2) Určete vrchol C trojúhelníku ABC jsou-li dány body A[1;2], B[-1;0] a průsečík výšek V[1;-1].
Využijeme toho, že výška je na odpovídající stranu kolmá a prochází protějším vrcholem. Příklad se dá rozdělit do několika fází:
- Určení obecné rovnice výšky va.
- Určení obecné rovnice výšky vb.
- Určení obecné rovnice přímky kolmé na výšku va a procházející bodem
B(vlastně se jedná o přímku, která tvoří stranuBC). - Určení obecné rovnice přímky kolmé na výšku vb a procházející bodem
A(vlastně se jedná o přímku, která tvoří stranuAC). - Průsečík přímek vzniknuvších v předešlých dvou krocích tvoří bod
C.
Výška va: ua=A-V Směrový vektor: ua=(0;3) Normálový vektor: na=(-3;0) -3x+0y+c=0 -3*1+c=0 c=3 va: -3x+3=0 Výška vb: ub=B-V Směrový vektor: ub=(-2;1) Normálový vektor: nb=(1;2) x+2y+c=0 1*(-1)+2*0+c=0 c=1 vb: x+2y+1=0
Nyní určíme kolmice na výšky va a vb. Začneme přímkou b, která tvoří stranu b:
Normálový vektor přímky b: n=(-2;1) -2x+y+c=0 -2*1+1*2+c=0 c=0 b: -2x+y=0
Obdobně pro stranu a:
Normálový vektor přímky a: n=(0;3) 0x+3y+c=0 0*(-1)+3*0+c=0 c=0 a: 3y=0
Známe obecné rovnice stran a, b. Na jejich průsečíku leží bod C:
3y=0 -2x+y=0
Vyřešením této soustavy dostaneme souřadnice C[0;0].
3) Určete osu úsečky A[2;0], B[4;4].
Osa úsečky je kolmá na úsečku a dělí úsečku na dvě stejné části. Střed úsečky je tedy:
S=[(a1+b1)/2; (a2+b2)/2] S=[3;2]
Dále musíme určit normálový vektor přímky kolmé na úsečku. Normálový vektor kolmice je roven směrovému vektoru u=B-A:
n=B-A n=(2;4)
Nyní již lehce určíme obecnou rovnici:
2x+4y+c=0 Dosadíme souřadnice středu S: 2*3+4*2+c=0 c=-14 Obecná rovnice osy úsečky AB: 2x+4y-14=0
4) Jsou dány přímky p: 3x-4y+7=0, q: x+2y-1=0. Určete úhel, který tyto přímky svírají.
Určíme jejich normálové vektory, pak směrové a pomocí nich dopočítáme odchylku:
Normálový vektor přímky p: np=(3;-4) Normálový vektor přímky q: nq=(1;2) Směrový vektor přímky p: u=(4;3) Směrový vektor přímky q: v=(-2;1) cos α = (u*v)/(|u|*|v|) cos α = 5/(5+√5) α ≈ 63°53'
5) Určete souřadnice bodu A' souměrně sdruženého s bodem A[5;1] podle přímky p: 2x-y-4=0.
- Určení obecné rovnice přímky procházející bodem
Aa kolmé na přímkup. - Určení průsečíku vzniknuvší kolmice a přímky
p. - Dopočítání souřadnic sdruženého bodu.
Nejprve určíme obecnou rovnici kolmice q:
Normálový vektor: n=(1;2) x+2y+c=0 1*5+2*1+c=0 c=-7 q: x+2y-7=0
Určení průsečíku přímek p, q:
x+2y-7=0 2x-y-4=0
Výpočtem této soustavy dostanete souřadnice bodu S[3;2].
Nyní stačí použít známý vzoreček na vypočítání středu úsečky:
S=[(a1+a'1)/2; (a2+a'2)/2] Jenže my musíme spočítat souřadnice bodu A' a'1 = 2*s1-a1 a'1 = 1 a'2 = 2*s2-a2 a'2 = 3
Souřadnice bodu A' tedy jsou A'[1;3].
