Články » SŠ Matematika » Geometrie » Analytická geometrie

Analytická geometrie - Polohové úlohy v rovině

Vydáno dne v kategorii Analytická geometrie; Autor: ; Počet přečtení: 78 240

Naučíme se počítat odchylku dvou přímek, vzdálenost bodu od přímky a na závěr spočítáme několik příkladů


Kolmé přímky

Při určování kolmosti přímek a vektorů hraje velkou roli skalární součin. Protože když se skalární součin dvou vektorů rovná nule, jsou vektory kolmé.

u=(5;4)
v=(-4;5)
u*v=5*(-4)+5*4
u*v=0

Vektory jsou kolmé.

Kolmost přímek

Jsou přímky p: 2x+4y-2=0 a q: 4x-2y+4=0 kolmé?

Tyto přímky by byly kolmé pouze tehdy, kdyby skalární součin směrového (nebo normálového) vektoru první přímky a směrového (nebo normálového) vektoru druhé přímky byl roven nule, tedy:

Pro přímku p:
u=(2;4)
Pro přímku q:
v=(4;-2)
u*v=2*4-2*4
u*v=0

Skalární součin je 0 a proto jsou přímky kolmé.

Veďte bodem X[5;5] přímku q, která bude kolmá na přímku p: x+y+1=0.

Směrový vektor přímky q bude roven normálovému vektoru přímky p:

u=(1;1)
n=(-1;1)

Známe směrový vektor a bod kterým přímka prochází. Takovýto typ příkladu jsme již počítali a proto pouze stručně:

-x+y+c=0
Za x,y dosadíme souřadnice bodu X:
-5+5+c=0
c=0

Obecná rovnice kolmice je q: -x+y=0.

Vzdálenost bodu od přímky

Tento příklad se dá rozdělit do tří fází:

  1. Určení obecné rovnice přímky, která by procházela bodem X a kolmé na přímku p.
  2. Určení souřadnice průsečíku přímky a kolmice.
  3. Určení vzdálenosti bodu X a vzniknuvšího průsečíku.

Určete vzdálenost bodu X[2;3] od přímky p: 4x-2y+1=0.

Nejprve tedy musíme nalézt kolmici qna přímku p procházející bodem X.

Normálový vektor přímky p:
u=(4;2)
Normálový vektor kolmice q:
n=(2;4)
Obecná rovnice kolmice q:
2x+4y+c=0
2*2+4*3+c=0
c=-16
q: 2x+4y-16

Nyní musíme nalézt průsečíky přímky q a p:

2x+4y-16
4x-2y+1=0

Pokud soustavu vyřešíte, tak naleznete bod S[7/5;33/10]. Určíme vzdálenost bodu S od bodu X:

|SX|2 = (s1-x1)2 + (s2-x2)2
|SX|2 = 0.36+0.09
|SX| = √0.45
|SX| ≈ 0.67

Odchylka dvou přímek

Odchylka dvou přímek je vlastně odchylka jejich směrových vektorů.

Pro vektory u,v:
cos α = (u*v)/(|u|*|v|)

Určete odchylku přímek p:x=1+t; y=2+3t a q:2x+y-1=0:

Směrový vektor přímky p:
u=(1;3)
Normálový vektor přímky q:
n=(2;1)
Směrový vektor přímky q:
v=(-1;2)
cos α = (u*v)/(|u|*|v|)
cos α = 5/(√10*√5)
cos α = 0.7
α = 45°

Procvičování

1) Napište obecnou rovnici přímky q, která prochází bodem Q[2;5] a je kolmá k přímce p: x=2+t;y=3t.

Směrový vektor přímky p:
u=(1;3)
Normálový vektor přímky p:
n=(-3;1)
Obecná rovnice přímky p:
-3x+y+c=0
-3*2+5+c=0
c=1
-3x+y+1=0

Nyní určíme kolmici:

Normálový vektor přímky q:
v=(1;3)
Obecná rovnice přímky q:
x+3y+c=0
2+3*5+c=0
c=-17
x+3y-17

2) Určete vrchol C trojúhelníku ABC jsou-li dány body A[1;2], B[-1;0] a průsečík výšek V[1;-1].

Nákres situace

Využijeme toho, že výška je na odpovídající stranu kolmá a prochází protějším vrcholem. Příklad se dá rozdělit do několika fází:

  1. Určení obecné rovnice výšky va.
  2. Určení obecné rovnice výšky vb.
  3. Určení obecné rovnice přímky kolmé na výšku va a procházející bodem B (vlastně se jedná o přímku, která tvoří stranu BC).
  4. Určení obecné rovnice přímky kolmé na výšku vb a procházející bodem A (vlastně se jedná o přímku, která tvoří stranu AC).
  5. Průsečík přímek vzniknuvších v předešlých dvou krocích tvoří bod C.
Výška va:
ua=A-V
Směrový vektor: ua=(0;3)
Normálový vektor: na=(-3;0)
-3x+0y+c=0
-3*1+c=0
c=3
va: -3x+3=0
Výška vb:
ub=B-V
Směrový vektor: ub=(-2;1)
Normálový vektor: nb=(1;2)
x+2y+c=0
1*(-1)+2*0+c=0
c=1
vb: x+2y+1=0

Nyní určíme kolmice na výšky va a vb. Začneme přímkou b, která tvoří stranu b:

Normálový vektor přímky b: n=(-2;1)
-2x+y+c=0
-2*1+1*2+c=0
c=0
b: -2x+y=0

Obdobně pro stranu a:

Normálový vektor přímky a: n=(0;3)
0x+3y+c=0
0*(-1)+3*0+c=0
c=0
a: 3y=0

Známe obecné rovnice stran a, b. Na jejich průsečíku leží bod C:

3y=0
-2x+y=0
Řešení

Vyřešením této soustavy dostaneme souřadnice C[0;0].

3) Určete osu úsečky A[2;0], B[4;4].

Osa úsečky je kolmá na úsečku a dělí úsečku na dvě stejné části. Střed úsečky je tedy:

S=[(a1+b1)/2; (a2+b2)/2]
S=[3;2]

Dále musíme určit normálový vektor přímky kolmé na úsečku. Normálový vektor kolmice je roven směrovému vektoru u=B-A:

n=B-A
n=(2;4)

Nyní již lehce určíme obecnou rovnici:

2x+4y+c=0
Dosadíme souřadnice středu S:
2*3+4*2+c=0
c=-14
Obecná rovnice osy úsečky AB: 2x+4y-14=0

4) Jsou dány přímky p: 3x-4y+7=0, q: x+2y-1=0. Určete úhel, který tyto přímky svírají.

Určíme jejich normálové vektory, pak směrové a pomocí nich dopočítáme odchylku:

Normálový vektor přímky p: np=(3;-4)
Normálový vektor přímky q: nq=(1;2)
Směrový vektor přímky p: u=(4;3)
Směrový vektor přímky q: v=(-2;1)
cos α = (u*v)/(|u|*|v|)
cos α = 5/(5+√5)
α ≈ 63°53'

5) Určete souřadnice bodu A' souměrně sdruženého s bodem A[5;1] podle přímky p: 2x-y-4=0.

  1. Určení obecné rovnice přímky procházející bodem A a kolmé na přímku p.
  2. Určení průsečíku vzniknuvší kolmice a přímky p.
  3. Dopočítání souřadnic sdruženého bodu.

Nejprve určíme obecnou rovnici kolmice q:

Normálový vektor: n=(1;2)
x+2y+c=0
1*5+2*1+c=0
c=-7
q: x+2y-7=0

Určení průsečíku přímek p, q:

x+2y-7=0
2x-y-4=0

Výpočtem této soustavy dostanete souřadnice bodu S[3;2].

Osová souměrnost

Nyní stačí použít známý vzoreček na vypočítání středu úsečky:

S=[(a1+a'1)/2; (a2+a'2)/2]
Jenže my musíme spočítat souřadnice bodu A'
a'1 = 2*s1-a1
a'1 = 1
a'2 = 2*s2-a2
a'2 = 3

Souřadnice bodu A' tedy jsou A'[1;3].


Tento clanek pro vas napsal Jakub Vojacek!

Test

Vypočítejte limitu


Hlavolam

Jak to tak bývá, zlý čaroděj uvěznil mudrce. A kdo by to čekal, dal mu šanci se zachránit, pokud splní úkol. Na stole je kulatý tác, kterým lze volně otáčet, a na něm čtyři mince do čtverce. Mudrc má zavázané oči, nic nevidí. Jeho úkolem je otočit mince tak, že bude na všech panna. Nemá to však jednoduché. Otočí jistý počet mincí, pak černokněžník tácem zatočí. Opět otočí nějaké mince a znovu se tácem náhodně otočí. Toto se opakuje, dokud nejsou všechny mince správně. V tu chvíli je hra zlotřilým čarodějem ukončena. Mudrc nepozná podle hmatu pannu od orla. Musí vždy mince nechat na svém místě, ve čtverci. A hlavně - kvůli zlé magii - má strašnou smůlu a pokud bude spoléhat jen na náhodu, tak úkol nikdy nesplní.