Matematika pro každého
Přímka a rovina mohou mít v prostoru jen tři vzájemné polohy. Přímka buď v rovině leží a všechny její body jsou společné, nebo je s rovinou rovnoběžná a nemá s ní žádný společný bod, nebo je s rovinou různoběžná a má s ní společný právě jeden bod, kterému říkáme průsečík. Zapisujeme to takto:
`\begin{gathered}p \subset \rho \\[6pt] p \parallel \rho,\ \ p \cap \rho = \emptyset \\[6pt] p \cap \rho = P\end{gathered}`
Jiná možnost neexistuje. Mají-li přímka a rovina společné dva různé body, leží v rovině celá přímka, která jimi prochází. Rozhoduje tedy jen počet společných bodů: žádný, právě jeden, nebo nekonečně mnoho. Mimoběžnost, kterou znáte u dvou přímek, u přímky a roviny nenastává.
Pozor na slovo rovnoběžná. V mnoha učebnicích se i přímka, která v rovině leží, počítá jako zvláštní případ rovnoběžnosti, a tak to bere i kritérium rovnoběžnosti níže. Když je potřeba obě polohy odlišit, řekne se „přímka leží v rovině“ a „přímka je s rovinou rovnoběžná a nemá s ní společný bod“.
Níže najdete všechny tři polohy na krychli, jak rovnoběžnost přímky a roviny dokázat, jak sestrojit průsečík přímky s rovinou pomocí pomocné roviny, kdy je přímka k rovině kolmá, časté chyby a šest příkladů k procvičení s řešením. Různoběžná přímka svírá s rovinou nějaký úhel, jeho výpočet ukazuje článek odchylka přímky a roviny. Pokud máte přímku a rovinu zadané rovnicemi, rozhodnete o poloze výpočtem, jak ukazuje článek vzájemná poloha přímky s rovinou v analytické geometrii.
Tři polohy na krychli
Ve stereometrii se polohy nejčastěji určují na krychli ABCDEFGH s podstavou ABCD a horní stěnou EFGH, kde E leží nad A. Vezměme dvě roviny: rovinu podstavy ABC a úhlopříčnou rovinu BDH, tedy obdélník BDHF, který krychli rozřízne na dva trojboké hranoly.
| Přímka | Vůči rovině ABC | Vůči rovině BDH |
|---|---|---|
| AB | leží v ní | různoběžná, průsečík B |
| AC | leží v ní | různoběžná, průsečík je střed AC |
| EF | rovnoběžná | různoběžná, průsečík F |
| FH | rovnoběžná | leží v ní |
| AE | různoběžná, průsečík A | rovnoběžná |
| CG | různoběžná, průsečík C | rovnoběžná |
| EC | různoběžná, průsečík C | různoběžná, průsečík je střed krychle |
Všimněte si řádku AE. Hrana AE je s rovinou BDH rovnoběžná, protože je rovnoběžná s hranou BF a ta v rovině BDH leží. Přesně to je kritérium z další kapitoly. A řádek EC ukazuje, že průsečík nemusí být vrchol ani ležet na hraně: tělesová úhlopříčka EC protne úhlopříčnou rovinu BDH ve středu krychle.
Na obrázku se rovina kreslí jako omezený rovnoběžník nebo jako stěna tělesa, ale sama je neomezená. Přímka, která nakreslenou stěnu nikde nepotká, s ní proto ještě nemusí být rovnoběžná. Průsečík může ležet daleko za okrajem krychle, jak uvidíte v příkladu 3.
Kdy je přímka s rovinou rovnoběžná
Z obrázku se rovnoběžnost pozná špatně, proto se dokazuje pomocí jedné přímky v rovině. Platí kritérium rovnoběžnosti přímky a roviny:
Přímka p je rovnoběžná s rovinou ρ právě tehdy, když v rovině ρ leží přímka q, která je s přímkou p rovnoběžná.
Stačí tedy najít v rovině jedinou vhodnou přímku. Pokud navíc některý bod přímky p v rovině neleží, přímka v rovině neleží celá a nemá s ní žádný společný bod.
Příklad 1
V krychli ABCDEFGH dokažte, že přímka BG je rovnoběžná s rovinou ACH.
Hledáme v rovině ACH přímku rovnoběžnou s BG. Protější hrany AB a HG jsou rovnoběžné a stejně dlouhé, takže ABGH je rovnoběžník (dokonce obdélník) a jeho protější strany BG a AH jsou rovnoběžné. Přímka AH leží v rovině ACH, a podle kritéria je proto přímka BG s rovinou ACH rovnoběžná.
Leží BG přímo v rovině ACH? Neleží. Kdyby bod B ležel v rovině ACH, ležela by v ní celá přímka AB, a rovina ACH by tak obsahovala body A, B a C, tedy celou podstavu. Bod H ale v podstavě neleží. Přímka BG je s rovinou ACH rovnoběžná a nemá s ní žádný společný bod.
Rovnoběžnost a řezy
Z kritéria plyne věta, na které stojí jedno ze tří pravidel pro řezy krychle:
Je-li přímka p rovnoběžná s rovinou ρ a rovina σ, ve které přímka p leží, rovinu ρ protíná, je průsečnice rovin σ a ρ rovnoběžná s přímkou p.
Příklad 2
Sestrojte řez krychle ABCDEFGH s hranou `a = 4\ \mathrm{cm}` rovinou ABK, kde K je střed hrany CG, a spočítejte jeho obsah.
Hrana AB je rovnoběžná s hranou DC, a proto i se zadní stěnou CDHG. Rovina řezu obsahuje AB a zadní stěnu protíná v bodě K. Podle věty výše je průsečnice rovnoběžná s AB, vede tedy bodem K rovnoběžně s hranou GH a hranu DH protne v jejím středu L. Řezem je čtyřúhelník ABKL.
Strany AB a LK jsou rovnoběžné a stejně dlouhé, a protože AB je kolmá ke stěně BCGF, je kolmá i k BK. Řez je obdélník. Stranu BK spočítáme z pravoúhlého trojúhelníku BCK:
`\begin{gathered}\begin{aligned} |BK| &= \sqrt{a^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{16 + 4} \\[6pt] &= 2\sqrt{5} \doteq 4{,}47\ \mathrm{cm} \end{aligned} \\[10pt] \begin{aligned} S &= |AB| \cdot |BK| = 4 \cdot 2\sqrt{5} \\[6pt] &= 8\sqrt{5} \doteq 17{,}89\ \mathrm{cm^2} \end{aligned}\end{gathered}`
Zkouška rozumnosti: řez má větší obsah než stěna krychle (16 cm²), protože vede šikmo, ale menší než úhlopříčný řez ABGH s obsahem `4 \cdot 4\sqrt{2} \doteq 22{,}63\ \mathrm{cm^2}`. Výsledek 17,89 cm² leží mezi nimi. Nákres si můžete ověřit v kalkulačce řezu krychle, kde je hrana krychle rovna jedné a K má souřadnice [1; 1; 0,5].
Jak najít průsečík přímky s rovinou
Průsečík přímky s rovinou se v krychli nedá jen „odečíst“, protože přímka a rovina se na obrázku mohou křížit i tam, kde žádný společný bod nemají. Spolehlivý postup je metoda pomocné roviny:
- Přímkou p proložíte pomocnou rovinu σ. Volte ji tak, aby se dala snadno sestrojit její průsečnice s rovinou ρ, nejčastěji je to úhlopříčná rovina nebo stěna krychle.
- Sestrojíte průsečnici q rovin σ a ρ.
- Přímky p a q leží obě v rovině σ, takže se protnou. Jejich průsečík je hledaný průsečík P přímky p s rovinou ρ.
Pokud vyjde přímka q rovnoběžná s přímkou p, průsečík neexistuje a přímka p je s rovinou ρ rovnoběžná. A pokud p a q splynou, přímka v rovině leží.
Příklad 3
V krychli ABCDEFGH s hranou `a = 4\ \mathrm{cm}` je K střed hrany AE a L bod hrany CG, pro který `|CL| = 1\ \mathrm{cm}`. Sestrojte průsečík X přímky KL s rovinou podstavy ABC a určete jeho vzdálenost od bodu C.
Body K a L leží na svislých hranách AE a CG, takže přímka KL leží v úhlopříčné rovině ACGE. Tu zvolíme jako pomocnou rovinu. Její průsečnicí s podstavou je úhlopříčka AC. Průsečík X je tedy průsečík přímek KL a AC, obou v rovině ACGE.
Úsečky AK a CL jsou svislé, a tedy rovnoběžné, takže trojúhelníky XAK a XCL jsou podobné:
`\dfrac{|XC|}{|XA|} = \dfrac{|CL|}{|AK|} = \dfrac{1}{2}`
Bod C je proto střed úsečky AX a `|CX| = |AC| = 4\sqrt{2} \doteq 5{,}66\ \mathrm{cm}`. Průsečík leží za krychlí, na prodloužení úhlopříčky AC za bod C.
Zkouška rozumnosti: přímka KL klesá od K k L o 1 cm na délce úhlopříčky, tedy na 5,66 cm. Do výšky nula jí zbývá ještě 1 cm, a ten sejde na další délce úhlopříčky. Kdyby byl bod L ve stejné výšce jako K, byla by přímka KL rovnoběžná s AC, a tedy i s podstavou, a průsečík by neexistoval.
Příklad 4
V krychli ABCDEFGH s hranou `a = 6\ \mathrm{cm}` sestrojte průsečík X tělesové úhlopříčky EC s rovinou BDG a určete délku úsečky EX.
Úhlopříčka EC leží v úhlopříčné rovině ACGE, zvolíme ji jako pomocnou. Rovina BDG ji protíná v přímce, která prochází bodem G a středem S úsečky BD. Střed S je zároveň středem úhlopříčky AC, takže oba body leží v obou rovinách. Průsečnicí je přímka GS a průsečík X je průsečík přímek EC a GS.
V rovině ACGE jsou úsečky EG a SC rovnoběžné a `|EG| = a\sqrt{2}`, kdežto `|SC| = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}`. Trojúhelníky XEG a XCS jsou podobné s poměrem 2 : 1, a proto
`|EX| = \dfrac{2}{3}\,|EC| = \dfrac{2}{3} \cdot a\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \doteq 6{,}93\ \mathrm{cm}`
Ze stejné podobnosti plyne i `|GX| : |XS| = 2 : 1`. Úsečka GS je těžnice trojúhelníku BDG, takže X je jeho těžiště. Tělesová úhlopříčka tedy prochází těžištěm trojúhelníku BDG, a jak ukazuje další kapitola, je k jeho rovině dokonce kolmá.
Přímka kolmá k rovině
Zvláštním případem různoběžnosti je kolmost. Přímka je kolmá k rovině, je-li kolmá ke všem přímkám této roviny. Ověřovat všechny přímky naštěstí není třeba:
Je-li přímka kolmá ke dvěma různoběžným přímkám roviny, je kolmá k celé rovině.
Hrana AE je kolmá k podstavě, protože je kolmá k hranám AB i AD. Zajímavější je tělesová úhlopříčka EC a rovina BDG z příkladu 4:
- BD je kolmá k AC (úhlopříčky čtverce) i k AE (svislá hrana), tedy k celé rovině ACGE, a proto i k EC.
- BG je kolmá k CF (úhlopříčky čtverce BCGF) i k EF (hrana kolmá ke stěně BCGF), tedy k celé rovině CDEF, a proto i k EC.
Úhlopříčka EC je kolmá ke dvěma různoběžkám BD a BG roviny BDG, a je tedy kolmá k rovině BDG. Každým bodem prochází právě jedna přímka kolmá k dané rovině. Vzdálenost bodu od roviny se měří právě po ní, viz vzdálenost bodu od roviny.
Jedna kolmá přímka ale nestačí. Úhlopříčka EC je kolmá k úhlopříčce BD, která leží v podstavě, a přesto k podstavě kolmá není: svírá s ní úhel 35°16′. Přímka, která k rovině kolmá není, svírá s rovinou odchylku menší než 90°, a tu spočítáte z pravoúhlého trojúhelníku s kolmým průmětem nebo v kalkulačce odchylky přímky a roviny.
Poloha přímky a roviny výpočtem
Když přímku a rovinu zadáte v souřadnicích, rozhodne o poloze jediné dosazení. Umístěme krychli s hranou 1 tak, že A = [0; 0; 0], B = [1; 0; 0], D = [0; 1; 0] a E = [0; 0; 1]. Rovina BDG má rovnici `x + y - z - 1 = 0` a úhlopříčka EC má parametrické vyjádření
`x = t,\quad y = t,\quad z = 1 - t`
Dosadíme do rovnice roviny:
`\begin{gathered}t + t - (1 - t) - 1 = 0 \\[10pt] 3t - 2 = 0 \ \Rightarrow\ t = \dfrac{2}{3}\end{gathered}`
Jediné řešení znamená různoběžnost a průsečík je `X\left[\dfrac{2}{3};\ \dfrac{2}{3};\ \dfrac{1}{3}\right]`, tedy ve dvou třetinách úhlopříčky od E, jak vyšlo konstrukcí v příkladu 4. Obecně po dosazení vyjde:
| Po dosazení vyjde | Poloha |
|---|---|
| jediné t | různoběžná, t dá průsečík |
| rovnost, která platí vždy (0 = 0) | přímka leží v rovině |
| rovnost, která neplatí nikdy (například 0 = 5) | rovnoběžná, bez společného bodu |
Podrobně to rozebírá článek vzájemná poloha dvou přímek a přímky s rovinou.
Časté chyby
- Průsečík z obrázku. V příkladu 3 se přímka KL na obrázku kříží s hranou BF, ale společný bod nemají, jsou mimoběžné. Průsečík přímky s rovinou hledejte jen s přímkou, která leží ve stejné pomocné rovině jako přímka p.
- Rovina končí u okraje stěny. Nekončí. Rovina podstavy je celá vodorovná rovina, ne jen čtverec ABCD, a průsečík často leží mimo krychli.
- Rovnoběžná s rovinou, tedy rovnoběžná s každou její přímkou. Neplatí. Hrana AB je rovnoběžná s horní stěnou EFGH, ale s hranou FG ani EH rovnoběžná není, je s nimi mimoběžná. Rovnoběžná je jen s přímkami horní stěny, které mají směr AB.
- Kolmá k jedné přímce roviny, tedy kolmá k rovině. Neplatí, jak ukazuje úhlopříčka EC a podstava. Potřebujete dvě různoběžné přímky roviny.
- Zápis. Bod v rovině leží, píše se `A \in \rho`. Přímka je množina bodů, a když v rovině leží, píše se `p \subset \rho`, nikoli `p \in \rho`.
Příklady k procvičení
1. Je dána krychle ABCDEFGH. Určete všechny přímky, které procházejí bodem H a některým dalším vrcholem krychle, a u každé rozhodněte, jakou polohu má vůči rovině ABC.
Přímek je sedm. Přímky AH, BH, CH a DH jsou s rovinou ABC různoběžné, průsečíkem je vždy ten vrchol podstavy, kterým procházejí. Přímky EH, FH a GH leží v horní stěně, která je s podstavou rovnoběžná, takže jsou s rovinou ABC rovnoběžné a nemají s ní společný bod. Žádná z přímek v rovině ABC neleží.
2. Je dána krychle ABCDEFGH. Které roviny procházející bodem H a dvěma dalšími vrcholy krychle nejsou s přímkou BC různoběžné?
Rovin procházejících bodem H a dvěma dalšími vrcholy je devět: ABH, ACH, ADH, AFH, BCH, BDH, CDH, CFH a EFH (rovina ADH je celá stěna ADHE, rovina BCH obdélník BCHE a podobně). S přímkou BC nejsou různoběžné tři z nich. Roviny ADH a EFH jsou s ní rovnoběžné a nemají s ní společný bod, protože obsahují hranu AD, resp. EH, rovnoběžnou s BC. Rovina BCH přímku BC obsahuje, přímka v ní leží. Zbylých šest rovin, ABH, ACH, AFH, BDH, CDH a CFH, je s přímkou BC různoběžných.
3. V krychli ABCDEFGH dokažte, že přímka AC je rovnoběžná s rovinou BEG a nemá s ní žádný společný bod.
ACGE je obdélník, takže AC je rovnoběžná s EG. Přímka EG leží v rovině BEG, podle kritéria je tedy AC s rovinou BEG rovnoběžná. Kdyby bod A ležel v rovině BEG, ležely by v ní přímky AB a AE, a tedy celá přední stěna ABFE. Bod G ale v přední stěně neleží, takže A v rovině BEG neleží a přímka AC s ní nemá žádný společný bod.
4. V krychli ABCDEFGH je K střed hrany BF a L střed hrany DH. Sestrojte průsečík přímky KL s rovinou ABC.
Průsečík neexistuje. Přímka KL leží v úhlopříčné rovině BDHF a ta protíná podstavu v přímce BD. Body K a L jsou oba v polovině výšky krychle, takže KL je rovnoběžná s BD. Podle kritéria je přímka KL s rovinou ABC rovnoběžná.
5. V krychli ABCDEFGH s hranou `a = 3\ \mathrm{cm}` sestrojte průsečík X tělesové úhlopříčky DF s rovinou ACH a spočítejte délku úsečky DX.
Pomocnou rovinou je úhlopříčná rovina BDHF, ve které DF leží. Rovinu ACH protíná v přímce HS, kde S je střed úsečky AC (a zároveň BD). Průsečík X je průsečík přímek DF a HS. V rovině BDHF jsou úsečky DS a FH rovnoběžné a `|DS| : |FH| = 1 : 2`, takže trojúhelníky XDS a XFH jsou podobné s poměrem 1 : 2 a platí `|DX| : |XF| = 1 : 2`.
`\begin{aligned} |DX| &= \dfrac{1}{3}\,|DF| = \dfrac{1}{3} \cdot 3\sqrt{3} \\[6pt] &= \sqrt{3} \doteq 1{,}73\ \mathrm{cm} \end{aligned}`
Bod X je těžiště trojúhelníku ACH, stejně jako v příkladu 4.
6. Pouliční lampa svítí z výšky 6 m. Ve vzdálenosti 4 m od paty jejího sloupu stojí svisle zapíchnutá tyč vysoká 2 m. Jak dlouhý stín tyč vrhá na vodorovnou zem? A co by se se stínem stalo, kdyby byla tyč stejně vysoká jako lampa?
Konec stínu je průsečík paprsku, přímky z lampy přes vrchol tyče, s rovinou země. Pomocnou rovinou je svislá rovina, ve které leží sloup i tyč. Zemi protíná v přímce, která spojuje paty sloupu a tyče, a na ní leží konec stínu. Označme délku stínu x. Z podobných trojúhelníků:
`\dfrac{x}{x + 4} = \dfrac{2}{6}`
`6x = 2x + 8 \ \Rightarrow\ x = 2\ \mathrm{m}`
Stín je dlouhý 2 m. Kdyby byla tyč vysoká 6 m jako lampa, vedl by paprsek přes její vrchol vodorovně. Byl by rovnoběžný se zemí, průsečík by neexistoval a stín by se táhl do nekonečna.
Kam dál
- Procvičování odchylky přímky a roviny: úhlopříčky a řezy krychle, když už víte, že je přímka s rovinou různoběžná.
- Řez krychle třemi body nakreslí řez a ukáže, kde rovina protíná hrany.
- Odchylka přímky a roviny a další kalkulačky ze stereometrie.
- Vzájemná poloha přímek v prostoru: rovnoběžné, různoběžné a mimoběžné.
- Vzájemná poloha rovin: průsečnice a kritérium rovnoběžnosti rovin.
- Článek odchylka přímky a roviny a řešení konstrukčních úloh ve stereometrii.