Stereometrie - Vzájemná poloha přímek

Dvě přímky mohou mít v prostoru čtyři vzájemné polohy. Jsou totožné (splývají v jednu přímku), rovnoběžné (leží v jedné rovině a nemají společný bod), různoběžné (mají právě jeden společný bod, průsečík) nebo mimoběžné: nemají žádný společný bod, a přesto nejsou rovnoběžné, protože neleží v jedné rovině. Zapisujeme to takto:

`\begin{gathered}p = q \\[6pt] p \parallel q,\ \ p \cap q = \emptyset \\[6pt] p \cap q = P \\[6pt] p,\ q \text{ mimoběžné}\end{gathered}`

V rovině (v planimetrii) nastávají jen první tři případy, protože tam leží obě přímky vždy v jedné rovině. Mimoběžky jsou to jediné, co přináší až prostor. Typický příklad z ulice: silnice na mostě a dálnice pod ním se nikde nepotkají, a přitom rovnoběžné nejsou.

Níže najdete, jak o poloze dvou přímek rozhodnout, jak dokázat, že jsou přímky mimoběžné, všechny polohy na hranách krychle a jehlanu, průsečík, který leží mimo těleso, výpočet v souřadnicích, časté chyby a šest příkladů k procvičení s řešením.

Jak rozhodnout o vzájemné poloze dvou přímek

Rozhodují dvě otázky: mají přímky stejný směr, a leží v jedné rovině?

Z tabulky je vidět to nejdůležitější: „nemají společný bod“ v prostoru neznamená „jsou rovnoběžné“. Bez společného bodu jsou rovnoběžky i mimoběžky. Rovnoběžky od mimoběžek odliší až to, jestli leží v jedné rovině.

Postup tedy je:

1. Mají přímky stejný směr? Pokud ano, jsou rovnoběžné, a mají-li navíc jeden společný bod, jsou totožné.
2. Pokud stejný směr nemají, najdete rovinu, ve které leží obě? Pokud ano, jsou různoběžné a protnou se. Pokud taková rovina neexistuje, jsou mimoběžné.

Dvě rovnoběžné přímky i dvě různoběžné přímky proto vždy určují rovinu, ve které leží. Dvě mimoběžky žádnou společnou rovinu nemají.

Příklad 1

V krychli ABCDEFGH (podstava ABCD, vrchol E leží nad A) určete vzájemnou polohu přímek a) AH a BG, b) AG a CE, c) BG a DE.

a) Hrany AB a HG jsou rovnoběžné a stejně dlouhé, takže ABGH je obdélník. Jeho protější strany AH a BG jsou rovnoběžné.

b) AG a CE jsou tělesové úhlopříčky. Obě leží v úhlopříčné rovině ACGE, kde jsou úhlopříčkami obdélníku ACGE, a protínají se v jeho středu, tedy ve středu krychle. Jsou různoběžné.

c) BG leží v pravé stěně BCGF, DE v levé stěně ADHE. Tyto stěny jsou rovnoběžné, takže přímky nemají žádný společný bod. Rovnoběžné ale nejsou: s BG je rovnoběžná úhlopříčka AH levé stěny, a ne DE, která ji v levé stěně protíná. Přímky BG a DE jsou mimoběžné.

Mimoběžné přímky a jak to dokázat

Mimoběžné přímky (krátce mimoběžky) jsou dvě přímky, které neleží v jedné rovině. Nemají proto žádný společný bod a nejsou rovnoběžné. Že neleží v žádné společné rovině, se ale z obrázku dokázat nedá, a tak se používá kritérium:

Leží-li přímka p v rovině ρ a přímka q protíná rovinu ρ v bodě, který na přímce p neleží, jsou přímky p a q mimoběžné.

Proč to platí: kdyby obě přímky ležely v jedné rovině σ, obsahovala by rovina σ přímku p i průsečík Q přímky q s rovinou ρ, který na p neleží. Přímka a bod mimo ni určují jedinou rovinu, takže by σ byla totéž co ρ. Pak by ale celá přímka q ležela v rovině ρ, a ne ji jen protínala.

Příklad 2

Dokažte, že přímky AB a HF v krychli ABCDEFGH jsou mimoběžné.

Přímka p = AB leží v přední stěně, tedy v rovině ABF. Přímka q = HF tuto rovinu protíná v bodě F: bod H v přední stěně neleží, takže HF v ní neleží celá a společný má s ní jen bod F. Bod F na přímce AB neleží. Podle kritéria jsou přímky AB a HF mimoběžné.

Příklad 3

V krychli ABCDEFGH je K střed hrany AE a L střed hrany CG. Určete vzájemnou polohu přímek KL a BD.

Body K a L leží na hranách AE a CG, takže přímka KL leží v úhlopříčné rovině ACGE. Přímka BD tuto rovinu protíná ve středu S podstavy ABCD, kde se úhlopříčky AC a BD kříží. Bod S leží v podstavě, přímka KL ale vede v polovině výšky krychle, takže S na KL neleží. Přímky KL a BD jsou mimoběžné.

Přímka KL je přitom rovnoběžná s AC a AC je k BD kolmá. Mimoběžky KL a BD tedy svírají pravý úhel, i když se nikde neprotínají. Jak se úhel mimoběžek měří, ukazuje článek odchylka přímek.

Vzájemná poloha hran krychle

Vezměme hranu AB a projděme zbylých jedenáct hran krychle:

Různoběžné jsou právě hrany, které s AB sdílejí vrchol. Mimoběžné jsou hrany, které jsou s AB „napříč“ a vrchol s ní nemají. Totéž platí pro každou hranu krychle: má 3 rovnoběžné, 4 různoběžné a 4 mimoběžné hrany.

Celkem je v krychli `\binom{12}{2} = 66` dvojic hran. Rovnoběžných dvojic je 18 (tři směry, v každém čtyři hrany a z nich 6 dvojic), různoběžných 24 (v každém z 8 vrcholů se potkají 3 hrany, tedy 3 dvojice) a mimoběžných zbytek, `66 - 18 - 24 = 24`. Stejné číslo vyjde i jinak: 12 hran, každá se 4 mimoběžkami, a každá dvojice je započtená dvakrát, `12 \cdot 4 : 2 = 24`.

Příklad 4

V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV určete, které hrany jsou s hranou AB rovnoběžné, které různoběžné a které mimoběžné.

Rovnoběžná je jen hrana CD, protější strana čtvercové podstavy. Různoběžné jsou hrany se společným vrcholem: BC a AD v podstavě, AV a BV v boční stěně ABV. Zbývají boční hrany CV a DV. Každá z nich protíná rovinu podstavy, ve které AB leží, jen ve svém vrcholu C nebo D, a ten na přímce AB neleží. Podle kritéria jsou CV a DV s hranou AB mimoběžné.

Průsečík může ležet mimo těleso

Přímky jsou neomezené. Když se úsečky na obrázku nepotkají, přímky se přesto mohou protnout, jen dál za okrajem tělesa.

Příklad 5

V krychli ABCDEFGH s hranou a je K střed hrany BF. Určete vzájemnou polohu přímek AB a EK a najděte jejich průsečík.

Obě přímky leží v rovině přední stěny ABFE a nejsou rovnoběžné, jsou tedy různoběžné. Průsečík X najdeme v této rovině. Úsečky AE a BK jsou svislé, a tedy rovnoběžné, takže trojúhelníky XAE a XBK jsou podobné:

`\dfrac{|XB|}{|XA|} = \dfrac{|BK|}{|AE|} = \dfrac{1}{2}`

Bod B je proto střed úsečky AX a průsečík leží na prodloužení hrany AB za bodem B, ve vzdálenosti `|BX| = a` od něj. Zkouška rozumnosti: přímka EK klesá od E do K o polovinu hrany na délce jedné hrany. Do výšky nula jí zbývá ještě polovina hrany, tedy ještě jedna délka hrany vodorovně.

Vzájemná poloha přímek v souřadnicích

Když jsou přímky dané parametricky, rozhodne výpočet. Směrové vektory řeknou, jestli jsou přímky rovnoběžné. Pokud nejsou, položíme souřadnice obou přímek sobě rovné. Vzniknou tři rovnice pro dva parametry, které musí mít různá jména (t a s). Ze dvou rovnic parametry vypočteme a do třetí dosadíme. Platí-li, jsou přímky různoběžné, jinak mimoběžné.

Ověřme tak příklad 5. Krychli s hranou 2 umístíme tak, že A = [0; 0; 0], B = [2; 0; 0], D = [0; 2; 0] a E = [0; 0; 2]. Pak K = [2; 0; 1] a

`\begin{gathered}AB:\ x = t,\ \ y = 0,\ \ z = 0 \\[6pt] EK:\ x = 2s,\ \ y = 0,\ \ z = 2 - s\end{gathered}`

Rovnice pro x dává `t = 2s`, pro y platí vždy (0 = 0) a pro z vyjde `0 = 2 - s`, tedy `s = 2` a `t = 4`. Průsečík je X = [4; 0; 0], dvě délky hrany od A, přesně jak vyšlo z podobnosti.

Pro hranu FG, kde F = [2; 0; 2] a G = [2; 2; 2], je `FG:\ x = 2`, `y = s`, `z = 2`. Směrové vektory (1; 0; 0) a (0; 1; 0) nejsou násobky, přímky AB a FG tedy nejsou rovnoběžné. Rovnice dají `t = 2`, `s = 0` a `0 = 2`, což neplatí. Společný bod neexistuje a přímky jsou mimoběžné.

Obecné přímky se zlomky a rychlejší test mimoběžnosti pomocí smíšeného součinu rozebírá článek vzájemná poloha dvou přímek a přímky s rovinou. Přímky v rovině, kde mimoběžky nejsou, řeší článek vzájemná poloha přímek a průsečík přímek.

Odchylka a vzdálenost mimoběžek

Mimoběžky se neprotínají, přesto mají odchylku i vzdálenost.

• Odchylka mimoběžek je odchylka různoběžek, které dostaneme, když jednu z přímek posuneme rovnoběžně tak, aby druhou protnula. Hrany AB a CG krychle jsou mimoběžné a svírají 90°, protože AB posunutá do DC je k CG kolmá. Mimoběžky tedy mohou být i kolmé. Ze směrových vektorů odchylku spočítá kalkulačka odchylky dvou přímek, podrobně ji vysvětluje článek odchylka přímek.
• Vzdálenost mimoběžek je délka jejich nejkratší spojnice. Ta je kolmá na obě přímky a leží na ose mimoběžek. Pro hrany AB a CG je osou přímka BC: protíná obě hrany a je kolmá k AB i k CG. Jejich vzdálenost je tedy `|BC| = a`. Výpočet v souřadnicích ukazuje článek metrické úlohy v prostoru.

Časté chyby

• Nemají společný bod, tedy jsou rovnoběžné. V prostoru ne. Hrany AB a FG nemají společný bod a rovnoběžné nejsou, jsou mimoběžné. Rovnoběžné jsou jen tehdy, když mají stejný směr.
• Na obrázku se kříží, tedy jsou různoběžné. Obrázek je průmět, a v průmětu se kříží i mimoběžky. Úhlopříčka podstavy AC a hrana BF se na obrázku protínají, ale AC leží celá v podstavě a BF ji protíná jen v bodě B, který na AC neleží. Jsou mimoběžné.

• Na obrázku se nepotkají, tedy jsou mimoběžné. Také ne, průsečík může ležet mimo nakreslené těleso, jako v příkladu 5. Hledejte společnou rovinu.
• Dvě přímky kolmé k téže přímce jsou rovnoběžné. V rovině ano, v prostoru ne. Hrany AB i FG jsou kolmé k hraně BF, a přesto jsou mimoběžné. Naopak dvě přímky rovnoběžné s třetí přímkou jsou rovnoběžné i v prostoru: `AB \parallel DC` a `DC \parallel HG`, tedy `AB \parallel HG`.
• Kolmé přímky se musí protínat. Ve stereometrii se za kolmé považují i mimoběžky s odchylkou 90°, jako AB a CG.

Příklady k procvičení

Kam dál

• Procvičování vzájemné polohy přímek v krychli: rovnoběžné, různoběžné, nebo mimoběžné, a kolik hran je s danou přímkou mimoběžných.
• Odchylka dvou přímek ze směrových vektorů, odchylky v krychli a další kalkulačky ze stereometrie.
• Vzájemná poloha přímky a roviny a vzájemná poloha rovin.
• Odchylka přímek, včetně odchylky mimoběžek.
• Vzájemná poloha přímek v analytické geometrii a vzdálenost mimoběžek.