Neurčitý integrál funkce `f` je množina všech jejích primitivních funkcí, tedy funkcí `F`, jejichž derivace je `f`. Integrování je derivování pozpátku: hledáme funkci, která po zderivování dá zadanou funkci. Zapisuje se takto:

`\displaystyle\int f(x)\,\mathrm{d}x=F(x)+C,\quad\text{kde}\ \ F'(x)=f(x)`

Například `\displaystyle\int 2x\,\mathrm{d}x=x^2+C`, protože `(x^2)'=2x`. Znak `\int` je protažené S (z latinského summa), `f(x)` je integrovaná funkce a `\mathrm{d}x` říká, podle které proměnné se integruje. Konstanta `C` je libovolné reálné číslo: derivace konstanty je nula, takže `x^2+1` nebo `x^2-7` mají derivaci také `2x`.

Při výpočtu se integrovaná funkce nejdřív upraví na součet funkcí z tabulky integrálů, pak se každá zintegruje zvlášť a nakonec se výsledek ověří zkouškou: derivace výsledku musí dát původní funkci. Neurčitý integrál navazuje na článek Základy derivace, bez znalosti derivací se integrovat nedá.

Primitivní funkce a konstanta C

Funkce `F` je primitivní funkcí k funkci `f` na intervalu `I`, jestliže pro každé `x\in I` platí `F'(x)=f(x)`. Interval je důležitý: třeba `\ln|x|` je primitivní funkcí k `\dfrac{1}{x}` zvlášť na intervalu `(-\infty;\ 0)` a zvlášť na `(0;\ \infty)`, protože v nule není definovaná ani jedna z nich.

Primitivních funkcí je vždy nekonečně mnoho a liší se jen o konstantu. Na obrázku jsou grafy funkcí `x^2+C` pro čtyři různá `C`. Je to pořád tatáž parabola, jen posunutá nahoru nebo dolů, a v každém bodě má stejnou strmost. Všechny mají derivaci `2x`, a proto jsou všechny primitivní funkcí k `f(x)=2x`.

2−2246 x² + 4x² + 2x²x² − 2tečny v x = 1mají směrnici 2

Neurčitý integrál je celá tato množina naráz, a proto se k výsledku vždy píše `+\,C`. Bez něj je výsledek neúplný, i když je jinak správně.

Příklad 1 - primitivní funkce procházející bodem

Najděte primitivní funkci `F` k funkci `f(x)=6x-4`, jejíž graf prochází bodem `[1;\ 3]`.

Nejdřív všechny primitivní funkce, pak z bodu dopočítáme `C`:

`\begin{gathered}\displaystyle\int(6x-4)\,\mathrm{d}x=3x^2-4x+C\\[4pt]F(1)=3-4+C=3\ \Rightarrow\ C=4\\[4pt]F(x)=3x^2-4x+4\end{gathered}`

Kontrola: `F'(x)=6x-4` a `F(1)=3-4+4=3`. Podmínka v jednom bodě vybere z celé rodiny právě jednu funkci.

Tabulka integrálů

Každý řádek tabulky je jen obrácený vzorec pro derivaci. Kdo zná tabulku derivací, tuhle tabulku nemusí memorovat, stačí si ji přečíst pozpátku. Podmínky pod výsledkem říkají, kde vzorec platí.

integrálvýsledek
`\displaystyle\int 0\,\mathrm{d}x``C`
`\displaystyle\int k\,\mathrm{d}x``kx+C`
`\displaystyle\int x^n\,\mathrm{d}x``\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C`
pro `n\neq -1`
`\displaystyle\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x``\ln|x|+C`
pro `x\neq 0`
`\displaystyle\int \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x``\mathrm{e}^x+C`
`\displaystyle\int a^x\,\mathrm{d}x``\dfrac{a^x}{\ln a}+C`
pro `a\gt 0,\ a\neq 1`
`\displaystyle\int \sin x\,\mathrm{d}x``-\cos x+C`
`\displaystyle\int \cos x\,\mathrm{d}x``\sin x+C`
`\displaystyle\int \frac{1}{\cos^2x}\,\mathrm{d}x``\mathrm{tg}\,x+C`
pro `\cos x\neq 0`
`\displaystyle\int \frac{1}{\sin^2x}\,\mathrm{d}x``-\mathrm{cotg}\,x+C`
pro `\sin x\neq 0`
`\displaystyle\int \frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x``\mathrm{arctg}\,x+C`
`\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x``\arcsin x+C`
pro `x\in(-1;\ 1)`

Dva řádky vyžadují pozornost. Mocnina se integruje podle vzorce pro jakýkoli exponent kromě `n=-1`, kde by se dělilo nulou; právě tuto díru zaplňuje řádek `\int\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\ln|x|+C`. A u sinu je minus: `(\cos x)'=-\sin x`, takže primitivní funkce k `\sin x` je `-\cos x`.

Pravidla pro počítání s integrály

Pravidla jsou jen dvě. Integrál součtu nebo rozdílu je součet nebo rozdíl integrálů a konstantu lze vytknout před integrál:

`\begin{gathered}\displaystyle\begin{aligned}&\int\left[f(x)\pm g(x)\right]\mathrm{d}x\\[6pt]&=\int f(x)\,\mathrm{d}x\pm\int g(x)\,\mathrm{d}x\end{aligned}\\[4pt]\displaystyle\int k\cdot f(x)\,\mathrm{d}x=k\cdot\int f(x)\,\mathrm{d}x\end{gathered}`

Pravidlo pro součin ani podíl neexistuje. Integrál součinu není součin integrálů:

`\begin{gathered}\displaystyle\int x\cdot x\,\mathrm{d}x=\int x^2\,\mathrm{d}x=\frac{x^3}{3}+C\\[10pt]\displaystyle\text{ale}\quad\frac{x^2}{2}\cdot\frac{x^2}{2}=\frac{x^4}{4}\end{gathered}`

a derivace `\dfrac{x^4}{4}` je `x^3`, ne `x^2`. Proto se součin nejdřív roznásobí a zlomek vydělí, aby vznikl součet jednoduchých funkcí. Kde to nejde, přichází na řadu další metody.

Integrál mocniny

Nejčastější integrál ve všech příkladech. Exponent se zvětší o jedna a stejným číslem se mocnina vydělí:

`\displaystyle\int x^n\,\mathrm{d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\neq -1`

Vzorec platí i pro záporné a zlomkové exponenty, proto se odmocniny a zlomky s `x` ve jmenovateli nejdřív přepíší na mocninu, například `\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}` a `\dfrac{1}{x^3}=x^{-3}`. Jak se to dělá, je v článku Exponenty/Mocniny.

Několik integrálů podle tohoto vzorce:

`\begin{gathered}\displaystyle\int x^4\,\mathrm{d}x=\frac{x^5}{5}+C\\[10pt]\displaystyle\begin{aligned}\int\sqrt{x}\,\mathrm{d}x&=\int x^{\frac{1}{2}}\,\mathrm{d}x=\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C\\[6pt]&=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C\end{aligned}\\[10pt]\displaystyle\begin{aligned}\int\frac{1}{x^3}\,\mathrm{d}x&=\int x^{-3}\,\mathrm{d}x=\frac{x^{-2}}{-2}+C\\[6pt]&=-\frac{1}{2x^2}+C\end{aligned}\\[10pt]\displaystyle\int 5\,\mathrm{d}x=5x+C\end{gathered}`

Poslední řádek je táž mocnina s exponentem nula: `5=5x^0` a `\dfrac{5x^1}{1}=5x`. Dva výsledky se vyplatí znát rovnou, objevují se pořád:

`\begin{gathered}\displaystyle\int\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x=-\frac{1}{x}+C\\[10pt]\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x=2\sqrt{x}+C\end{gathered}`

Integrál mocniny i se zlomky jako `\dfrac{6}{x^4}` si můžete vyzkoušet v procvičování integrálu mocniny.

Řešené příklady na neurčitý integrál

Příklad 2 - mnohočlen

Vypočítejte `\displaystyle\int(3x^2-4x+5)\,\mathrm{d}x`.

Každý člen zvlášť, konstanty vytkneme:

`\displaystyle\begin{aligned}&\int(3x^2-4x+5)\,\mathrm{d}x\\[6pt]&=3\cdot\frac{x^3}{3}-4\cdot\frac{x^2}{2}+5x+C\\[6pt]&=x^3-2x^2+5x+C\end{aligned}`

Zkouška: `(x^3-2x^2+5x+C)'=3x^2-4x+5`. Stačí jedno `C` na konci, součet tří konstant je zase konstanta.

Příklad 3 - odmocnina a zlomek

Vypočítejte `\displaystyle\int\left(2\sqrt{x}+\frac{3}{x^2}\right)\mathrm{d}x`.

Přepíšeme na mocniny, `2x^{\frac{1}{2}}+3x^{-2}`, a integrujeme:

`\displaystyle 2\cdot\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+3\cdot\frac{x^{-1}}{-1}+C=\frac{4}{3}x\sqrt{x}-\frac{3}{x}+C`

Zkouška: `\left(\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}\right)'=\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}=2\sqrt{x}` a `\left(-3x^{-1}\right)'=3x^{-2}=\dfrac{3}{x^2}`. Sedí. Platí pro `x\gt 0`, kde je definovaná odmocnina.

Příklad 4 - nejdřív zjednodušit

Vypočítejte `\displaystyle\int\frac{x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{-3}}{x^2\cdot x^{\frac{1}{2}}}\,\mathrm{d}x`.

Takový zlomek se integrovat nedá, dokud se nezjednoduší. Podle pravidel pro mocniny se v čitateli exponenty sečtou, `\frac{1}{2}-3=-\frac{5}{2}`, ve jmenovateli také, `2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}`, a při dělení se odečtou:

`\begin{gathered}\displaystyle\frac{x^{-\frac{5}{2}}}{x^{\frac{5}{2}}}=x^{-\frac{5}{2}-\frac{5}{2}}=x^{-5}\\[10pt]\displaystyle\int x^{-5}\,\mathrm{d}x=\frac{x^{-4}}{-4}+C=-\frac{1}{4x^4}+C\end{gathered}`

Pravidla pro mocniny se dají procvičit v počítání s mocninami.

Příklad 5 - roznásobit a vydělit

Vypočítejte `\displaystyle\int\frac{(x+1)^2}{x}\,\mathrm{d}x`.

Na podíl pravidlo není, a tak čitatel umocníme a každý člen vydělíme `x`:

`\begin{gathered}\displaystyle\frac{(x+1)^2}{x}=\frac{x^2+2x+1}{x}=x+2+\frac{1}{x}\\[10pt]\displaystyle\int\left(x+2+\frac{1}{x}\right)\mathrm{d}x=\frac{x^2}{2}+2x+\ln|x|+C\end{gathered}`

Zkouška: derivace výsledku je `x+2+\dfrac{1}{x}`, a to je původní zlomek po úpravě. Výsledek platí pro `x\neq 0`.

Příklad 6 - dělení mnohočlenů

Vypočítejte `\displaystyle\int\frac{x^3-1}{x-1}\,\mathrm{d}x`.

Když má čitatel stupeň stejný nebo vyšší než jmenovatel, zlomek se nejdřív vydělí (Dělení mnohočlenů). Tady to jde i rozkladem `x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)`:

`\begin{gathered}\displaystyle\frac{x^3-1}{x-1}=x^2+x+1,\quad x\neq 1\\[10pt]\displaystyle\int(x^2+x+1)\,\mathrm{d}x=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x+C\end{gathered}`

Dělení s postupem ukáže kalkulačka dělení mnohočlenů, která má tento příklad už vyplněný (koeficienty `1,\ 0,\ 0,\ {-1}` a `1,\ {-1}`).

Příklad 7 - goniometrická funkce

Vypočítejte `\displaystyle\int\mathrm{tg}^2x\,\mathrm{d}x`.

Funkce `\mathrm{tg}^2x` v tabulce není, ale dá se na tabulkové přepsat. Protože `\sin^2x=1-\cos^2x`:

`\begin{gathered}\displaystyle\mathrm{tg}^2x=\frac{\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{1-\cos^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}-1\\[10pt]\displaystyle\int\left(\frac{1}{\cos^2x}-1\right)\mathrm{d}x=\mathrm{tg}\,x-x+C\end{gathered}`

Zkouška: `(\mathrm{tg}\,x-x)'=\dfrac{1}{\cos^2x}-1=\mathrm{tg}^2x`. Úpravy tohoto druhu jsou v článku Goniometrické vzorce.

Příklad 8 - exponenciální funkce

Vypočítejte `\displaystyle\int(\mathrm{e}^x-3\cdot 2^x)\,\mathrm{d}x`.

`\displaystyle\int(\mathrm{e}^x-3\cdot 2^x)\,\mathrm{d}x=\mathrm{e}^x-\frac{3\cdot 2^x}{\ln 2}+C`

Funkce `\mathrm{e}^x` se integrováním nezmění. U jiného základu přibude dělení jeho přirozeným logaritmem, `\ln 2\doteq 0{,}693`.

Příklad 9 - brzdná dráha

Auto začne brzdit a jeho rychlost je `v(t)=20-4t` metrů za sekundu, kde `t` jsou sekundy od začátku brzdění. Jakou dráhu ujede, než zastaví?

Rychlost je derivace dráhy, takže dráha je integrál rychlosti. Na začátku brzdění je ujetá dráha nulová, `s(0)=0`, a z toho `C=0`:

`\displaystyle\begin{aligned}s(t)&=\int(20-4t)\,\mathrm{d}t=20t-2t^2+C\\[6pt]&=20t-2t^2\end{aligned}`

Auto stojí, když `v(t)=0`: `20-4t=0`, tedy `t=5\ \mathrm{s}`. Brzdná dráha je `s(5)=100-50=50\ \mathrm{m}`.

Kontrola: rychlost klesá rovnoměrně z `20\ \mathrm{m/s}` na nulu, průměrná rychlost je tedy `10\ \mathrm{m/s}` a za 5 sekund to dělá právě `50\ \mathrm{m}`. Tady se integruje podle `t`, a proto se píše `\mathrm{d}t`.

Neurčitý a určitý integrál

Neurčitý integrál je funkce (přesněji množina funkcí). Určitý integrál má navíc meze `a` a `b` a jeho výsledkem je číslo. Počítá se z primitivní funkce podle Newtonovy-Leibnizovy formule:

`\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\Big[F(x)\Big]_a^b=F(b)-F(a)`

Konstanta `C` se při odečtení vyruší, proto se u určitého integrálu nepíše. Je-li `f(x)\ge 0`, určitý integrál je obsah plochy mezi grafem a osou `x` od `a` do `b`:

`\displaystyle\int_0^2 x^2\,\mathrm{d}x=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac{8}{3}-0=\frac{8}{3}\doteq 2{,}67`
121234 [2; 4]y = x²S = 8/3

Kontrola odhadem: vybarvená plocha leží pod úsečkou z `[0;\ 0]` do `[2;\ 4]`, takže musí být menší než trojúhelník s obsahem `4`. Brzdná dráha z příkladu 9 je také určitý integrál, `\displaystyle\int_0^5(20-4t)\,\mathrm{d}t=50`: obsah plochy pod grafem rychlosti je ujetá dráha.

Když tabulka nestačí

Jedno pravidlo navíc pokryje velkou část školních příkladů. Je-li uvnitř funkce lineární výraz `ax+b`, integruje se jako v tabulce a výsledek se vydělí číslem `a`:

`\begin{gathered}\displaystyle\int f(ax+b)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{a}F(ax+b)+C\\[10pt]\displaystyle\int\cos 3x\,\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\sin 3x+C\\[10pt]\displaystyle\int\mathrm{e}^{2x}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}+C\\[10pt]\displaystyle\int(2x+1)^5\,\mathrm{d}x=\frac{(2x+1)^6}{12}+C\end{gathered}`

Zkouška to potvrdí: derivace vnitřní funkce `ax+b` je `a`, a to dělení číslem `a` vyruší. U posledního řádku `\dfrac{6(2x+1)^5\cdot 2}{12}=(2x+1)^5`.

Na složitější integrály, jako `\int 2x\cos(x^2)\,\mathrm{d}x` nebo `\int x\,\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x`, jsou substituční metoda, metoda per partes a rozklad na parciální zlomky, každá na jiný typ funkce. Jsou v článku Substituční metoda, per partes a parciální zlomky. Některé funkce, například `\mathrm{e}^{-x^2}`, primitivní funkci mají, ale žádnou metodou ji nelze zapsat vzorcem složeným ze základních funkcí.

Časté chyby

  • Chybí `+\,C`. Výsledek je pak jen jedna primitivní funkce místo všech.
  • Mocninný vzorec na `\dfrac{1}{x}`. Pro `n=-1` by vyšlo `\dfrac{x^0}{0}`. Správně je `\ln|x|+C`.
  • Integrál součinu jako součin integrálů. Nejdřív roznásobit, viz pravidla.
  • Logaritmus všude, kde je zlomek. `\int\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x` není `\ln x^2`, ale `-\frac{1}{x}+C`. Logaritmus vychází jen u `\frac{1}{x}` (a u `\frac{1}{ax+b}`).
  • Znaménko u sinu. `\int\sin x\,\mathrm{d}x=-\cos x+C`. Zkouška derivací tuto chybu odhalí hned.
  • Zapomenuté dělení u `\mathrm{e}^{2x}`. Primitivní funkce není `\mathrm{e}^{2x}`, ale `\frac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}`, jinak derivace dá `2\mathrm{e}^{2x}`.
  • Dva různé výsledky nemusí znamenat chybu. `\int\frac{1}{2x}\,\mathrm{d}x` je `\frac{1}{2}\ln|x|+C` i `\frac{1}{2}\ln|2x|+C`. Obě funkce se liší o konstantu `\frac{1}{2}\ln 2`, kterou pohltí `C`. Rozhodne zkouška.

Příklady k procvičení

1. Vypočítejte `\displaystyle\int(4x^3-6x+1)\,\mathrm{d}x`.

2. Vypočítejte `\displaystyle\int(x-2)(x+2)\,\mathrm{d}x`.

3. Vypočítejte `\displaystyle\int\left(\frac{6}{x^3}+\frac{1}{x}\right)\mathrm{d}x`.

4. Vypočítejte `\displaystyle\int\frac{x-1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x`.

5. Vypočítejte `\displaystyle\int\left(2\sin x+\mathrm{e}^{3x}\right)\mathrm{d}x`.

6. Míček vyhodíme svisle vzhůru z výšky `1{,}5\ \mathrm{m}`. Jeho rychlost po `t` sekundách je `v(t)=20-10t` metrů za sekundu. Napište jeho výšku `h(t)` a zjistěte, jak vysoko vyletí.

Kam dál