Souřadnice vrcholů trojúhelníku ABC se nejčastěji hledají ze středů jeho stran. Vrchol dostanete tak, že sečtete středy obou stran, které z něj vycházejí, a odečtete střed strany protější. Když `S_a` je střed strany `a = BC`, `S_b` střed strany `b = AC` a `S_c` střed strany `c = AB`, platí:

`\begin{gathered}A = S_b + S_c - S_a \\[6pt] B = S_a + S_c - S_b \\[6pt] C = S_a + S_b - S_c\end{gathered}`

Sčítá se zvlášť první a zvlášť druhá souřadnice. Pro středy `S_a[1;\ 6]`, `S_b[4;\ 5]` a `S_c[0;\ 3]` vyjde `A = [4 + 0 - 1;\ 5 + 3 - 6] = [3;\ 2]` a stejně tak `B[-3;\ 4]` a `C[5;\ 8]`. Níže je ten samý příklad vyřešený soustavou rovnic, vysvětlení, proč vzorec funguje, vrcholy jako průsečíky přímek, na kterých leží strany, a co všechno se ze souřadnic vrcholů dá spočítat: délky stran, typ trojúhelníku, obsah a těžiště. Nakonec úlohy, kde jeden vrchol chybí a dopočítá se z těžiště, z obsahu nebo z toho, že je trojúhelník rovnostranný.

Vrcholy trojúhelníku ze středů stran

Střed úsečky je průměr souřadnic jejích krajních bodů (podrobně v článku Střed úsečky). Pro střed strany BC tedy platí `S_a = \dfrac{B + C}{2}` a podobně pro zbylé dvě strany. Ze tří středů tak dostaneme tři rovnice pro x-ové souřadnice vrcholů a tři pro y-ové.

Příklad 1

Středy stran trojúhelníku ABC jsou `S_a[1;\ 6]` (střed BC), `S_b[4;\ 5]` (střed AC) a `S_c[0;\ 3]` (střed AB). Určete souřadnice vrcholů.

xyA[3; 2]B[−3; 4]C[5; 8]Sa[1; 6]Sb[4; 5]Sc[0; 3]

Řešení soustavou. Vrcholy označíme `A[a_1;\ a_2]`, `B[b_1;\ b_2]` a `C[c_1;\ c_2]`. Pro x-ové souřadnice dají středy tři rovnice, každou rovnou vynásobíme dvěma:

`\begin{gathered}\dfrac{b_1 + c_1}{2} = 1 \ \Rightarrow\ b_1 + c_1 = 2 \\[10pt] \dfrac{a_1 + c_1}{2} = 4 \ \Rightarrow\ a_1 + c_1 = 8 \\[10pt] \dfrac{a_1 + b_1}{2} = 0 \ \Rightarrow\ a_1 + b_1 = 0\end{gathered}`

Nejrychlejší je sečíst všechny tři rovnice. Každá neznámá je tam dvakrát, takže `2(a_1 + b_1 + c_1) = 10` a `a_1 + b_1 + c_1 = 5`. Od tohoto součtu stačí odečíst vždy jednu rovnici:

`\begin{gathered}a_1 = 5 - 2 = 3 \\[6pt] b_1 = 5 - 8 = -3 \\[6pt] c_1 = 5 - 0 = 5\end{gathered}`

Pro y-ové souřadnice je postup stejný: `b_2 + c_2 = 12`, `a_2 + c_2 = 10`, `a_2 + b_2 = 6`. Součet je `2(a_2 + b_2 + c_2) = 28`, tedy `a_2 + b_2 + c_2 = 14` a

`\begin{gathered}a_2 = 14 - 12 = 2 \\[6pt] b_2 = 14 - 10 = 4 \\[6pt] c_2 = 14 - 6 = 8\end{gathered}`

Výsledek: `A[3;\ 2]`, `B[-3;\ 4]`, `C[5;\ 8]`.

Řešení vzorcem. Totéž dá vzorec z úvodu, pro každý vrchol zvlášť:

`\begin{aligned} A &= S_b + S_c - S_a\\ &= [4 + 0 - 1;\ 5 + 3 - 6] = [3;\ 2]\\[10pt] B &= S_a + S_c - S_b\\ &= [1 + 0 - 4;\ 6 + 3 - 5] = [-3;\ 4]\\[10pt] C &= S_a + S_b - S_c\\ &= [1 + 4 - 0;\ 6 + 5 - 3] = [5;\ 8] \end{aligned}`

Zkouška. Střed BC je `\left[\dfrac{-3 + 5}{2};\ \dfrac{4 + 8}{2}\right] = [1;\ 6] = S_a`, a stejně vyjdou i `S_b` a `S_c`. Každý střed si můžete ověřit kalkulačkou středu úsečky, odkaz ji otevře rovnou s body B a C.

Proč vzorec platí

Algebraicky stačí dosadit, co jednotlivé středy jsou:

`\begin{aligned} &S_b + S_c - S_a\\[6pt] &= \dfrac{A + C}{2} + \dfrac{A + B}{2} - \dfrac{B + C}{2}\\[6pt] &= \dfrac{2A}{2} = A \end{aligned}`

Geometricky: spojnice středů dvou stran je střední příčka, je rovnoběžná se třetí stranou a má poloviční délku. Proto je čtyřúhelník `A S_c S_a S_b` (na obrázku modře) rovnoběžník. Vrchol A je jeho čtvrtý vrchol, protější k `S_a`, a čtvrtý vrchol rovnoběžníku se počítá právě takhle: součet dvou sousedních vrcholů minus ten protější. Podrobněji je to pravidlo vysvětlené u čtvrtého vrcholu rovnoběžníku.

Ze středů stran se dá rovnou spočítat i těžiště: trojúhelník ze středů stran má stejné těžiště jako trojúhelník ABC. Tady `T = \left[\dfrac{1 + 4 + 0}{3};\ \dfrac{6 + 5 + 3}{3}\right] = \left[\dfrac{5}{3};\ \dfrac{14}{3}\right]` a z vrcholů vyjde totéž, jak ukazuje příklad 3.

Vrcholy jako průsečíky přímek

Druhá častá úloha zadá přímky, na kterých leží strany trojúhelníku. Každý vrchol leží na dvou stranách, takže je průsečíkem dvou přímek. Tři přímky dají tři dvojice a tři vrcholy.

Příklad 2

Strany trojúhelníku leží na přímkách `p:\ x + 3y - 9 = 0`, `q:\ 3x - y - 7 = 0` a `r:\ x - 2y + 11 = 0`. Najděte vrcholy.

Průsečík p a q. Z druhé rovnice `y = 3x - 7`, dosadíme do první:

`\begin{gathered}x + 3(3x - 7) - 9 = 0 \\[6pt] 10x - 30 = 0 \ \Rightarrow\ x = 3,\ y = 3 \cdot 3 - 7 = 2\end{gathered}`

Průsečík p a r. Ze třetí rovnice `x = 2y - 11`, dosadíme do první:

`\begin{gathered}2y - 11 + 3y - 9 = 0 \\[6pt] 5y = 20 \ \Rightarrow\ y = 4,\ x = 2 \cdot 4 - 11 = -3\end{gathered}`

Průsečík q a r. Do třetí rovnice dosadíme `y = 3x - 7`:

`\begin{gathered}x - 2(3x - 7) + 11 = 0 \\[6pt] -5x + 25 = 0 \ \Rightarrow\ x = 5,\ y = 3 \cdot 5 - 7 = 8\end{gathered}`

Vrcholy jsou `[3;\ 2]`, `[-3;\ 4]` a `[5;\ 8]`, tedy stejný trojúhelník jako v příkladu 1. Zkouška: každý vrchol musí splňovat obě rovnice, ze kterých vznikl, třeba `[5;\ 8]` v q: `15 - 8 - 7 = 0`. Který vrchol se jmenuje A, zadání přímek neurčí, pokud to neřekne samo. Průsečík si můžete ověřit kalkulačkou průsečíku dvou přímek, odkaz má zadané přímky p a q.

Kdyby dvě z přímek byly rovnoběžné, průsečík by neměly a trojúhelník by neexistoval. Stejně tak když všechny tři procházejí jedním bodem.

Co spočítat ze souřadnic vrcholů

Když souřadnice vrcholů znáte, spočítáte z nich všechno ostatní. Přehled vzorců:

co počítámevzorec
délka strany c`c = |AB| = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}`
obvod`o = a + b + c`
obsah`S = \dfrac{1}{2}\,|u_1 v_2 - u_2 v_1|`
kde `\vec{u} = B - A`, `\vec{v} = C - A`
těžiště`T = \left[\dfrac{a_1 + b_1 + c_1}{3};\ \dfrac{a_2 + b_2 + c_2}{3}\right]`
výška na stranu a`v_a = \dfrac{2S}{a}`
úhel α`\cos\alpha = \dfrac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|AB| \cdot |AC|}`

Příklad 3

Pro trojúhelník `A[3;\ 2]`, `B[-3;\ 4]`, `C[5;\ 8]` z příkladu 1 spočítejte délky stran, obvod, obsah a těžiště a určete, o jaký trojúhelník jde.

Strany. Nejdřív vektory, pak jejich velikosti:

`\begin{gathered}\overrightarrow{AB} = B - A = (-6;\ 2) \\[6pt] \overrightarrow{AC} = C - A = (2;\ 6) \\[6pt] \overrightarrow{BC} = C - B = (8;\ 4)\end{gathered}`

`\begin{gathered}c = |AB| = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \\[6pt] b = |AC| = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \\[6pt] a = |BC| = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}\end{gathered}`

Strany b a c jsou stejně dlouhé, trojúhelník je rovnoramenný se základnou BC. Navíc `b^2 + c^2 = 40 + 40 = 80 = a^2`, takže podle obrácené Pythagorovy věty je pravoúhlý s pravým úhlem u vrcholu A. Totéž ukáže skalární součin: `\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -6 \cdot 2 + 2 \cdot 6 = 0`. Úhly u B a C mají tedy po 45°.

Obvod: `o = 4\sqrt{5} + 4\sqrt{10} \doteq 8{,}94 + 12{,}65 = 21{,}59`.

Obsah: u pravoúhlého trojúhelníku je to polovina součinu odvěsen, `S = \dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{10} \cdot 2\sqrt{10} = 20`. Pro obecný trojúhelník je vzorec v další kapitole a vyjde z něj totéž.

Výška na přeponu: `v_a = \dfrac{2 \cdot 20}{4\sqrt{5}} = 2\sqrt{5} \doteq 4{,}47`, přesně polovina přepony, jak má u pravoúhlého rovnoramenného trojúhelníku být.

Těžiště: `T = \left[\dfrac{3 - 3 + 5}{3};\ \dfrac{2 + 4 + 8}{3}\right] = \left[\dfrac{5}{3};\ \dfrac{14}{3}\right]`, stejně jako ze středů stran v příkladu 1.

Délky stran, úhly, obsah i těžiště najednou spočítá kalkulačka těžiště ze souřadnic. Další úlohy na typ trojúhelníku a jeho úhly jsou v článku Body a vektory - řešené příklady, výšky a jejich průsečík v článku Polohové úlohy v rovině.

Obsah trojúhelníku ze souřadnic

Obsah trojúhelníku se ze souřadnic vrcholů počítá bez délek stran a bez úhlů. Z vrcholu A vedou vektory `\vec{u} = B - A` a `\vec{v} = C - A`, a obsah je polovina absolutní hodnoty jejich determinantu:

`S = \dfrac{1}{2}\,|u_1 v_2 - u_2 v_1|`

Výraz `u_1 v_2 - u_2 v_1` je obsah rovnoběžníku, který vektory u a v napínají, jen se znaménkem. Trojúhelník je polovina toho rovnoběžníku. Znaménko říká, jestli jdou vrcholy A, B, C proti směru hodinových ručiček (plus), nebo po směru (minus), pro obsah na něm nezáleží, proto absolutní hodnota.

Příklad 4

Spočítejte obsah trojúhelníku `A[3;\ 2]`, `B[-3;\ 4]`, `C[5;\ 8]` vzorcem.

`\begin{gathered}\vec{u} = B - A = (-6;\ 2) \\[10pt] \vec{v} = C - A = (2;\ 6) \\[10pt] u_1 v_2 - u_2 v_1 = (-6) \cdot 6 - 2 \cdot 2 = -40 \\[10pt] S = \dfrac{1}{2} \cdot |{-40}| = 20\end{gathered}`

Vyšlo totéž co přes odvěsny v příkladu 3. Záporné znaménko jen říká, že vrcholy A, B, C jdou po směru hodinových ručiček. Výpočet i s dosazením ukáže kalkulačka obsahu trojúhelníku ze souřadnic.

Bez vzorce: obdélník kolem trojúhelníku

Na základní škole se obsah trojúhelníku ve čtvercové síti počítá jinak, a vyjde totéž. Trojúhelník se obalí nejmenším obdélníkem se stranami rovnoběžnými s osami a od obsahu obdélníku se odečtou pravoúhlé trojúhelníky, které v rozích přebývají.

xyABC6166S

Pro náš trojúhelník jde x od −3 do 5 a y od 2 do 8, obdélník má tedy rozměry 8 × 6 a obsah 48. V rozích přebývají tři pravoúhlé trojúhelníky:

  • mezi B a A s odvěsnami 6 a 2: obsah `\frac{6 \cdot 2}{2} = 6`,
  • mezi B a C s odvěsnami 8 a 4: obsah `\frac{8 \cdot 4}{2} = 16`,
  • mezi A a C s odvěsnami 2 a 6: obsah `\frac{2 \cdot 6}{2} = 6`.

Obsah trojúhelníku je `48 - 6 - 16 - 6 = 20`. Jeden vrchol leží v rohu obdélníku vždy, tady je to C. Když leží dva vrcholy v protějších rozích a třetí uvnitř obdélníku, přebývají dva trojúhelníky na jedné straně, jeden na druhé a k tomu jeden malý obdélník v rohu.

Tři body na jedné přímce

Když vyjde `u_1 v_2 - u_2 v_1 = 0`, jsou vektory u a v rovnoběžné a body A, B, C leží na jedné přímce. Trojúhelník netvoří, jeho „obsah“ je nula. To je zároveň nejrychlejší test, jestli tři zadané body vůbec trojúhelník tvoří. Kalkulačka v takovém případě napíše, že body leží na jedné přímce.

Chybějící vrchol trojúhelníku

Často jsou dva vrcholy známé a třetí se dopočítává z nějaké podmínky. Nejčastější podmínky jsou tři: těžiště, obsah a tvar trojúhelníku. Pro čtvrtý vrchol rovnoběžníku platí pravidlo z příkladu 1, viz čtvrtý vrchol rovnoběžníku.

Příklad 5: vrchol z těžiště

Trojúhelník ABC má vrcholy `A[-2;\ 1]`, `B[4;\ {-3}]` a těžiště `T[1;\ 2]`. Najděte vrchol C.

Z `T = \dfrac{A + B + C}{3}` plyne `A + B + C = 3T`, tedy

`\begin{gathered}C = 3T - A - B \\[6pt] C = [3 + 2 - 4;\ 6 - 1 + 3] = [1;\ 8]\end{gathered}`

Zkouška: `\left[\dfrac{-2 + 4 + 1}{3};\ \dfrac{1 - 3 + 8}{3}\right] = [1;\ 2]`. Pozor na znaménka, odečítá se záporné `-2` a záporné `-3`.

Příklad 6: vrchol na ose y s daným obsahem

Body `A[2;\ 1]` a `B[6;\ 3]` jsou vrcholy trojúhelníku ABC s obsahem 10. Vrchol C leží na ose y. Určete ho.

Bod na ose y má x-ovou souřadnici nula, tedy `C[0;\ c]`. Dosadíme do vzorce pro obsah:

`\begin{gathered}\vec{u} = B - A = (4;\ 2) \\[10pt] \vec{v} = C - A = (-2;\ c - 1) \\[10pt] u_1 v_2 - u_2 v_1 = 4(c - 1) - 2 \cdot (-2) = 4c \\[10pt] \dfrac{1}{2}\,|4c| = 10 \ \Rightarrow\ |c| = 5\end{gathered}`

Úloha má dvě řešení: `C_1[0;\ 5]` a `C_2[0;\ {-5}]`. Absolutní hodnota znamená, že vrchol může ležet na kterékoli straně přímky AB. Tady přímka AB prochází počátkem, proto vyšla obě řešení souměrně kolem nuly. Zkouška pro C1: `\vec{v} = (-2;\ 4)`, `4 \cdot 4 - 2 \cdot (-2) = 20`, polovina je 10.

Příklad 7: třetí vrchol rovnostranného trojúhelníku

Úsečka AB s krajními body `A[1;\ 1]` a `B[5;\ 1]` je strana rovnostranného trojúhelníku ABC. Najděte C.

xyABSC1C2

Vrchol C leží na ose úsečky AB, tedy na kolmici k AB středem `S[3;\ 1]`, a to ve vzdálenosti výšky rovnostranného trojúhelníku. Strana má délku `|AB| = 4`, výška je

`v = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 2\sqrt{3} \doteq 3{,}46`

Úsečka AB je vodorovná, osa je tedy svislá přímka `x = 3` a C leží o výšku nad, nebo pod středem:

`\begin{gathered}C_1 = [3;\ 1 + 2\sqrt{3}] \doteq [3;\ 4{,}46] \\[6pt] C_2 = [3;\ 1 - 2\sqrt{3}] \doteq [3;\ {-2}{,}46]\end{gathered}`

Zkouška: `|AC_1|^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 = 4 + 12 = 16`, tedy `|AC_1| = 4 = |AB|`. Když AB vodorovná není, je postup stejný: ke směrovému vektoru `\vec{u} = B - A = (u_1;\ u_2)` je kolmý vektor `(-u_2;\ u_1)` stejné délky a vrchol je `C = S \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,(-u_2;\ u_1)`.

Časté chyby

  • Prohozené středy. `S_a` je střed strany BC, tedy strany, která leží proti vrcholu A, ne střed strany vycházející z A. Ve vzorci `A = S_b + S_c - S_a` se odečítá právě ten protější. Když zadání značí středy jinak (třeba K, L, M), napište si nejdřív ke každému, které straně patří.
  • Zkouška se vynechá. Spletené středy dají tři body, které vypadají rozumně, jen jsou to vrcholy jiného trojúhelníku. Spočítat zpětně jeden střed trvá pár vteřin a chybu odhalí hned.
  • Zapomenutá polovina nebo absolutní hodnota v obsahu. Bez `\frac{1}{2}` vyjde obsah rovnoběžníku, dvakrát víc. Bez absolutní hodnoty může vyjít obsah záporný.
  • Jen jedno řešení tam, kde jsou dvě. Když se třetí vrchol hledá z obsahu nebo z tvaru (rovnostranný, pravoúhlý rovnoramenný), leží zpravidla jeden na každé straně přímky AB. Absolutní hodnota a znaménko ± vždy znamenají dvě možnosti.
  • Tři body bez kontroly. Body na jedné přímce trojúhelník netvoří. Než začnete počítat úhly nebo výšky, ověřte, že `u_1 v_2 - u_2 v_1 \ne 0`.

Příklady k procvičení

1. Středy stran trojúhelníku ABC jsou `S_a[2;\ 1]` (střed BC), `S_b[-1;\ 3]` (střed AC) a `S_c[4;\ 5]` (střed AB). Určete vrcholy.

2. Spočítejte obsah trojúhelníku `A[-1;\ 2]`, `B[5;\ 0]`, `C[2;\ 6]`.

3. Trojúhelník ABC má vrcholy `A[0;\ {-2}]`, `B[5;\ 1]` a těžiště `T[2;\ 1]`. Najděte vrchol C.

4. Tvoří body `K[-2;\ {-1}]`, `L[1;\ 1]` a `M[7;\ 5]` trojúhelník?

5. Body `A[1;\ 1]` a `B[5;\ 3]` jsou vrcholy pravoúhlého rovnoramenného trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu A. Najděte vrchol C.

6. Trojúhelníkový pozemek má rohy v bodech `[0;\ 0]`, `[40;\ 10]` a `[25;\ 50]`, souřadnice jsou v metrech. Jakou má výměru?

Kam dál